2019高考数学黄金解题模板专题16-三角函数的图像和性质问题

2019高考数学黄金解题模板专题16-三角函数的图像和性质问题
【高考地位】
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。

要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.
【方法点评】
类型一求三角函数的单调区间
使用情景：一般三角函数类型
解题模板：第一步先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数,A 的正负；
第二步利用三角函数的辅助角公式一般
将其化为同名函数，且在同一单调区间；
第三步运用三角函数的图像与性质确定
其单调区间.
例1 【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学（文）试题】 设向量
cos ,cos2,sin2,sin 44a x b x ππ⎛⎫⎛
⎫=-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭， ()f x a b =⋅.
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间[]0,π上的单调递减区间.
【答案】(1) π;(2) 37,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
.
（2）第一步，先将函数式化为基本三角函数的标准式，
要特别注意参数,A ω的正负：
由题意可得：()4
sin 2cos 4cos 2sin π
πx x b a x f -=•= 第二步，利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间：
所以()sin2cos cos2sin sin 2444
f x a b x x x πππ⎛
⎫=⋅=-=- ⎪⎝
⎭
第三步，运用三角函数的图像与性质确定其单调区间：
令3222,242k x k k Z πππ
ππ+≤-≤+∈， 求得37,8
8
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈，
()()2cos sin
sin 11cos222211sin2cos222212.242y sinx x x sinxcosx x
x sin x x x sin x π=+=+-=
+=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
结合三角函数的性质可知，函数的单调递增区间满足：
()2222
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈，
求解不等式可得函数的单调递增区间是 3,88k k ππππ⎡⎤
-+⎢⎥
⎣
⎦
()k Z ∈.本题选择B 选项.
【变式演练2】已知函数()sin2(0)f x x ωω=->的图象关于点
5,04M π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上是单调函数，则ω的值为
__________．
【答案】2
5
点睛：这个题目考查了三角函数的图像和性质；这种题目一般应用图像的对称性，轴对称性和点对称性，再就
是单调性，由单调性就可以得到周期的大概范围，解决这类题目还要注意结合函数的图像的整体性质。

类型二 由sin()y A x ωϕ=+的图象求其函数式
使用情景：一般函数sin()y A x ωϕ=+求其函数式
解题模板：第一步 观察所给的图像及其图像特征如振
幅、周期、与x 轴交点坐标等；
第二步 利用特殊点代入函数解析式计算得出参数,,A ωϕ中一个或两个或三个； 第三步 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数； 第四步 得出结论.
例2【安徽省十大名校2018届高三11月联考数学（文）试题】已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，其中()()2,1,8,1M N -分别是函数()f x 的图象的一个最低点
和一个最高点，则A ωϕ+=（ ）
A. 23π-
B. 6π-
C. 6π
D. 23
π 【答案】A
【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与x 轴的交点坐标可得其周期为T ，进而可得ω的大小；然后观察图像知其振幅A 的大小，即得到函数的解析式；最后将图像与x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到φ的大小，进而可以求解.
