高三数学一轮(北师大版)第二章 函数与基本初等函数：教案+基础达标+专题整合+阶段测试卷第2章 第4节

第二章 第四节
一、选择题
1．(文)函数y ＝x 1
3 的图像是( )
[答案] B
[解析] 本题考查幂函数图像．
当x >1时x 1
3 <x ，排除C 、D ， 当0<x <1时x 1
3 >x ，排除A ．
(理)如图所示函数图像中，表示y ＝x 2
3 的是( )
[答案] D
[解析] 因为2
3∈(0,1)，所以y ＝x 2
3 的图像在第一象限图像上凸，又函数y ＝x 2
3 是偶函
数，故图像应为D ．
2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像是下图中的( )
[答案] A
[解析] ∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0，b 2－4ac >0，
∴图像开口向上，与y 轴的截距为负，且过(1,0)点． 3．(文)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，那么( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (3)>f (2) C ．f (3)＝f (2)
D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定 [答案] C
[解析] 因为f (x )满足f (4)＝f (1)，所以二次函数对称轴为x ＝4＋12＝52，又3－52＝5
2－2，
即x ＝3与x ＝2离对称轴的距离相等，所以f (3)＝f (2)．
(理)若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )<0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．与m 有关
[答案] B
[解析] ∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝1
2，
而－m ，m ＋1关于x ＝1
2
对称，
∴f (m ＋1)＝f (－m )<0，故选B ．
4．已知某二次函数的图像与函数y ＝2x 2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )
A ．y ＝2(x －1)2＋3
B ．y ＝2(x ＋1)2＋3
C ．y ＝－2(x －1)2＋3
D ．y ＝－2(x ＋1)2＋3
[答案] D
[解析] 设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.
5．幂函数f (x )＝x α(α是有理数)的图像过点(2，1
4)，则f (x )的一个递减区间是( )
A ．[0，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，0]
D ．(－∞，0) [答案] B
[解析] ∵图像过(2，14)，则1
4＝2α，
∴α＝－2，∴f (x )＝x －2.
由y ＝x －2图像可知f (x )的减区间是(0，＋∞)．
6．若f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )
A ．(－12，1
4)
B ．(－14，12)
C ．(14，12)
D ．[14，12]
[答案] C
[解析] 由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，解得14<m <1
2.
二、填空题
7．函数f (x )＝2x 2－6x ＋1在区间[－1,1]上的最小值是________，最大值是________． [答案] －3 9
[解析] f (x )＝2(x －32)2－7
2.
当x ＝1时，f (x )min ＝－3； 当x ＝－1时，f (x )max ＝9.
8．(文)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，2
2，则k ＋α＝________.
[答案] 3
2
[解析] f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，由幂函数f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫12，2
2，得α＝12，
则k ＋α＝3
2
.
(理)已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图像上，点(－2，1
2)在幂函数y ＝g (x )的图像上，
若f (x )＝g (x )，则x ＝______.
[答案] ±1
[解析] 由题意，设y ＝f (x )＝x α，则2＝(2)α，得α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则1
2＝(－2)β，
得β＝－2，由f (x )＝g (x )，即x 2＝x －2，解得x ＝±1.
9．(文)若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝________. [答案] 6
[解析] 二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像关于直线x ＝1对称，说明二次函数的对称轴为x ＝1，即－a ＋22＝1，所以a ＝－4.而f (x )是定义在[a ，b ]上的，即a ，b 关于x ＝1也是
对称的，所以a ＋b
2
＝1，∴b ＝6.
(理)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．
[答案] [0,2]
[解析] 依题意知，函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且开口方向向上，f (0)＝f (2)，结合图像可知，不等式f (m )≤f (0)的解集是[0,2]．
三、解答题
10．如图，抛物线与直线y ＝k (x －4)都经过坐标轴的正半轴上A 、B 两点，该抛物线的对称轴x ＝－1与x 轴相交于点C ，且∠ABC ＝90°，求：
(1)直线AB 对应函数的解析式；
(2)抛物线的解析式．
[解析] (1)由已知及图形得：A (4,0)，B (0，－4k )，C (－1,0)， 又∵∠CBA ＝∠BOC ＝90°，∴OB 2＝CO ·AO . ∴(－4k )2＝1×4，∴k ＝±12.
又∵由图知k <0，∴k ＝－1
2.
∴所求直线的解析式为y ＝－1
2x ＋2.
