山东省枣庄市第八中学东校区2019届高三10月单元检测(月考)数学(文)试题(解析版)

山东省枣庄市第八中学东校区2019届高三10月单元检测（月考）数学（文）试题(解
析版)
山东省枣庄市第八中学东校区2019届高三10月单元检测
（月考）数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.复数为虚数单位等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：复数，
故选：A．
根据两个复数代数形式的乘除法法则化简复数，从而得到结论．
本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
2.已知等差数列的前n项和为，，，则数列的公差是
A. B. 4 C. D. 3
【答案】B
【解析】解：由等差数列的求和公式以及性质可得：
，解得
故数列的公差
故选：B．
由等差数列的求和公式以及性质可得，结合题意由公差的定义可得答案．
本题为等差数列的公差的定义，涉及等差数列的求和公式和性质，属基础题．
3.已知m，l是直线，，是平面，给出下列命题：
若l垂直于，则l垂直于内的所有直线，
若l平行于，则l平行于内的所有直线
若，且，则
若，，且，则
其中正确的命题的个数是
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】C
1 / 12
【解析】解：对于，由线面垂直的定义可知正确；
对于，若l平行于内的所有直线，根据平行公理可得：内的所有直线都互相平行，显然是错误的，故错误；
对于，根据面面垂直的判定定理可知正确；
对于，若，，且，则直线l与m无公共点，与m平行或异面，故错误；故选：C．
根据空间线面位置关系的定义及判定定理或结合图形，给出反例进行判断．
本题考查了空间位置关系的判断，属于中档题．
4.已知菱形ABCD的边长为a，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：菱形ABCD的边长为a，，
，，
则
故选：D．
由已知可求，，根据代入可求
本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题
5.已知等差数列和等比数列满足：，且，则
A. 9
B. 12
C. l6
D. 36
【答案】D
【解析】解：等差数列和等比数列满足：，
且，
，，舍去，
故选：D．
运用等差数列的性质，等比数列的性质求解．
本题综合考查了等差等比数列的定义，性质．
6.已知向量若则
A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】解：由，，且，
得，即．
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故选：C ．
直接由向量共线的坐标运算列式求解． 本题考查向量共线的坐标运算，是基础题．
7. 某几何体的三视图如图所示 单位： ，则该几何体的体
积 单位： 是
A.
B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，
故该几何体的体积为
， 故选：A ．
根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．
本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．
8. 实数x ，y 满足
，则
的最大值为 A. 3
B. 4
C. 18
D. 24
【答案】D
【解析】解：画出满足条件的平面
区域，如图示：
，
由，解得，
由得：，
结合图象得直线过时，z最大，
z的最大值是24，
故选：D．
画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
9.已知向量，，，若为实数，，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：向量，，，
且，
，
即，
，
解得．
故选：A．
根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于0，求出的值．
本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题目．
10.已知数列的前n项和为，且，则
A. 2016
B. 2017
C. 4032
D. 4034
【答案】B
【解析】解：，
时，，化为：，
，
．
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则．
故选：B．
，时，，化为：，即可得出．
本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.设实数m，n满足，，且，则
A. 有最小值9
B. 有最大值9
C. 有最大值1
D. 有最小值1
【答案】C
【解析】解：因为，所以．
又，，所以，当且仅当时取等号，故
．
当且仅当时取等号．
故选：C．
通过“1”的代换，利用基本不等式求解表达式的最值，判断选项即可．
本题考查基本不等式的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．
12.设各项均为正数的数列的前n项和为，且满足
，则数列的通项公式是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由满足，．
因式分解可得：，
数列的各项均为正数，
，
当时，，解得．
当时，，
当时，上式成立．
．
故选：A．
由满足，变形为：
已知数列的各项均为正数，可得，利用递推关系即可得出．
本题考查了数列的递推关系、因式分解方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量，，则与夹角的大小为______．
5 / 12
【答案】
【解析】解：向量，，
与夹角满足：
，
又，
，
故答案为：．
根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．
本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．
14.设公比为的等比数列的前n项和为，若，，
则______
【答案】
【解析】解：设公比为的等比数列的前n项和为，
，，
，
由，解得，．
故答案为：．
利用等比数列通项公式、前n项和公式列方程组，能求出首项．