【变式演练3】【湖南省三湘名校教育联盟2018届高三第三次联考数学（文）试题】函数
()()()
sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则（ ）
A ． ()f x 在,313
ππ⎛⎫-
⎪⎝
⎭
上是增函数 B ． ()f x 在,213
ππ⎛⎫-
⎪⎝
⎭
上是增函数 C ． ()f x 在27,36
ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上是増函数 D ． ()f x 在,212
ππ⎛⎫-
⎪⎝
⎭
上是增函数 【答案】A
【变式演练4】函数sin()(0,0,||)2
y A x A πωϕωϕ=+>><的图象如图所示，则y 的表达式为（ ）
A ．)61110
sin(2π+=x y B ．)61110
sin(2π-=x y C ．)62sin(2π+=x y D ．)6
2sin(2π-=x y 【答案】C 【解析】
试题分析：由图像可知最大值为2，所以A=2，周期
2
22
36T πππω⎛⎫=-=∴= ⎪⎝⎭，代入点,26
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
得sin 136ππϕϕ⎛⎫
+=∴= ⎪
⎝
⎭
，所以函数式为)6
2sin(2π
+=x y 考点：三角函数图像及性质
【变式演练5】【山西省平遥中学2018届高三3月高考适应性调研考试数学试卷】
已知函数()()2sin (0f x x ωϕω=+>， )x ϕ<的部分图像如图所示，
已知点(3A ， ,06B π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，若将它的图像向右平移6π
个单位长度，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 图像的一条对称轴
方程为（ ）
A ． 24x π=-
B ． 4x π=
C ． 3x π=
D ． 23
x π
=
【答案】A 【解析】()02sin 3,2sin 0
66f f ππϕωϕ⎛⎫⎛⎫==
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以,43
πϕω==， 所以()2sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
，移动后得()2sin 42sin 4633
g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭
⎝
⎭
⎣⎦
， 所以对称轴满足432x k πππ-=+，解得5244
k x ππ
=+
， 所以满足条件的一条对称轴方程为24x π
=-。

故选A 。

考点：()ϕω+=x A y sin 的图像
【变式演练6】函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ）
A ．2sin()23x y π=-
B ．2sin(2)3
y x π
=+ C ．22sin(2)3
y x π=+ D ．2sin(2)3
y x π=-
【答案】C 【解析】
考点：三角函数的图象和性质及运用．
【变式演练7】【湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量检测文科数学试题】函数()()sin f x A x ωϕ=+ (其中0A >， 2πϕ<)的部分图象如图所示,将函数()f x 的图象（ ）可得
()sin 24g x x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭的图象
A ． 向右平移12π个长度单位
B ． 向左平移24π
个长度单
位
C ． 向左平移12π个长度单位
D ． 向右平移24π个长度单
位 【答案】D
类型三 求三角函数的周期
使用情景：一般三角函数类型
解题模板：第一步 利用恒等变换将其化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式；
第二步 运用周期的计算公式2T π
ω=直接计算可得所求.
第三步 得出结论. 例 3 若函数在上的图象与
直线
恰有两个交点.则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】第一步，利用恒等变换将其化成“sin()y A x ωφ=+、
cos()
y A x ωφ=+”的形式：
因为
第二步，运用周期的计算公式2T πω=直接计算可得所求：
由题意可知，在存在两个最大值，
第三步，得出结论： 所以，所以，故选A 。

【点评】三角函数的图象问题利用图象辅助解题，由题意可知，在
存在两个最大值，则在图象上得到第二
个最大值和第三个最大值，因为在恰有两个最大
值，则得到，解得答案。

【变式演练8】设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间
]2
,6[π
π上单调，且⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛6
322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为（ ）
A ．2π
B ．2π C．4π D．π 【答案】D 【解析】
考点：三角函数图象与性质.
【方法点睛】根据三角函数的图象在某区间的单调性可判断ω的范围，根据函数值相等可判断函数图象的对称轴，根据函数值互为相反数可判断函数图像的对称中心，有了函数图像的对称轴和对称中心可判断函数的周期. 【变式演练9】【河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评数学】记实数,a b 种的最小数为{}min ,a b ,若函数
(){}()
min 1sin 2,1sin 20f x x x ωωω=+->的最小正周期为1，则ω的值为
( )
A ． 12
B ． 1
C ． 2
π D ． π 【答案】C
【解析】 由题意，如图所示，函数1sin2y wx =+和1sin2y wx =-的图象关于1y =对称，
则函数()f x 的周期为1sin2y wx =+的周期的一半， 若()f x 的最小正周期为1，则1sin2y wx =+的周期为2，
即222T w π==，解得2
w π=，故选C ．
点睛：本题考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的周期求解问题，解答中根据函数1sin2y wx =+和1sin2y wx =-
的图象之间的关系，得到函数()f x 与1sin2y wx =+和1sin2y wx =-的关系即可求解，其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 【变式演练10】【青海省西宁市2018届高三下学期复习检测一（一模）数学（理)试题】 已知函数()
231
sin cos 2222
f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
--++-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）已知在ABC ∆中， ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1f A =，
2
a =，求ABC ∆面积的最大值.
