弧长公式

如图：在△AOC中，∠AOC=900， ∠C=150，以O为圆心，AO为半径的圆交 AC于B点，若OA=6，求弧AB的长。
C
B
O
A
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角 所对的弧围成的图形是扇形。
B B 弧 圆心角 O A O A
扇形
圆的一条弧和经过这条弧的端点的 两条半径所围成的图形叫扇形．
（1）半径为R的圆,周长是多少？
C=2π R
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
（3）1°圆心角所对弧长是多少？
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为l， 则 n R
2 R R 360 180
l

180
A
n°
（4）140°圆心角所对的弧长是多少？
B
140 R 7 R 180 9
2. (A)
如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 （ ）
C
(A)300
(B)360
(C)450
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为 2， 4 则这个扇形的面积，S扇=_ 3 .
4 2、已知扇形面积为 3 ，圆心角为120°，
2． 则这个扇形的半径R=____
4 3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ， 3 4 则这个扇形的面积，S扇=
O R r
2． a a ∵ 2 2 ， ∴S= 2 a R r ( ) 4 2 4
2
2 2 S= S S R 2 r 2 ． (R r ) 1 2
1:⊙A, ⊙B, ⊙C两两不相交,且半径都 是1cm,则图中的三个扇形的面积之和为 多少?弧长的和为多少? （07年北京） A
注意
1. 扇形的面积大小与哪些因素有关？ （1）与圆心角的大小有关 （2）与半径的长短有关 2. 扇形面积单位与弧长单位的区别： （1）扇形面积单位有平方的 （2）弧长单位没有平方的
1.
扇形面积大小（
C）
(A)只与半径长短有关
(B)只与圆心角大小有关
(C)与圆心角的大小、半径的长短有关 如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面积是S，那么n等于（ B ） (B) 360S πr 3. 360S πr2 (C) (D) 180S 180S πr πr2 1 ， 则此扇形的圆心角是 8 (D)600
A
B
A O
B
n° o
（1）半径为R的圆,面积是多少？ （3）1°圆心角所对扇形面积是多少？
S=π R2
（2）圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？
S扇形
nR 360
2
若设⊙O半径为R， n°的 圆心角所对的扇形面积为S， 则
S扇形
nR 360
O
nR l 180
O
例 1 、制造弯形管道时，要先按中心线计算 “展直长度”，再下料，试计算图所示管道 的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB 的长
l 100 900 500 1570（mm）
180
（mm） 因此所要求的展直长度 L 2 700 1570 2970 答：管道的展直长度为2970mm．
B
C
例3：如图，把Rt△ABC的斜边放在直线 l 上，按
顺时针方向转动一次,使它转到 A BC 的位置。
若BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A经 过的路线长。 A′ C A
4 l 3
l
B
C′
2、如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两 不相交，且半径都是2cm，求图中阴影部 分的面积。 （07年山东）
3
课堂小结
n R 这节课你学到了什么知识？ 1．探索弧长的计算公式 l
公式进行计算．
，并运用
你是用什么方法获得这些知识的？
180
本节课你还有什么地方没有解决吗？ nR 2 1 2．探索扇形的面积公式 S 扇形 或 s lR 360 2 并运用公式进行计算．
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
B A
D
C
3、如图几7-4-3，A是半径为1的圆O外一点， 且OA=2，AB是⊙O的切线，BC//OA，连结 AC，则阴影部分面积等于 。
C B
O
A
4 、已知正三角形 ABC 的边长为 a ，分别 以A、B、C为圆心，以a/2为半径的圆相 切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积 S.
.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木 板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至 4 l B2结束所走过的路径长度________. 3 (07年湖北) B1 B
S 扇形
S扇形
1 lR 2
nR 360
2
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
l弧＝
n 360
C圆 ＝
n S 360 圆
n n . ＝ πr πd 180 360 n 2 πr 360
S扇形＝
＝
=-
1 rl 2
弧长与圆的周长有关，扇形的面积与圆 n 的面积有关。因此，计算弧长是 ； C 圆 360 n 而计算扇形的面积时是 。 S 360 圆
弓形的面积 = S扇- S⊿
A
D
0 B
C
变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截 面上有水部分的面积。（精确到0.01cm） 弓形的面积 = S扇+ S△
A D E 0
B
C
例3、已知正三角形的边长为a，求它的 内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
解：设正三角形的外接圆、内切 圆的半径分别为R，r，面积为 S1、S2．
如图， 矩形ABCD是一厚土墙截面，墙长15 米，宽1米。在距D点5米处有一木桩E，木 桩上拴一根绳子，绳子长7米，另一端拴着 一只小狗，请问小狗的活动范围最大是多 B 少？ A
D
.
E
C
●
B2
B B1 F'
A
C B
D E
F B2
7.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木 板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至 结束所走过的路径长度为________.(05年 徐州) B B
C
●
A
B
8、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=2， AB=4，分别以AC，BC为直径作圆，则 图中阴影部分面积为 （05武汉）