(2)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
0＝16a ＋4b ＋c ，
2＝c ，－b 2a ＝－1，
解得⎩⎨⎧
a ＝－112
，
b ＝－1b
，
c ＝2.
∴所求抛物线的解析式为y ＝－112x 2－1
6
x ＋
2.
一、选择题
1．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图像不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1 C ．m ＝2 D ．m ＝1或m ＝2
[答案] D
[解析] 由幂函数的定义，m 2－3m ＋3＝1，所以m ＝1或m ＝2.又图像不过原点，所以m 2－m －2≤0，解得－1≤m ≤2.综上，m ＝1或m ＝2.
2．(文)函数y ＝(cos x －a )2＋1，当cos x ＝a 时有最小值，当cos x ＝－1时有最大值，则a 的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．[－1,1]
C ．(－∞，0]
D ．[0,1]
[答案] D
[解析] ∵函数y ＝(cos x －a )2＋1， 当cos x ＝a 时有最小值，∴－1≤a ≤1， ∵当cos x ＝－1时有最大值，∴a ≥0，∴0≤a ≤1.
(理)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－25
4，－4，则m 的取值范围是( )
A ．⎝⎛⎭⎫
32，3 B ．⎣⎡⎦⎤
32，3 C ．[0,3] D ．⎣⎡⎭⎫32，3
[答案] B
[解析] f (x )＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－25
4， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝－25
4
，又f (0)＝－4. 由题意结合函数的图像可得⎩⎨⎧
32
≤m m －32≤3
2－0
，解得3
2
≤m ≤3.
二、填空题
3．(文)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝________. [答案] 2
[解析] ∵f (x )＝(x －1)2＋1，∴f (x )在[1，b ]上是增函数， f (x )max ＝f (b )，∴f (b )＝b ，∴b 2－2b ＋2＝b ， ∴b 2－3b ＋2＝0，∴b ＝2或1(舍)．
(理)已知定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值范围为________．
[答案] {1，－3}
[解析] ∵f (x )＝kx 2－2kx ＝k (x －1)2－k ， (1)当k >0时，二次函数开口向上， 当x ＝3时，f (x )有最大值， f (3)＝k ·32－2k ×3＝3k ＝3⇒k ＝1； (2)当k <0时，二次函数开口向下，
当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝k －2k ＝－k ＝3⇒k ＝－3. 故k 的取值集合为{1，－3}．
4．(文)(2015·盐城模拟)给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量x 0，
都有函数值f (x 0)∈D ，则称函数y ＝f (x )在D 上封闭．若定义域D ＝(0,1)，则函数①f 1(x )＝3x －1；②f 2(x )＝－12x 2－12x ＋1；③f 3(x )＝1－x ；④f 4(x )＝x 1
2，其中在D 上封闭的是________．(填
序号即可)
[答案] ②③④
[解析] ∵f 1(1
3
)＝0∉(0,1)，∴f 1(x )在D 上不封闭，经验证②③④均满足条件．
(理)方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是________． [答案] (2，52
)
[解析] ∵⎩
⎪⎨⎪⎧
α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1
β，
∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1
β在(1,2)上是增加的，
∴1＋1<m <2＋12，即m ∈(2，5
2)．
三、解答题
5．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；
(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －A ． 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增加的，
故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝0，
当a <0时，f (x )在[2,3]上为减少的，
故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2f (2)＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝24a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3.
(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2， g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，
∴2＋m 2≤2或m ＋22
≥4，∴m ≤2或m ≥6.6.(文)是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a
的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．
[解析] f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.
当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ＝2
⇒a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧
f (a )＝a －a 2
＝－2，
f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1；
当0<a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧
f (a )＝a －a 2＝－2，
f (－1)＝1＋3a ＝2
⇒a 不存在；
当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
f (－1)＝1＋3a ＝2，
f (1)＝1－a ＝－2
⇒a 不存在． 综上可得，存在这样的实数a ，且a ＝－1.
(理)(创新题)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)， ∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，
即f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3A ． ①
由f (x )＋6a ＝0，得 ax 2－(2＋4a )＋9a ＝0. ②
∵方程②有两个相等的根， ∴Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，
即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.
由于a <0，故舍去a ＝1，将a ＝－1
5代入①，
得f (x )＝－15x 2－65x －3
5
.
(2)f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a
＝a ⎝
⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2
＋4a ＋1a . 由a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a >0，
由
⎩⎨⎧
－a 2＋4a ＋1a >0，
a <0，
解得a <－2－3或－2＋3<a <0.
故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．。