新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定及直线

第八章立体几何初步
A级基础巩固
1。

若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是（）
A。

l和平面α相互平行
B.l和平面α相互垂直
C.l在平面α内
D.不能确定
解析：如图所示,直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.
答案：D
2。

直线l与平面α所成的角为70°,若直线l∥m,则m与α所成的角等于(）
A。

20° B.70°C。

90° D.110°
解析:因为l∥m,所以直线l与平面α所成的角等于直线m与
平
面α所成的角。

因为直线l与平面α所成的角为70°,所以直线m与平面α所成的角为70°.
答案:B
3。

如图所示，已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形,若PA⊥平面ABCD，则图中共有4个直角三角形.
解析：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥BC ，
所以△PAB ，△PAD 都是直角三角形。

因为BC ⊥AB ,所以BC ⊥平面PAB ,所以BC ⊥PB ,
所以△PBC 为直角三角形。

同理得CD ⊥PD ，所以△PCD 是直角三角形。

故共有4个直角三角形。

4。

如图所示,AB 是☉O 的直径,PA ⊥☉O 所在的平面，C 是☉O 上一点,若∠ABC =30°，PA =AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为2.
解析:因为PA ⊥平面ABC ,所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为直线PC 与平面ABC 所成的角.在Rt △ABC 中,∠ACB =90°，∠ABC =30°,所以AC =12
AB 。

在Rt △PAC 中，AC =12AB =12PA ,所以tan ∠PCA =PA AC
=2。

5.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC =CD , ∠ACB =∠ACD. 求证:BD ⊥平面PAC.
证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形.
因为∠ACB=∠ACD,所以BD⊥AC。

因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD。

从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直，
所以BD⊥平面PAC.
B级能力提升
6.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC,CD的中点,G 是EF的中点。

如果沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B，C,D三点重合,重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有（)
⇒
A.AH⊥△EFH所在平面
B。

AG⊥△EFH所在平面
C。

HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△AEF所在平面
解析:由题意知原图中AD⊥DF，AB⊥BE,
所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH.
因为FH∩EH=H，所以AH⊥△EFH所在平面。

答案:A
7。

如图所示,在空间四边形ABCD中，AB,BC，CD，DA和两条对角线AC,BD都相等，若E为AD的中点，F为BC的中点，。

则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为√3
3
解析:如图所示，连接EF 。

根据题意知BC ⊥AF ,BC ⊥DF.
因为AF ∩DF =F ,所以BC ⊥平面ADF ,所以∠BEF 是直线BE 和平面ADF 所成的角。

设BC =2，则BF =1，BE =√3,所以sin ∠BEF =√3=√33。

8。

如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形,∠ACB =90°,点C 到AB 1的距离为CE ，D 为AB 的中点。

求证:(1)CD ⊥AA 1；(2）AB 1⊥平面CED.
证明：(1)由题意知，AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ,所以CD ⊥AA 1.
（2）因为D 是AB 的中点,△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°,
所以CD ⊥AB.
因为CD ⊥AA 1，AB ∩A 1A =A ,AB ⊂平面A 1B 1BA ,A 1A ⊂平面
A 1
B 1BA ,
所以CD ⊥平面A 1B 1BA 。

因为AB1⊂平面A1B1BA,所以CD⊥AB1.
由题意知CE⊥AB1。

因为CD∩CE=C，CD⊂平面CED，CE⊂平面CED，
所以AB1⊥平面CED。

9。

如图所示,AB是圆柱的一条母线，BD是圆柱底面圆的一条直径，C是底面圆周上一点,且AB=BC=2,∠CBD=45°,求直线B D与平面ACD所成角的大小.
解：如图所示，取AC的中点E，连接BE，DE。

由题意知AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD。

因为BD是底面圆的直径，
所以∠BCD=90°,即CD⊥BC.
因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC,
所以CD⊥平面ABC.
因为BE⊂平面ABC,所以CD⊥BE。

因为AB=BC=2，AB⊥BC,E为AC中点,
所以BE⊥AC,且BE=√2。

因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACD,CD⊂平面ACD,
所以BE⊥平面ACD,
所以∠BDE是BD与平面ACD所成的角。

因为BD=√2BC=2√2,
所以sin∠BDE=BE
BD =√2
2√2
=1
2
,
所以∠BDE=30°,即BD与平面ACD所成的角为30°。

C级挑战创新
10ABCD—A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上移动，若点P总是满足AP⊥BD1,则动点P满足的条件是什么?并说明理由.
解：当点P在线段B1C上时，可以总是满足AP⊥BD1。

理由如下:
如图所示,连接AC，BD,AB1,B1C,B1D1.
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，
所以BB1⊥平面ABCD.
因为AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.
因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC.
因为BD⊂平面BDD1B1,BB1⊂平面BDD1B1,BB1∩BD=B，
所以AC⊥平面BDD1B1。

因为BD1⊂平面BDD1B1，
所以BD1⊥AC。

同理可证BD1⊥AB1.
因为AC⊂平面AB1C,AB1⊂平面AB1C,AC∩AB1=A，
所以BD1⊥平面AB1C。

因为点P在线段B1C上，
所以AP⊂平面AB1C,所以AP⊥BD1.。