【答案】（1）单调递增区间为
,63
k k ππππ⎡⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
（k Z ∈）；（2【解析】试题分析：（1）根据诱导公式及降幂公式，化简函数，利用正弦函数的单调性写出单调区间；（2）先求出A ，再由余弦定理求出a ，根据2
242b c bc bc bc bc
=+-≥-=求
面积的最大值即可. 试题解析： （1）()
231
sin cos 2222
f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
--++-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
21
cos sin 2
x x x =+-
1
sin2cos222
x x =
-
sin 26x π⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭
令222262k x k πππ
ππ-≤-≤+（k Z ∈）， 解得63
k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈）， 所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤
-+⎢⎥
⎣
⎦
（k Z ∈）.
【变式演练11】已知函数1)cos (sin cos 2)(+-=x x x x f .
（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间； （2）ABC ∆中，锐角A 满足1)(=A f ，2
=
b ，3=
c ，求a 的值.
【答案】（1） )(x f 的最小正周期为π；单调增区间为
)](8
3,8
[Z k k k ∈+
-
π
ππ
π；（2） 5=a .
【解析】
试题分析：（1）由二倍角公式及两角和与差公式化简函
数的解析式得
())
4
f x x π
=
-，由22T π
π==可求该函数的最小
正周期，由)(22
4222Z k k x k ∈+≤-≤+-ππ
πππ可求函数的单调递增区间；（2）由()1f A =先求出角4
A π=，再利用正弦定理即可求a . 试题解析： （1）)
4
2sin(22cos 2sin 1cos 2cos sin 2)(2
π
-=-=+-=x x x x x x x f
∴函数)(x f 的最小正周期为π.
由)(224222Z k k x k ∈+≤-≤+-πππππ得： )(8
38Z k k x k ∈+≤≤-π
πππ ∴函数)(x f 的单调增区间为)](8
3,8[Z k k k ∈+-π
πππ （2）由题意知1
)4
2sin(2)(=-
=
π
A A f ，2
2)42sin(=-π
A ，
又A 为锐角，∴442ππ=-A ，∴4
π
=A ， 由余弦定理得5
4
cos
322922
=⨯⨯-+=π
a
，∴5=a .
考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质；3.余弦定理.
【名师点睛】本题考查.三角恒等变换、三角函数的图象与性质、余弦定理，属中档题；利用同角三角函数基本关系化简的基本方法是切化弦，角的表示与化为一个角的三角函数是解本题的关键，熟练掌握公式是解题的基础.
【高考再现】
1.【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）】已知函数()2
2
2cos sin 2f x x x =-+，则
A ． ()f x 的最小正周期为π，最大值为3
B ． ()f x 的最小正周期为π，最大值为4
C ． ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3
D ． ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B
【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析
式进行化简，将解析式化简为()35cos222
f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
2.【2017全国I 卷理，8】已知曲线
1:cos C y x
=，
22π:sin 23C y x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭，
则下面结论正确的是（）
A．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线2C
B．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线2C
C．把1C上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线2C
D．把1C上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线2C
【答案】D
3.【2017全国III 理，3】设函数，则下列结论错误的是
（ ）
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()y f x =的图像关于直线
对称
C ．()f x π+的一个零点为
D ．()f x 在单调递减 【答案】D 【解析】函数()πcos 3f x x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭的图象可由cos y x =向左平移个单位
得到，
如图可知，
()
f x 在
π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上先递减后递增，D 选项错误，故选
D.
π23
π53
-
π3
6
π
x
y
O
4.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）】若在
是减函数，则的
最大值是
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A
【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值
点睛：函数的性质：
(1)
. (2)周期 (3)由 求对称
轴， (4)由求增区间; 由求减区间.
5.【2017山东，文7】函数32cos 2y x x
=
+ 最小正周期为
A.π2
B. 2π
3
C.π
D. 2π 【答案】C
【解析】
【考点】三角变换及三角函数的性质
【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正
周期为
π|ω|
.③对于形如sin cos y a x b x ωω=+的函数,一般先把
其化为()
22sin y a b x ωϕ=
++的形式再求周期.
6.【2017天津理，7】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，
||ϕ<π
.若，，且()f x 的最小正周期大于2π，则
（A ）， （B ）， （C ）， （D ），
【答案】
A
【考点】求三角函数的解析式
【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或
最低点确定A ，再根据周期或12周期或1
4
周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等.
7.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【答案】. 【解析】
分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得，所以，因为，所以 点睛：函数（A >0,ω>0）的性质：(1)；
(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求
减区间.
8.【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，
据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.
【答案】8
【考点定位】三角函数的图像和性质.
【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题sin()16x π+Φ=-时，y 取得最小值，继而求得k 的值，当sin()16x π+Φ=时，y 取得最大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.
9.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）】设函数f （x ）=，若对任意的实数x 都成立，则
ω的最小值为__________．
【答案】
【解析】分析：根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得ω，进而确定其最小值.
详解：因为对任意的实数x 都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.
点睛：函数的性质
(1).
(2)周期 (3)由 求对称轴，最大值对应自变量满足
，最小值对应自变量满足，
(4)由求增区间; 由求减区间..
10.【2015高考天津，文14】已知函数
()()
sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,
且函数()
f x 的图像关于直线x ω
=对称,则
ω
的值
为 ．
【答案】
π2
【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.
【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一
起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0
x x = 对称,则()0f x A = 或()0
f x A =-.
11.【2017山东，理16】设函数()sin()sin()62
f x x x ππ
ωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=. （Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4
π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44
ππ-上的最小值. 【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值32
-.
从而()3)3)
4312
g x x x π
ππ
=
+
-=-.
根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233
x πππ
-∈-，进一步求最小值. 试题解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62
f x x x ππ
ωω=-+-，
所以31
()sin cos cos 22
f x x x x ωωω=
--
33
sin cos 22
x x ωω=
- 133(sin cos )
22x x ωω=-
3(sin )
3
x π
ω=-
即4x π=-时，()g x 取得最小值3
2
-. 【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，
可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
12.【2018年文北京卷】已知函数
.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 【答案】（Ⅰ） . （Ⅱ）.
【解析】
分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 【反馈练习】
1．函数()cos 6
f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
的图象的对称轴方程为（ ） A ． ()23x k k Z =+∈ B ． ()1
3x k k Z =+∈ C ． ()16x k k Z =+∈ D ． ()13
x k k Z =-∈ 【来源】【全国市级联考】河北省邯郸市2018届高三第一次模拟考试数学（文）试题 【答案】C
【解析】()()166
x k k Z x k k Z πππ-=∈∴=+∈，选Ｃ． 2．若仅存在一个实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，使得曲线C ： sin (0)6
y x πωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭
关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ）
A ． 17,33⎡⎫⎪⎢⎣
⎭
B ． 410,33⎡⎫⎪⎢⎣
⎭
C ． 17,33⎛⎤ ⎥⎝
⎦
D ． 410,33
⎛⎤
⎥⎝
⎦
【来源】【全国市级联考】河北省邯郸市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题
【答案】D 【解析】
【点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max
min =+y
A B y A B
=-，.
