应用数学基础 第一章-线性空间与内积空间

A
如果对 f (A)中的任何单点集 注意: B1 , 原象必是单点集, 称 f 1. B1不一定在 f(A) 中. 为单射. _1 2. 即使B1为单点集, f (B1)也可能含很 即 多点. f (x)= f (y) x＝y
f (A)
1 双射时可定义 f : B → A
B
B1 Notes: f 与不同于 f (B) 16
8
§1.1
定理 1.1 (1)
集合与映射
（8）交换律、结合律和分配律
(2)
(3)
9
§1.1 （9）de Morgan律
集合与映射
定理 1.2 设X是基本集， 则
是一集族，
例：
10
§1.1－1 集合及其运算 运算的规律 §1.1 集合与映射
（10）Descartes product
直积（2个）： 任取 称 （x, y) 为一个序对.
13
§1.1
集合与映射
f ：A → B A称为 f 的定义域, 称为 f 的值域. f ：x y (x∈A) A
f
y 称为 x 在 f 下的 象, y＝f (x).
B
f (A)
14
§1.1
集合与映射
f ：A → B
A1
A
B1
B
f (A1)
15Leabharlann 射、单射、双射，逆映射f ：A→B
如果 f (A)＝B, 称 f 为满射.
26
§1.2 线性空间的定义与例子 例 1. (1, 2,, n), (1, 2, ,n)Rn,在 Rn 上 定义加法运算 及 数乘运算: (1, 2,, n) + (1, 2, ,n) = (1 +1, 2 +2,, n +n), (1, 2,, n) = ( 1, 2,, n) 则Rn是一个线性空间. 例 2. 在 R2 上定义加法运算 及 数乘运算: (1, 2), (1, 2)R2,
( f1 + f2 )(x)= f1(x) + f2 (x), ( f1)(x) = f1(x)
则 C[0, ] 是一个线性空间. 例 4. 在 Cnn上定义加法运算 及 数乘运算: A=(aij), B=(bij) Cnn , A+B = (aij + bij), A =( aij), 则 Cnn是一个线性空间.
(1, 2) + (1, 2) = (1 +1, 2 +2 + 11),
(1, 2) = ( 1, 2+ ( _1) 12/2)
则R2是一个线性空间.
27
§1.2 线性空间的定义与例子
例 3. 在 C[0, ] 上定义加法运算 及 数乘 运算: f1, f2C[0, ] ,
5
§1.1
集合与映射
一般情形：设非空集合D是指标集的集族
{Aα | a∈D}是以所有集合Aα 为元素的集合
{x | x∈Aα, α∈ D} {x | α∈ D使 xAα}
{x | x∈B且 α∈D, xAα} {x | x∈B且 α∈D使 x Aα}
当Λ=N时

