精品解析：【全国百强校】重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学(理)试题(解析版)

西南大学附属中学校高2019级第十次月考
数学试题（理）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合{}|lg A y y x ==，集合{|B x y ==，则A B ⋂=（ ） A. []0,1 B. (]0,1
C. [)0,+∞
D. (],1-∞
【答案】D 【解析】
∵{}|lg =A y y x R ==，{(]|=1B x y ==-∞，
，∴(]
,1A B ⋂=-∞，故选D.
2.已知双曲线22
21(02
x y a a -
=<<的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D. 2
【答案】A 【解析】
试题分析：由双曲线方程可知渐近线为y x a
=±
，由渐近线夹角为3π，可知渐近线倾斜角为6π，所以
3a a ==3c e a ∴==
= 考点：双曲线方程及性质
3.在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点， BE 与AC 的交点为F ，设,AB a AD b ==， 则向量BF = （ ） A.
1233
a b + B. 1
233
a b --
C. 1233
a b -+
D.
1233
-a b 【答案】C 【解析】
()
222112
333233
BF BE BC CE b a a b ⎛⎫=
=+=-=-+ ⎪⎝⎭,故选C.
4.甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布22
1122(),()N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如
图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 甲类水果的平均质量1=0.4kg μ
B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数2 1.99δ=
【答案】D 【解析】
由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称， ∴μ1=0.4,μ2=0.8，故A 正确，C 正确， ∵甲图象比乙图象更“高瘦”，
∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B 正确；
∵乙图象的最大值为1.99,
1.99=， ∴δ2≠1.99，故D 错误。

本题选择D 选项.
5.已知等差数列{}n a 的前7项和为21，且87a =，则数列1{}2n
a -的前10项和为
A. 1024
B. 1023
C. 512
D. 511
【答案】B 【解析】
因为等差数列{}n a 的前7项和为21，所以12345674721a a a a a a a a ++++++==，所以43a =，又
87a =，所以公差1d =，所以4(4)1n a a n d n =+-=-，所以
1122n
n a --=，显然数列1{2}n -是首项为1、
公比为2的等比数列，所以数列1{}2n a -的前10项和为10
101221102312
-=-=-．故选B ．
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A.
53
π B.
43
π C. 223
π+
D. 243
π+
【答案】A 【解析】 【分析】
观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。

【详解】设半圆柱体体积为1V ，半球体体积为2V ，由题得几何体体积为
231214*********
V V V π
ππ=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选A 。

【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。

7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果s = 132，则判断框中可以填（ ）
A. 10?i ≥
B. 11?i ≥
C. 11?i ≤
D. 12?i ≥
【答案】B
第一次循环12,11;s i ==第二次循环1211132,10;s i =⨯== 结束循环，输出“132?s =，所以判断框中应填11;i ≥选B.
8.已知12
0.5343log (244)a b c b x x -=-=++，，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A. c b a >>
B. b a c >>
C. a b c >>
D. a c b >>
【答案】C 【解析】 【分析】
将第一个等式两边同时除以13b -，然后比较a ，b 大小，对第二个等式进行整理，比较出c ，b 的大小，可得三者大小关系。

【详解】由题得1133433
a
a b b -+-==>，可得11a b -+>，则a b >；
因为22
2442[(1)1]2x x x ++=++≥，则22log 2[(1)1]1c b x -=-++≤-，
可得10c b -+≤，因此c b <，所以有a b c >>，故选C 。

【点睛】本题考查比较实数大小，此类题的整体思路是做差或者做商，再根据函数特点进行化简判断大小。

9.甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A. 甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B. 甲是知识分子，乙是农民，丙是工人 C. 甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D. 甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C
“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.
10.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转
4
π
后，终边经过点
1)P ，则cos2α
=（ ）
A.
B.
3
C. 3
-
D. 3
-
【答案】B 【解析】 【分析】
先建立角α和旋转之后得所到的角之间的联系，再根据诱导公式和二倍角公式进行计算可得。