本题考查等比数列的首项的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若
，则______ ．
【答案】
【解析】解：设，，则，．
由于，
，且，解得，，
，
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故答案为：
．
设 ， ，则 ，
由于
，利用平面向量基本定理，建立方程，求出 ， ，即可得出结论．
本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，
16. 直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ， ， ，
，则此球的表面积等于______． 【答案】
【解析】解：如图，在 中， ， ， ， 由勾股定理可得 ． 可得 外接圆半径
， 设此圆圆心为
，球心为O ，在
中，
可得球半径
，
此球的表面积为
．
故答案为： ．
由已知求出 ，可得底面外接圆的半径，设此圆圆心为
，球心为O
，在
中，由勾股定理求出球的半径，代入球的表面积公式求解．
本题考查多面体外接球表面积、体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. 已知数列 的前n 项和为 ，且 ， ，等差数列 的前n 项和
为 ，且 ． 求k 和 ；
若 ，求数列 的前n 项和 ． 【答案】解： 令 ，得 ，即 ， ，
当 时， ， ， ，
数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，
等差数列 的前n 项和为 ，且 ． ．
，
，
数列的前n项和：
，
，
，得
即．
【解析】令，得，即，再由即可数列的通项公式，再根据等比数列的求和公式求和即可，
由，求出，的通项公式，根据的通项公式可知利用由错位相减法能够求出数列的前n项和．
本题主要考查了数列的通项公式的求法和数列前n项和的求法，综合性强，难度大，易出错，属于中档题．
18.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，
向量，且．
Ⅰ求角B的大小；
Ⅱ若，求的值．
【答案】解：，，
，即，解得，
，，，解得．
，由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，
，化为，解得．
【解析】由，可得，解得，可得B．
，由正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出．
本题考查了正弦定理余弦定理的应用、数量积运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.已知，，函数，
求函数的值域；
在中，角A，B，C和边a，b，c满足，，，求边c．
【答案】解：，，
，
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，
，
函数的值域为；
，
，
，或，，
，舍去，，，
，
，
，由正弦定理可得，
，由余弦定理可得，，
，
解得．
【解析】根据向量的坐标运算以及二倍角公式，化简求出，根据三角函数的性质求出值域；
先求出A的大小，再根据正弦余弦定理即可求出．
本题考查了向量的数量积德运算，三角函数的化简求值，正弦余弦定理，属于中档题．
20.在中，，C，E分别是AB，AF的中点如图将此三角形沿
CE对折，使平面平面如图，已知D是AB的中点．
求证：平面AEF；
求证：平面平面
ABF．
【答案】证明：取AF中点
M，连结DM，EM，
，M分别是AB，AF 的中
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点
是的中位线，
平行且等于且CE平行且等于，
四边形CDME是平行四边形，，
又面AEF且面AEF
面AEF；
证明：由左图知，，
且右图中：，面ABC，又面ABC
，四边形CDME为矩形，则，
中，M为AF的中点，
，
，面ABF，
又面AEF，面面ABF．
【解析】运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可证得；
由线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理即可证得．
本题主要考查线面平行、垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定和性质定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21.在直三棱柱中，，
，D是BC的中点，F是上一点．
当，求证：平面ADF；
若，求三棱锥体积．
【答案】证明：，D是BC的中点，
．
在直三棱柱中，
底面ABC，底面ABC， B.
，平面．
平面， F.-------------分
在矩形中，，，
≌ ．
F.，．
，平面-------------分
解：面，，
又，，-------------分
， ∽ ，
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．
-------------分
-------------分
【解析】证明与两线AD，DF垂直，利用线面垂直的判定定理得出平面ADF；
若，则 ∽ ，可求DF，即可求三棱锥体积．
本题考查了用线面垂直的判定定理证明线面垂直，考查三棱锥体积，属于中档题．
22.已知数列满足，，其中．
Ⅰ设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
Ⅱ设，数列的前n项和为，是否存在正整数m，使得
对于恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】Ⅰ证明：
，
数列是公差为2的等差数列，
又，．
，解得．
Ⅱ解：由Ⅰ可得，
，
数列的前n项和为
．
要使得对于恒成立，只要，即，
解得或，
而，故最小值为3．
【解析】Ⅰ利用递推公式即可得出为一个常数，从而证明数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到，进而得到；
Ⅱ利用Ⅰ的结论，利用“裂项求和”即可得到，要使得对于恒
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成立，只要，即，解出即可．
正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键．。