高考数学 第六章第6课时 知能演练轻松闯关 新人教A版(

2014年高考数学 第六章第6课时 知能演练轻松闯关 新人教A
版
1．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈，②玉树人是中国人，③玉树人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．②①
解析：选A.解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”，(①所有的中国人都坚强不屈)，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②玉树人是中国人)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③玉树人一定坚强不屈)”．故选A.
2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是( )
A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交
B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直
C ．如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行
D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
解析：选B.由空间立体几何的知识可知B 正确．
3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；
②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；
③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；
④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；
⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b
”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B.①②正确；③④⑤⑥错误．
4．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：
(1)1]( )
A ．n
B ．n ＋1
C ．n －1
D ．n 2
解析：选A.由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝ (1)
5．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )
A ．f (x )
B ．－f (x )
C ．g (x )
D ．－g (x )
解析：选D.通过观察所给的结论可知，若f (x )是偶函数，则导函数g (x )是奇函数，故选D.
二、填空题
6．数列2，5，22，11，…的一个通项公式是________．
解析：因为a 1＝3－1，a 2＝3×2－1，a 3＝3×3－1，a 4＝3×4－1，
由此猜想a n ＝3n －1.
答案：a n ＝3n －1
7．如图所示的“三角形”数列，前4个图形对应的数分别为1,3,6,10.则第7个图形对应的数是________．
解析：由前4个数1,3,6,10可知数列{a n }满足a n ＝a n －1＋n ，由归纳推理可知
∴a 5＝a 4＋5＝10＋5＝15，
a 6＝a 5＋6＝15＋6＝21，
a 7＝a 6＋7＝21＋7＝28.
答案：28
8．设f (n )>0(n ∈N *)，f (2)＝4，且对于任意的n 1，n 2∈N *，f (n 1＋n 2)＝f (n 1)＋f (n 2)．猜
想一个f (n )的表达式是f (n )＝________.
解析：f (2)＝4，则2f (1)＝f (1＋1)＝4，故f (1)＝2.
又f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝6，…， 猜想f (n )＝2n .
答案：2n
三、解答题
9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n
＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．
解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23
， 当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43
， ∴S 2＝－34
. 当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54
， ∴S 3＝－45
. 当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65
， ∴S 4＝－56
. 猜想S n ＝－n ＋1n ＋2
，n ∈N *. 10．已知函数f (x )＝a x ＋bx (a ＞0，b ＞0)，x ∈(0，＋∞)，试确定f (x )的单调区间，并说明在每个区间上的增减性．
解：f (x )在(0，
a b ]上是减函数，在[a b
，＋∞)上是增函数，证明如下： 设0＜x 1＜x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝(a
x 1＋bx 1)－(a x 2＋bx 2) ＝(x 2－x 1)·(
a x 1x 2
－b )． 当0＜x 1＜x 2≤a b
时， x 2－x 1＞0,0＜x 1x 2＜a b ，a x 1x 2
＞b ， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，
∴f (x )在(0，a b
]上是减函数； 当x 2＞x 1≥a b 时，x 2－x 1＞0，x 1x 2＞a b ，a x 1x 2
＜b ， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，
∴f(x)
在[a
b
，＋∞)上是增函数．
一、选择题
1
．如图是今年元宵花灯展中一款五
角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
解析：选A.该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.
2．(2013·枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
………
A．809 B．852
C．786 D．893
解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.
二、填空题
3．已知：f(x)＝
x
1－x
，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n＞1且n∈N*)，则f3(x)＝__________，猜想f n(x)(n∈N*)＝__________.
解析：(1)由f1(x)＝f(x)＝
x
1－x
得，
f2(x)＝f1(f1(x))＝f1(
x
1－x
)＝
x
1－x
1－
x
1－x
＝
x
1－2x
，
f3(x)＝f2(f2(x))＝f2(
x
1－2x
)＝
x
1－2x
1－2·
x
1－2x
＝
x
1－4x
＝
x
1－22x
，
f4(x)＝f3(f3(x))＝f3(
x
1－4x
)＝
x
1－4x
1－4·
x
1－4x
＝
x
1－8x
＝
x
1－23x
，
故猜想f n(x)＝
x
1－2n－1x
.
答案：x 1－22x x 1－2n －1x
4．对于等差数列{a n }，有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s ，t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题：________________.
答案：若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t ＝b t －1s
三、解答题
5．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.
(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；
(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．
解：(1)由已知a 1＝5，d ＝2，
∴S n ＝5n ＋n n －1
2×2＝n (n ＋4)．
(2)由已知得，a n ＝2n ＋3，
∴T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]，
即T n ＝4n 2
＋n .
∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32
＋3＝39， T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105. S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n <T n .
归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .。