人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第6章第3节基本不等式含答案

第三节 基本不等式
[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．基本不等式：ab ≤a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．
(3)其中a ＋b
2称为正数a ，b
a ，
b 的几何平均数．
2．两个重要的不等式
(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是
简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2
4(简记：和定积最大)．
[常用结论]
1.b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．
2．ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
≤a 2＋b
2
2.
3.2
1a ＋1b
≤ab ≤a ＋b
2≤a 2＋b 2
2
(a ＞0，b ＞0)． [基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a 2
＋b 2
≥2ab 与a ＋b
2
≥ab 成立的条件是相同的．( )
(2)函数y ＝x ＋1
x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋
4
sin x
，x ∈(0，π)的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y
x ≥2的充要条件．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 C [∵x ＞0，y ＞0，∴
x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋y 22
＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.] 3．若直线x a ＋y
b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
C [由题意得1a ＋1
b ＝1.又a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2
b a ·a
b ＝4.
当且仅当b a ＝a
b ，即a ＝b ＝2时等号成立，故选C .] 4．若函数f (x )＝x ＋1
x －2
(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3
D ．4
C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋
1
x －2
＋2≥2(x －2)×
1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2
(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C .]
5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2. 25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为1
2×(20－2x )＝(10－x )m ，
则y ＝x (10－x ) ≤⎣⎢
⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22
＝25， 当且仅当x ＝10－x ， 即x ＝5时，y max ＝25.]
利用基本不等式求最值
►考法1 配凑法求最值
【例1】 (1)设0＜x ＜2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为( )
A ．2
B .
2
2
C .3
D . 2 (2)若x ＜54，则f (x )＝4x －2＋1
4x －5的最大值为________．
(1)D (2)1 [(1)∵0＜x ＜2，∴4－2x ＞0，
∴x (4－2x )＝12×2x (4－2x )≤12×⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋4－2x 22＝1
2×4＝2. 当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时等号成立． 即函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2. (2)因为x ＜5
4，所以5－4x ＞0，
则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2
(5－4x )·1
5－4x
＋3＝－2＋3＝1.
当且仅当5－4x ＝
1
5－4x
， 即x ＝1时，等号成立． 故f (x )＝4x －2＋
1
4x －5
的最大值为1.] ►考法2 常数代换法求最值
【例2】 已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．
[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y ＝1，又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2
8x ·2y ＝8xy
，得xy ≥64， 当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立． 故xy 的最小值为64.
(2)法一：(消元法)由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8y
y －2，
因为x ＞0，y ＞0，所以y ＞2，
则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16
y －2＋10≥18，
当且仅当y －2＝
16
y －2
，即y ＝6，x ＝12时等号成立． 故x ＋y 的最小值为18.
法二：(常数代换法)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
8x ＋2y ·(x ＋y )
＝10＋2x y ＋8y
x ≥10＋2
2x y ·8y x ＝18，
当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立， 故x ＋y 的最小值为18.
(2)(2019·皖南八校联考)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y
n ＝－1上，且m ＞0，n ＞0，则3m ＋n 的最小值为( ) A ．13 B ．16 C ．11＋6 2
D ．28
(1)6 (2)B [(1)∵x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9， ∴9－(x ＋3y )＝xy ＝13×x ×3y ≤13×⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22
， 当且仅当x ＝3y 时，等号成立，
由⎩⎨⎧ x ＝3y ，x ＋3y ＋xy ＝9，因为x ＞0，y ＞0，计算得出⎩⎨⎧
x ＝3，
y ＝1. ∴x ＋3y 的最小值为6.
(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过A (－3，－1)， 由点A 在直线x m ＋y
n ＝－1上可得， －3m ＋－1
n ＝－1， 即3m ＋1
n ＝1，
故3m ＋n ＝(3m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫
n m ＋m n ，
因为m ＞0，n ＞0，
所以n m ＋m n ≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n 时取等号)，
故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫
n m ＋m n ≥10＋3×2＝16，故选B .]
利用基本不等式解决实际问题
【例3】 随着社会的发展，汽车逐步成为人们的代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生，据调查某段公路在某时段内的车流量y (单位：千辆/时)与汽车的平均速度v (单位：千米/时)之间有函数关系：y ＝900v v 2＋8v ＋1 600
(v ＞0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ [解] (1)由题知，v ＞0，则y ＝900v
v 2
＋8v ＋1 600
＝
900v ＋1 600v ＋8
≤90080＋8＝90088＝22522，当且仅当v ＝1 600
v ，
即v ＝40时取等号． 所以y max ＝
225
22
≈10.23. 故当v ＝40时，车流量y 最大，最大约为10.23千辆/时．
(2)由y ＝900v v 2＋8v ＋1 600≥10，得90v
v 2＋8v ＋1 600≥1，即90v ≥v 2＋8v ＋1 600，整理得v 2－82v ＋1
600≤0，即(v －32)(v －50)≤0，解得32≤v ≤50.
所以为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，汽车的平均速度应大于等于32千米/时且小于等于50千米/时．
米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元
D ．240元
C [设底面相邻两边的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则xy ·1＝4⇒xy ＝4.
T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号)．
故该容器的最低总造价是160元．]
基本不等式的综合应用
【例4】 (1)已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥m
a ＋3
b 恒成立，则m 的最大值为( )
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8
a n 的最小值是________．
(1)B (2)92 [(1)由3a ＋1b ≥m
a ＋3
b ，
得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫
3a ＋1b
＝9b a ＋a
b ＋6.
又9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝a
b ，即a ＝3b 时等号成立)， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )
2
， ∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )
2＋8
n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝
⎛⎭⎪⎫2n ·16
n ＋1＝92
， 当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n
的最小值是
92.]
(1)当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2＞0恒成立，则k 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，22－1)
C ．(－1,22－1)
D ．(－22－1,22－1)
(2)已知函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2
a －
b 的最小值等于________．
(1)B (2)22 [(1)由32x －(k ＋1)·3x ＋2＞0，解得k ＋1＜3x ＋2
3x .
∵3x ＞0，∴3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝2
3x ，
即x ＝log 32时，等号成立)， ∴3x ＋2
3
x 的最小值为22.
又当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2＞0恒成立，
∴当x ∈R 时，k ＋1＜⎝ ⎛
⎭⎪⎫3x ＋23x min ，
即k ＋1＜22，即k ＜22－1. (2)由f (x )＝|lg x |，且f (a )＝f (b )可知 |lg a |＝|lg b |，又a ＞b ＞0，
∴lg a ＝－lg b ，即lg ab ＝0，∴ab ＝1. ∴a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2
a －b
≥22， 当且仅当a －b ＝2时等号成立，∴a 2＋b 2a －b
的最小值为22.]。