高考数学(理)一轮复习课时训练：第二章 基本初等函数、导数及其应用 2-10 Word版含解析

课时规范训练
A组基础演练
1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()
A．－1B．－2
C．2 D．0
解析：选B.f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.
2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为() A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析：选A.切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x30＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)，
即y－1＝4(x－1)，整理得l的方程为4x－y－3＝0.
3．直线y＝1
2x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为()
A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2
解析：选C.∵y＝ln x的导数为y′＝1
x，∴
1
x＝
1
2，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其
代入直线y＝1
2x＋b，得b＝ln 2－1.
4．曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是() A．(0,1) B．(1，－1)
C．(1,3) D．(1,0)
解析：选C.y′＝3
x＋1，令y′＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，
∴点P0的坐标是(1,3)．
5．直线y＝kx＋b与曲线y＝ax2＋2＋ln x相切于点P(1,4)，则b的值为() A．3 B．1
C．－1 D．－3
解析：选C.由点P (1,4)在曲线上可得a ×12＋2＋ln 1＝4，解得a ＝2，故y ＝2x 2＋2
＋ln x ，所以y ′＝4x ＋1x ，所以曲线在点P 处切线的斜率
＝1＝4×1＋11＝
5. 所以直线的方程为y ＝5x ＋b .由点P 在直线上得4＝5×1＋b ，解得b ＝－1，故选
C.
6．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A ．2e
B ．e
C ．2
D ．1
解析：选C.y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为＝2.
7．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，
于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0，
m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.
8．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐
标都为整数的点的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选A.依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′＜1得3≤x 2＜103，显然满足该不等
式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜
角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.
9．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()
A．26B．29
C．212D．215
解析：选C.依题意，记g(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f(x)＝xg(x)，f′(x)＝g(x)＋xg′(x)，f′(0)＝g(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝212，故选C.
10．已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝
f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f2 019(x)等于()
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
解析：选A.∵f1(x)＝sin x＋cos x，
∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，
∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，
∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，
∴f n(x)是以4为周期的函数，
∴f2 019(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x，故选A.
B组能力突破
1．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝2x2－7x＋6，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程是()
A．y＝2x－1 B．y＝x
C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
解析：选C.法一：令x＝1得f(1)＝1，令2－x＝t，可得x＝2－t，代入f(2－x)＝2x2－7x＋6得f(t)＝2(2－t)2－7(2－t)＋6，化简整理得f(t)＝2t2－t，即f(x)＝2x2－x，∴f′(x)＝4x－1，∴f′(1)＝3.
∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.
法二：令x＝1得f(1)＝1, 由f(2－x)＝2x2－7x＋6，两边求导可得f′(2－x)·(2－x)′＝4x－7，令x＝1可得－f′(1)＝－3，即f′(1)＝3.
∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.
2．已知函数f(x)＝a sin x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 018)－f′(－2 018)＝()
A．0 B．2 017
C．2 018 D．8
解析：选D.设g(x)＝a sin x＋bx3，∴f(x)＝g(x)＋4，且g(－x)＝－g(x)，所以f(2 017)＋f(－2 017)＝g(2 017)＋4＋g(－2 017)＋4＝8，又因为f′(x)＝a cos x＋3bx2，所以f′(x)为R上的偶函数，则f′(2 018)－f′(－2 018)＝0，所以f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 018)－f′(－2 018)＝8，故选D.
3．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．
解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.
答案：x－y－2＝0
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝________. 解析：对f(x)＝3x2＋2xf′(2)求导，
得f′(x)＝6x＋2f′(2)．
令x＝2，得f′(2)＝－12.
再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝6.
答案：6
5．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.
解析：设e x＝t，则x＝ln t(t＞0)，
∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝1
t＋1，∴f′(1)＝2.
答案：2
6．若函数f(x)＝1
2x
2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是
________．
解析：∵f(x)＝1
2x
2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1
x.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，
x＋1
x－a＝0，∴a＝x＋
1
x≥2.
答案：2，＋∞)。