【详解】设旋转之后的角为β，由题得4
π
αβ+
=，sin β=
cos β=，又因为222παβ=-，
所以得cos 2cos(2)sin 22sin cos 22
333
π
αββββ=-
===⨯
=
，故选B 。

【点睛】本题考查任意角的三角函数和三角函数的性质，是基础题。

11.在△ABC 中，点D 为边AB 上一点，若
sin BC CD AC AD ABC ⊥=∠，，则△ABC 的面积是（ ）
A.
B.
2
C.
2
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
先用余弦定理求出CD ，进而求AB ，BC ，再根据三角形面积公式即得。

【详解】由题在ADC
中，
AC =
，AD =
cos cos()sin 2
3
ADC ABC ABC π
∠=∠+
=-∠=-
， ∴代入2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-∠可得22150DC DC +-=，舍掉负根有
3DC =.
∴cot BC DC ABC =∠=
sin DC
AB AD BD AD ABC
=+=+==∠.于是根据三角形面积公式有：
11sin 223
ABC
S
AB BC ABC =
⋅∠==故选A. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于中档题.
12.当直线10()kx y k k --+=∈R 和曲线E ：32
5(0)3
y ax bx ab =++≠交于
112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，123()x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点()
b a ，可作曲线E 的切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C 【解析】
直线()10kx y k k R --+=∈过定点()1,1 由题意可知：定点()1,1是曲线()3
2
5
:03
E y ax bx b =++
≠的对称中心， 51313a b b a ⎧
++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以曲线32
15:33E y x x =-+，()1,13b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
f′（x ）=22x x - ，设切点M （x 0，y 0）， 则M 纵坐标y 0=
320015
33
x x -+，又f′（x 0）=2002x x -，
∴切线的方程为：()()3
220000
15y 23
3x x x x x x ⎛⎫--+=--
⎪⎝⎭
又直线过定点113⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，
()()3220000
11521333x x x x x ⎛⎫
∴--+=--- ⎪⎝⎭
，
得3
0x ﹣03x -2=0，
()
()3
00210x
x x --+=，
即()()
2
000120x x x +--=
解得：021x =-或 故可做两条切线 故选：C
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，
其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若
曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．
13.若
(),a bi
a b R i
+∈与()22i -互为共轭复数，则a b -=__________． 【答案】7- 【解析】 ∵()()2
a bi i a bi
b ai i i
+-+=--，()2244134i i i -=--=-，又(),a b i a b R i +∈与()22i -互为共轭复数，∴3b =，4a =-，则7a b -=-，故答案为7-.
14.已知x ，y 满足约束条件22
3250x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+-≥⎩
，则||z x y =-的取值范围为_________． 【答案】5
[0]2
，
【解析】 【分析】
先画出可行域，求x y -的范围，再求||z x y =-的取值范围。

【详解】由题得，可行域为图中阴影部分所示，则1(,2)3G ，1(2,)2
H -，作直线0x y -=，结合图像可
知5532x y -
≤-≤，所以有502
z ≤≤。

【点睛】本题考查线性规划的有关知识和数形结合的思想。

15.在直线0x =，1x =，0y =，1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =，1y e =+，e 1
x
y =+围成的区域内的概率为__________． 【答案】
11
e + 【解析】
由题意，直线0,1,0,1x x y y e ====+所围成的区域为一个长为1，高为1e +的矩形，所以其的面积为
1(1)1S e e =⨯+=+，
又由11x
y e y e =+⎧⎨=+⎩，解得1
1x y e =⎧⎨=+⎩
， 所以由0,1,1x
x y e y e ==+=+所围成的区域的面积为
1
1
1100
(11)()()|1x
x x S e e dx e e dx ex e =+--=-=-=⎰⎰，
所以概率为11
1
S P S e ==+.
16.在三棱锥A －BCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，V ABC 是边长为2的正三角形，若4
BDC π
∠=，三棱锥的
各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为______________． 【答案】
283
π
【解析】 【分析】
用投影结合勾股定理来计算外接球的半径，再应用球的表面积公式即可.
【详解】球心O 在平面BCD 的投影为F ，在平面ABC 的投影为G ，于是有F 是BCD 的外心，G 是
V ABC 的外心..设BC 中点E ，连结,,,EF EG OF OG ，于是四边形EFOG 是矩形.
连结,BO BF .有BO =
=
在BCD 中根据正弦定理2sin BC BO BDC =∠，得到BO =
在V ABC 中，因为GB 是ABC ∠的角平分线，故1tan 2GE BC GBC =
∠=
所以球O 的表面积为2222228
44()4]33
S BO BF GE ππππ=⋅=+=+= 【点睛】本题考查四面体的外接球表面积问题，这种题一班都是先计算外接球半径进而求解。

