课时作业4：2.2.2 等差数列的前n项和(一)

2.2.2 等差数列的前n 项和(一)
一、基础过关
1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )
A ．n
B ．n 2
C ．2n ＋1
D ．2n －1
答案 D
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又因a 1＝1适合a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.
2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
答案 B
解析 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，
∴λ＝－1.
3．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( )
A ．11或12
B ．12
C ．13
D ．12或13 答案 D
解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2，
∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋6254
. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝12或13时，S n 最大，故选D.
4．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )
A ．－9
B ．－11
C ．－13
D ．－15
答案 D
解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，
∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，
∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2
＝－15. 5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________． 答案 23或24
解析 ∵a 24＝0，∴a 1，a 2，…，a 23<0，故S 23＝S 24最小．
6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．
答案 4或5
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1
＋3d ＝1S 5＝5a 1＋5×42d ＝10
， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝4，d ＝－1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝0，
∴S 4＝S 5同时最大．
∴n ＝4或5.
7．设S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9.
解 设等差数列的公差为d ，则
S 3＝3a 1＋3×22
d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52
d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－1，d ＝2. 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.
二、能力提升
8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
答案 C
解析 因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝
0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2
＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.
9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
答案 B
解析 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2， 得a n ＝2n －10.
由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.
10．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 013＋a 2 014＞0，a 2 013·a 2 014＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．
答案 4 026
解析 由条件可知数列单调递减，
故知a 2 013＞0，a 2 014＜0，
故S 4 026＝4 026(a 1＋a 4 026)2
＝2 013(a 2 013＋a 2 014)＞0， S 4 027＝4 027(a 1＋a 4 027)2
＝4 027×a 2 014＜0， 故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 026.
11．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．
解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得
⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝9，d ＝－2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .
(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2
d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，
所以当n ＝5时，S n 取得最大值．
12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.
(1)求公差d 的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，
∵S 12>0，S 13<0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧
24＋7d >0，3＋d <0， ∴－247
<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 12>0a 1＋a 13<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 6＋a 7>0a 7<0. ∴a 6>0，又由(1)知d <0.
∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．
三、探究与拓展
13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c
，求非零常数c . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根． 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2
×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c
. ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c
. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，
∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．。