(2)周期2.T π
ω
= (3)由 ()ππ2
x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间; 由()π3π2π2π22
k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间 3．已知函数()2sin (0)6
f x x πωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭
的图象与函数 ()()cos 2()
2
g x x π
φφ=+<
的图象的对称中心完全相同，则φ为
（ ）
A ． 6π
B ． 6π-
C ． 3π
D ． 3
π
- 【来源】【全国市级联考】河南省六市2018届高三第一次联考（一模）数学（文）试题 【答案】D
【解析】因为函数()2sin (0)
6f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭的图象与函数
()()cos 2()
2
g x x π
φφ=+<
的图象的对称中心完全相同，所以
()()
2,226
2
3
2
3
k k Z k k Z π
π
π
π
π
ωϕπϕπϕϕ==
-
+∈∴=-
+∈<
∴=-
，选D. 4．若函数()()()
3sin cos f x x x θθ=
+++的图象关于y 轴对称，则θ的
一个值为（ ）
A ． 6π
B ． 3π
C ． 23π
D ． 56
π
【来源】【全国百强校】贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试数学（文）试题 【答案】B
5．函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>， 2
πϕ<）的最小正周期是π，若其图象向左平移3
π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()
f x 的图象（ ）
A ． 关于点012π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，对称 B ． 关于直线12x π=对称 C ． 关于点06π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，对称 D ． 关于直线6
x π=对称
【来源】2018届天津市滨海新区七所重点学校高三毕业班联考数学文科试卷 【答案】B
【解析】由于函数最小正周期为π,所以2ω=,即()()sin 2f x x ϕ=+.
向左平移π3得到2πsin 23x ϕ⎛⎫
++ ⎪⎝
⎭
为奇函数,故2πππ,33
ϕϕ+==,所以()πsin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭. ππsin 1122f ⎛⎫== ⎪⎝
⎭
,故π
12
x =为函数的对称轴,选B. 6．已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象的一个对称中心为
,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
，且1
42
f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则ω的最小值为（ ） A ． 23 B ． 1 C ． 4
3
D ． 2 【来源】2018届广东省深中、华附、省实、广雅四校联考高三理科数学 【答案】A
7．设函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
90,8
x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为1
2
3
,,x x x 1
2
3()
x x
x <<，则1
2
3
23x x
x ++的值为（ ）
A ． π
B ． 34π
C ． 32π
D ． 74π
【来源】【全国百强校首发】江西省重点中学盟校2018届高三第一次联考数学（文）试题 【答案】D
点睛：本题考查了正弦函数的图象，以及正弦函数的图
象及对称性的应用，考查了整体思想和数形结合思想的应用，有关()sin y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期，求出w ，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求w 或ϕ的值或最值或范围等.
8．已知函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
（0ω>），且03
f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，当ω取最小值时，以下命题中假命题是（ ）
A ． 函数()f x 的图象关于直线12x π
=对称
B ． 6x π=-是函数()f x 的一个零点
C ． 函数()
f x 的图象可由()
g x x
=的图象向左平移3
π个单位得到
D ． 函数()f x 在0,12π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
上是增函数
【来源】【全国百强校】云南省昆明一中2018届高三第一次摸底测试文数学试题 【答案】C
【点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max
min =+y
A B y A B
=-，.
(2)周期2.T π
ω
= (3)由 ()ππ2x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴 (4)由
()ππ
2π2π22
k x k k Z ωϕ-
+≤+≤+∈求增区间; 由
()π3π
2π2π22
k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间
9．已知函数()()cos f x A x ωφ=+的图象如图所示， 2
23f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则()0f =
____.
【来源】江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考数学试题 【答案】23
10．函数()()sin f x A x ωϕ=+ π(0,0,)2A ωϕ>><的部分图象如图所示,则ω=__________；函数()f x 在区间π,π3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的零点为
__________．
【来源】【全国区级联考】北京市朝阳区2018年高三一模数学（理）试题
【答案】 2 7
π12
【解析】由图得πππ3622
T
⎛⎫--== ⎪⎝
⎭
,即最小正周期πT =又因为2πT ω=,且0ω>,解得2ω=，由图得π3x =时, ()2ππ
2π32
k k Z ϕ+=+∈，又因为π
2ϕ<
,所以π6
ϕ=-， ()f x 的零点即()π2sin 26f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
的图象与x 轴交点的横坐标，则π2π,6x k k Z -=∈,解得ππ,122
k x k Z =+∈，因为π,π3x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
,得到7π12x =，所以零点为7π12，故答案为7
π12
. 11．若函数()()*
sin 6f x x N πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭在区间,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω
的最大值为________________.