需有一定的空间想象能力。

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17.在V ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足tan tan 2A a
C b a
=-． (1) 求角C ；
(2) 设D 为边AB 的中点，V ABC 的面积为CD 的最小值．
【答案】（1）3
C π
=；（2）3
【解析】 【分析】
(1) 先用正弦定理将已知等式两边都化为正，余弦角的关系，再根据A B C π++=对其进行化简，计算可得角C 。

(2)由三角形的面积可得12ab =，用余弦定理将边CD 表示出来，再根据
222,(0,0)a b ab a b +≥>>可求出CD 最小值。

【详解】(1) 由正弦定理：sin 22sin sin a A b a B A =--，又tan sin cos tan cos sin A A C
C A C
=， 由题
tan tan 2A a C b a
=-，所以sin cos cos sin A C A C sin 2sin sin A
B A =-.
因为sin 0A ≠，所以cos (2sin sin )cos sin C B A A C -=,
即cos sin cos sin 2sin cos C A A C B C +=,即sin sin()2sin cos B A C B C =+=, 因为sin 0B ≠，所以1
cos 2C =，则3
C π=.
(2) 由1sin 2
ABC S ab C ∆=，即12ab 12ab =.
由1()2
CD CA CB =
+,所以2221
(2)4CD CA CB CA CB =++⋅
222211
(2cos )()44b a ab C b a ab =++=++ 1
(2)94
ab ab ≥+=当且仅当a b =时取等 所以边CD 的最小值为3.
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，运用基本不等式是求解最小值的关键。

18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，
2PA PD AD ===，点E ，F 分别为PD ，AB 上的一点，且2PE ED =，2BF FA =．
(1) 求证：AE //平面PFC ；
(2) 求PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2
）5
【解析】 【分析】
(1)作辅助线FG ，点G 在PC 边上，且2PG GC =，由题中条件可得EGFA 为平行四边形，再由线线平行证得线面平行。

(2)用建系的方法求线面正弦值。

【详解】(1) 证明：取PC 边上点G ，使得2PG GC =，连接FG . 因为
2PG PE
GC ED ==,所以//EG CD ，且23
EG CD =. 又2BF FA =，所以//AF CD ，且2
3
AF CD =
. 所以//EG FA ，且EG FA =，所以四边形EGFA 为平行四边形,则//AE FG . 又AE ⊄平面PFC ，FG ⊂平面PFC ，所以AE //平面PFC . (2) 解：取AD 中点O ,由PA PD =，所以PO AD ⊥
又平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，且PO AD ⊥,所以PO ⊥平面ABCD . 以O 为原点建系，以OA ，OB ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴.
所以P
，B
，(C -，(1,0,0)D -，
所以(PC =-
，(1,0,PD =-
，(0,3,PB .
设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =
，则20
0?
n PC x n PD x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，可取(3,1,1)n =-,
设PB 与平面PCD 所成角为θ，则sin θ
=2cos ,n PB =
=
【点睛】本题考查线面的位置关系，立体几何中的向量方法，属于常考题型。