n 1
An An ,
f ( f ( F )), f
1
1
f ( E )), f ( A1 A2 ), f ( A1 ) f ( A2 )
19
§1.1
集合与映射
三、集合的基数与可数集
定义 设A, B为集合. 如果存在双射 f ：A → B, 则称 A B 是对等的， 记为A ～ B. 称它们有相同的基数（势）.
28
§1.2 线性空间的定义与例子
例 5. l = { (1 , 2 , …)| i 1 |i| p<} ( p 1)
p
(1 , 2 , …), (1, 2 , …) l
p
(1 , 2 , …) + (1, 2 , …) = (1 + 1, 2 + 2 , …)
则：
映射 f ：A → B,如果
当 f 是单射 时成立等式
18
§1.1
也是双射，且 f 的恒等映射。
1
集合与映射
1 分别是A和B上
(3) 若映射 f ：A → B是双射,则 f 1B → A
f和 f f
（4）映射f ：A → B ，g ：B → C. 若f与g是满射，则 g f 是满射； 若f与g是单射， 则 g f 是单射；若f与g是双射，则是 g f双射。 例：设A={1，2，3}，B={a,b,c}.定义映射 f ：A → B,E={2},F={b,c} A1={1,2}, A2={1,3},求：
An ： an1, an2, an3, an4, …...
23
…... …... …... …... …... …... …... …... …... …...
§1.1
集合与映射
四、实数的确界
如果一个实数集有上界，则其上界有无穷多个.
称一个有界实数集的 最小上界 为 其上确界. 定义: 设E是R中的非空集合.如果存在实数使得 (1) xE, x ; (2) >0, xE, x > - ， 则 称 为 E 的上确界. 记作=sup E=sup{x|xE} 同样可以定义下确界：v=inf E=inf{x|xE} Notes:若上（下）确界存在，则唯一；上（下） 界有无穷多。
1
1
§1.1
集合与映射
定理 1.3
（1）映射 f ：A → B, E A, F B，有：
f (F
_1
C) _1
= (f (F ))C 当 f 是单射 时成立等式 当 f 是满射 时成立等式
17
_1
E f ( f (E )) f ( f (F )) F
_1
§1.1
集合与映射
(2)
例如， 全体实数构成的集与集合 (－1, 1) 对等.
法2：y=arctan π/2 x
20
§1.1
集合与映射
对等是等价关系：
自反性： A～A ； 对称性： A～B 则 B ～A ； 传递性： A～B 及 B ～C 则 A ～ C.
定义：与自然数集 N 对等的集合称为可数 集.不是可数集的无限集称为不可数集. 有限集和可数集统称为至多可数集.
课程结构介绍
泛函分析
矩阵理论
数值分析
数理方程
1
Ch.1
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4
线性空间与内积空间
集合与映射 线性空间 内积空间 内积空间中的正交系
2
§1.1 一、集合及其运算 （1）集合及表示
集合与映射
（2）集合与元素的关系 （3）集合与集合的关系（4）特殊集合与集合运算 （5）集合的交、并、差、余（补）
(1 , 2 , …) = ( 1 , 2 , …)
则 l 是一个线性空间.
p Minkowski 不等式
( i 1 | i+ i | p)1/p ( i 1 | i | p)1/p+ ( i 1 |i | p)1/p
HÖlder不等式
i 1 | i i | ( i 1 | i | p)1/p ( i 1 |i | q)1/q
12
§1.1
集合与映射
映射的定义： 设 A、B是两个非空集，f 是 一个对应法则. 如果对 A中的每个 x, 均可按 照这个对应法则在 B中找到一个确定的 y 与 x 对应，则称 f 是一个映射.
f ：( x1, x2 ) 1+ x1+2 x2
( x1, x2 )
y = 1+ x1+2 x2
0
表示A在 X 中的补集 Notes: A \ B A B
3
§1.1－1 集合及其运算 集合
例：
以前，“一段曲线”表示一个函数；现在则
用抽象集合中的“一个点”来表示一个函数.
因此，现在的抽象集合中的点就代表一段曲线.
4
§1.1
集合与映射
（6）集族、集族的交与并，可数个的情形 有限个：
{x | n =1, , m, xAn} {x | n =1, , m, xAn} {x | x B, n =1, , m, x An} {x | x B, n =1, , m, x An}
A B
B A
例： R , R , C
2 3
n
n
A n个直积： 1 A2 An i1 Ai {(a1 ,, an ) ai Ai , i}
11
§1.1 二、映射及其运算
集合与映射
一元函数的定义： 设 A、B是 R中 的两个非 空集，f 是一个对应法则. 如果对A中的每个 x , 均可按照这个对应法则在B中找到一个确 定的 y 与 x 对应，则称 f 是一个函数. f : x 1+2 x f : (x, y) 1+x+2y 二元函数的定义： 设 A 是 R2 中的非空集, f 是一个对应法则. 如果对A中的每个 X , 均可 按照这个对应法则在 R中找到一个确定的 y 与 X 对应，则称 f 是一个函数.
x n1 [An, Bn].
25
§1.2 线性空间的定义与例子
所谓线性空间, 指的是定义有线性结构的集 合. 也就是定义有“加法” 和 “数乘” 运算的集合. 定义: 设 X 是非空集合. 如果存在映射 + : 定义: 设 X 是非空集, K为数域. 若存在加 定义: 设 X 是非空集合, K表示某个数域. XX : X, X, 及映射 : XXX 及数乘 法+ XX 满足 如果在X上定义有加法 + : K X X 满 足 K y X, 则称X(按照此加法和数乘)是 (1): x +X= y + x, x,y X; 数域K上的一个线性空间. xX; (2) (x+y) = x,= x+ (y +z) , x,y,z X; (1) 1 x + z (3) ( x) = (=x, x, x xX, , K; X, + 0 X; (2) 0 (X, K,x+, ),) 记为 或(X, K). (4) (x + yX,使得 y,=0. (3) xX, y) = x + x +y xX, K; (4) “+” x = x + x, xX, , 则称( + )为一个定义在X上的加法运算. K.
，x 均可写成 m/n 的形式，m,n
.
因此，x 必在某个An中,

可以证明
A
n 1
n
N
7
§1.1 （7）运算的基本性质
集合与映射
零 律： A X X , A 恒等律：
A A, A X A
互补律： A A X , A A 否定律： AA 幂等律： A A A, A A A 传递性： A B, B C A C
n 1

n 1
An An
n 1
6

§1.1 集合与映射 两个集合相等 这两个集合的元素完全相同
例：设 Q＋ 表示全体正有理数的集.又 n ∈N，
An ＝{ 1/n , 2/n , …… }, 则
证明：首先，任意给定自然数 n .
Q＋ =n1A nx是正有理数. A
n，
其次，
24
§1.1
集合与映射实数集的确界
1. 上确界存在原理 任何非空有上（下）界的实数集必有上 （下）确界. 2. 单调有界原理 单调有界的数列必有极限. 3. 抽子数列原理 （不要求掌握） 有界的数列必存在有极限的子数列. 4. 闭区间套定理 （不要求掌握） 如果 [An, Bn][An–1, Bn–1], n; Bn An0 (n ∞), 则存在唯一的 x，使得
22
§1.1
集合与映射
(2) 有限个或可数个 可数集并集是可数集.
A1 ： a11, A2 ： a21, A3 ： a31, a12, a22, a32, a13, a23, a33, a14, a24, a34, … ... … ... … ...
…... …... …... …... …... …... …... …... …... …...
例如， 全体正偶数构成的集是一个可数 集. 全体实数构成的集是不可数集.
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§1.1
集合与映射
定理 1.4
(1) 可数集的子集是至多可数集.
(2) 有限个或可数个可数集的并集是 可数集. (3) 有限多个可数集的直集是可数集.
Notes:无限多个可数集的直集是不可数集.
例：（1）有理数集合是可数（列）的。