【来源】【全国市级联考】河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试数学（文）试题 【答案】9
【点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max
min =+y
A B y A B
=-，.
(2)周期2.T π
ω
=
(3)由 ()ππ2
x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间; 由()π3π2π2π22k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间 12．函数()2
sin 1cos
2
2wx wx f x -=+，且12
w >， x R ∈，若()f x 的图像在()
3,4x ππ∈内与x 轴无交点则w 的取值范围是__________．
【来源】【全国校级联考】江西省K12联盟2018届高三教育质量检测---数学（理科）试题
【答案】7111115,,12161216⎡⎤⎡⎤
⋃⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣
⎦
【解析】()2
sin 1cos
2
24wx wx f x wx π-⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，显然π2T >，故1
ω12
<<. 由对称中心可知： k π4
wx π+=，可得： 1x k π4πω⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
， k Z ∈， 假设在区间()3,4ππ内存在交点，可知： 11416312k k ω-<<-，当k 2,3,4
=时， 771111155
ωωω16121612164
<<<<<<，，，现不属于区间()3,4ππ，所以以上的并集在全集1ω12
<<中做补集，得7111115ω,,12161216⎡⎤⎡⎤
∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣
⎦
故答案为： 7111115,,12161216⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣
⎦
点睛：本题采用了正难则反的策略把无交点问题转化为有交点问题，利用补集思想得到最终的结果，对于否定
性问题经常这样思考． 13．已知3cos ,cos 44x x
m ⎛⎫
=
⎪
⎝
⎭， sin ,cos 44
x x n ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
，设函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围． 【来源】【全国市级联考】甘肃省张掖市2018届全市高三备考质量检测第三次诊断考试数学（文）试题 【答案】(1)
424,433k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦
， k Z ∈．(2)
311,⎛⎤
+ ⎥ ⎝⎦
.
（2）由题2
b
ac
=可知
2222221
cos 2222
a c
b a
c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=
，
（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263
B πππ
<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围． 试题解析：（1）
()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262
x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
令222262x k k πππππ-≤+≤+，则424433
k x k ππ
ππ-≤≤+， k Z ∈， 所以函数(f x ）的单调递增区间为424,433k k ππππ⎡⎤
-+⎢⎥
⎣
⎦
， k Z ∈．
14．已知函数()()2sin 2()2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示. （1）求ϕ值及图中0
x 的值；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()7,2,
c f C =
=-
sin B =
2sin A ，求a 的值．
【来源】【全国市级联考】吉林省吉林市2018届高三第三次调研考试数学理试题
【答案】（1）6
πϕ=,0
76
x π
=
（2）1a =
【解析】试题分析：（1）根据图象可得()01f =，从而求得ϕ得值，再根据()0
2f x =，可得022,6
2
x
k k Z
π
π
π+
=+
∈，结合图象可
得0
x 的值；（2）根据（1）的结论及()2f C =-，可得C 的值，将sin B = 2sin A 根据正弦定理角化边得2b a =，再根据余弦定理即可解得a 的值.
试题解析：（1）由图象可以知道： ()01f =. ∴1sin 2ϕ= 又∵
2
πϕ< ∴6
πϕ= ∵()0
2f x = ∴0sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 022,62x k k Z π
π
π+=+∈, 从而0,6x
k k Z ππ=+∈. 由图象可以知道1k =, 所以076x π
=。