19.现代研究表明，体脂率BFR （体脂百分数）是衡量人体体重与健康程度的一个标准．为分析体脂率BFR 对人体总胆固醇TC 的影响，从女性志愿者中随机抽取12名志愿者测定其体脂率BFR 值及总胆固醇TC 指标值（单位：mmol/L ），得到的数据如表所示：
(1) 利用表中的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请用相关系数r 加以说明.（若0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2) 求出y 与x 的线性回归方程，并预测总胆固醇TC 指标值为9.5时，对应的体脂率BFR 值x 为多少？（上述数据均要精确到0.1）
(3) 医学研究表明，人体总胆固醇TC 指标值y 服从正态分布2()N u σ，，若人体总胆固醇TC 指标值y 在区间(22)u u σσ-+，之外，说明人体总胆固醇异常，该志愿者需作进一步医学观察.现用样本的y 作为u 的估计值，用样本的标准差s 作为σ的估计值，从这12名女志愿者中随机抽4人，记需作进一步医学观察的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
附：参考公式：相关系数1
()()
(n
i i i
i x x y y r y
y =--=
-∑∑1
2
1
()()
ˆ()n
i i i n
i
i x
x y y b
x
x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-． 参考数据：12
1
()()95.8i i i x x y y =-
-=∑，12
2
1()342i i x x =-=∑，12
2
1
()31.56i i y y =-=∑，
1.6s =103.89≈． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】
由相关系数公式直接计算可得；(2)先后求出ˆb
，x ，y 和ˆa ，可得线性回归方程，将y=9.5代入回归方程，可得x 的值。

(3)先由公式计算标准差 1.6s ≈作为σ的估计值， 5.7u y ==，那么根据区间(2,2)(2.58.9)u u σσ-+=，，可知志愿者中胆固醇异常者的人数为2人，则需要进一步观察，从12名志愿者
中随机抽4人，记需作进一步医学观察的人数为X ，X 可能为0，1，2，先分别求出对应概率，即可得X 的分布列进而求得数学期望．
【详解】(1)
相关系数()()
95.8
0.920.75103.89
n
i
i x
x y y r -⋅-=
≈>∑
所以线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.
(2) 1
2
1
()()
95.8
ˆ0.3342
()n
i
i i n
i
i x
x y y b
x
x ==-⋅-==
≈-∑∑， 又141718192022232627293031
2312
x +++++++++++==，
2.4 4.4 4.7 4.8 5.4 5.5 5.7 6.0 6.3 6.87.09.4
5.712
y +++++++++++=
=
所以ˆˆ 5.70.323 1.2a
y bx =-=-⨯=-，所以回归直线0.3 1.2y x =-， 当9.5y =时，107
35.73
x =
≈
(3) 1.6s =≈，所以 1.6σ=， 5.7u y ==则(2,2)(2.58.9)u u σσ-+=，， 所以在这12人中，有2人是胆固醇异常，需要进一步作医学观察的. 所以变量0,1,2X =
41041214(0)33C P X C ===,3110241216(1)33C C P X C ⋅===,22
1024
1231
(2)3311
C C P X C ⋅==== 所以X 的分布列为
数学期望1612
()1233113
E X =⨯
+⨯= 【点睛】本题考查相关系数和线性回归方程，以及分布列数学期望等概率统计知识，是一道很好的综合性题目。

20.已知椭圆22
221(0)x y C a b a b +=>>：的左顶点为(20)M -，
． (1)求椭圆C 的方程；
(2)过点(10)N ，
的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当MA MB 取得最大值时，求MAB △的面积． 【答案】（1）22:142x y C +=；
（2
【解析】 【分析】
(1)由左顶点M 坐标可得a=2，再由c
e a
=
可得c ，进而求得椭圆方程。

(2)设l 的直线方程为1x ty =+，和椭圆方程联立22114
2x ty x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，可得22(2)230t y ty ++-=，由于∆>0，可用t 表示出两个交点的纵坐标
12y y +和12y y ⋅，进而得到MA MB 的关于t 的一元二次方程，得到MA MB 取最大值时t 的值，求出直线
方程，而后计算出MAB △的面积。

【详解】(1) 由题意可得：2a =
，
c a =
c =2222b a c =-=.
所以椭圆C 的方程: 22
:142
x y C +=
(2) 当直线l 与x 轴重合，不妨取(2,0),(2,0)A B -，此时0MA MB = 当直线l 与x 轴不重合，设直线l
方程为：1x ty =+,设1122(,),(,)A x y B x y ，
联立221
14
2x ty x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得22(2)230t y ty ++-=，
显然∆>0，12222t
y y t -+=
+，212
32
y y t -⋅=+. 所以1212(2)(2)MA MB x x y y =+++1212(3)(3)ty ty y y =+++
21212(1)3()9t y y t y y =++++22232(1)
3922
t
t t t t --=+++++
22
233692t t t ---=++2
29392
t t --=++2152t =+ 当0t =时，MA MB 取最大值
152
.
此时直线l 方程为1x =，不妨取(1,A B ，所以AB =
又3MN =,所以MAB ∆的面积132S =
【点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题。

21.已知函数2
()(2)e (1)x
f x x a x =-+-． (1)当1a =，求()f x 的单调区间； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(0,)+∞ 【解析】 【分析】
(1)将a=1代入函数()f x ，再求导即可得单调区间；(2)法一：先对函数求导'()(1)(2)x f x x e a =-+：当0a >时，()f x 在(,1)-∞上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，且x=1为()f x 的极值点，当
2,(2)0,(1),x x x e a x →-∞-→-→+∞ 所以()f x →+∞，(1)0f e =-<，当,()x f x →+∞→+∞，所以此时有两个零点；当0a =时，函数()(2)x
f x x e =-只有一个零点；当0a <时，再分成三种情况e
2
a =-，02e
a >>-
，e 2
a <-三种情况进行讨论，最后取并集即得a 的范围。

法二：分离参变量，每一个a 对应两个x ，根据新构造的函数单调性和值域，找到相应满足条件的a 的范围即可。

【详解】(1) 当1,a =2()(2)(1)x f x x e x =-+-
2'()(1)2(1)(1)(1).x x f x x e x x e =-+-=-+ 令'()0f x =，可得1x =，
当1x <时，'()0f x <，函数()f x 在区间(,1)-∞上单调递减， 当1x >时，'()0f x >，函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增。

所以函数()f x 减区间在区间(,1)-∞，增区间(1,)+∞
(2) 法一：函数定义域为x R ∈，2
()(2)e (1)x
f x x a x =-+-， 则'()(1)2(1)(1)(2).x x f x x e a x x e a =-+-=-+ ⑴当0a >时，令'()0f x =可得1x =，
当1x <时，'()0f x <，函数()f x 在区间(,1)-∞上单调递减， 当1x >时，'()0f x >，函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增。

且(1)0f e =-<，当,()x f x →+∞→+∞；当2,(2)0,(1),x x x e a x →-∞-→-→+∞ 所以()f x →+∞ 所以()f x 有两个零点.，符合
⑵当0a =，()(2)x
f x x e =-只有一个零点2，所以舍 ⑶设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-， ①若e
2
a =-
，则'()(1)()0.x f x x e e =--≥，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增，所以零点至多一个.（舍） ②若02
e
a >>-
，则ln(2)1a -<，故(,ln(2))(1,)x a ∈-∞-+∞时，'()0f x >，当(ln(2),1)x a ∈-时，
'()0f x <，所以()f x 在(,ln(2))a -∞-，(1,)+∞单调递增，在(ln(2),1)a -单调递减。

又(1)0f e =-<，
要想函数()f x 有两个零点，必须有(ln(2))0f a -=，其中ln(2)1a -<. 又因为当1x <时，2()(2)(1)0x f x x e a x =-+-<，所以(ln(2))0f a -< 故()f x 只有一个零点，舍 ③若e
2
a <-
，则ln(2)1a ->，故(,1)(ln(2),)x a ∈-∞-+∞时，'()0f x >，；当(1
ln(2))x a ∈-，时，'()0f x <，所以()f x 在(,1)-∞，(ln(2),)a -+∞单调递增，在(1ln(2))a -，
单调递减。

又极大值点(1)0f e =-<，所以()f x 只有一个零点在(ln(2),)a -+∞（舍）
综上，a 的取值范围为(0,)+∞。

法二：
(1)e f =-，所以1不是零点.
由2
()(2)(1)0x
f x x e a x =-+-=，变形可得2
(2)(1)x
x e a x -=-.
令2(2)()(1)(1)x x e g x x x -=≠-，则24(1)(1)2(2)(1)
'()(1)x x x e x x e x g x x -⋅----=-，
即23
(45)
'()(1)x e x x g x x --+=-.
当1x <，'()0g x >；当1x >，'()0g x <. 所以()g x 在(,1)-∞递增；在(1,)+∞递减.
当x →-∞时,()0→g x ,当1x -→时，()g x →+∞.所以当1x <时，值域为(0,)+∞. 当1x +→时,()g x →+∞,当x →+∞时，()g x →-∞.所以当1x >时，值域(,)-∞+∞.
因为()g x a =有两个零点，故a 的取值范围是(0,)(,)(0,)+∞⋂-∞+∞=+∞ 故a 的取值范围是(0,)+∞.
【点睛】这是函数的零点问题，可用讨论含参函数的单调性或者参变量分离的方法。

22.在平面直角坐标系
xOy 中，已知曲线1C
的参数方程为5()x y ϕ
ϕϕ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． (1) 求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程； (2) 若直线l
的极坐标方程为sin()4
π
ρθ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两
点，求MA MB +的值. 【答案】（1）5
cos 2
ρθ=；（2
） 【解析】 【分析】
(1)先将1C 和2C 化为普通方程，
可知是两个圆，由圆心的距离判断出两者相交，进而得相交直线的普通方程，再化成极坐标方程即可；(2)先求出l 的普通方程有4x y +=，点(0,4)M ，写出直线l
的参数方程
242x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
，代入曲线1C ：22(5)10x y -+=，设交点,A B 两点的参数为1t ，2t ，根据韦达定理可得12t t +
和12t t ，进而求得MA MB +的值。

【详解】(1) 曲线1C 的普通方程为：22
(5)10x y -+= 曲线2
C
的
普通方程为：2
2
4x y x +=，即2
2
(2)4x y -+=
由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即5
2
x =. 所以直线的极坐标方程为5cos 2
ρθ=
. (2) 直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M
直线l 的参数方程为4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，带入曲线1C 22
(5)10x y -+=得2310t ++=.
设,A B 两点的参数为1t ，2t
所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号. 所以1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题。

23.设函数()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，． (1) 解不等式()10f x >；
(2) 若对于任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）4x >或1x <-；（2）40a -≤≤ 【解析】 【分析】
(1)以两个绝对值为分段点，在三段上分别求()10f x >，再取并集即可；(2)先求()f x 的值域，再求出包含参数a 的()g x 的值域，由()g x 的值域包含()f x 的值域即可得a 的取值范围。

【详解】(1) 不等式等价于3
4610
x x >⎧⎨->⎩或13210x x ≤≤⎧⎨
>⎩或3
6410
x x <⎧⎨->⎩
解得4x >或1x <-.
(2) 对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()=()f x g x 成立，即()
g x 的
值域包含()f x 的值域.
46,3()3332,1364,1x x f x x x x x x ->⎧⎪
=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩
，由图可得1x =时，min ()2f x =，所以()f x 的值域为[)2,+∞.
()()()4424422g x x a x x a x a =-++≥--+=+,当且仅当4x a -与42x +异号时取等，
所以()g x 的值域为)2,a ⎡++∞⎣
由题：[)2,+∞⊆)2,a ⎡++∞⎣，所以22a +≤，解得40a -≤≤
【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题。