高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷）
一、 填空题（每小题3分，共15分）
1、线性空间[]P
x 的两个子空间的交()()11L x L x -+=
2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是
3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是
4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2
1,,1,λλ
λ+
则其特征矩阵E A λ-的标准形是
5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：
二、 单项选择题（每小题3分，共15分）
1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：
（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；
（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。

3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;
A A
B A λλ≠是一个非零常数；
()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（ ）设实二次型
f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：
222
1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：
()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：
()D 以上各情形皆有可能。

三、 是非题（每小题2分，共10分）
（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1
20V V =
则12V
V V =⊕。

2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题（每小题10分，共30分）
1、在线性空间4
P 中，定义线性变换：
（1）求该线性变换A 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==
()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；
（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。

2、（1）求线性空间[]3P
x 中从基()()()
2
:1,1,1I x x --到基
()()()
2
:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；
（2）求线性空间[]3P
x 中向量()2123f x x x =-+在基
()()()
2
:1,1,1I x x --下的坐标。

3、在R 2中，()()1212,,,a a b b α
β∀==，规定二元函数：
（1） 证明：这是R 2的一个内积。

（2） 求R 2的一个标准正交基。

五、 证明题（每小题10分，共30分）
1、 设P 3的两个子空间分别为： (){}(){}
1
1
2
3
1
2
321
2
3
1
2
3,,0,,,0W x x x x x
x W x x x x x
x =
++==
--= 证明：（1）
312P W W =+；
（2）12W W +不是直和。

2、设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是A 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,i W i r α∈=A
3、已知A E -是n 级正定矩阵，证明： （1）A 是正定矩阵； （2）
23n A E +>
答案
一、 填空题（每小题3分，共15分）
1、线性空间[]P
x 的两个子空间的交()()11L x L x -+={}
2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是
1C X
-
3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 相似关系
4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2
1,,1,λλ
λ+
则其特征矩阵E A λ-的标准形是
()10
000001λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭
5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：
二、 单项选择题（每小题3分，共15分）
2、 （ A ）复数域C 作为实数域R 上的线性空
间可与下列哪一个
线性空间同构：
（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（ D ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；
（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。

3、（ B ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;
A A
B A λλ≠是一个非零常数；
()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（ C ）设实二次型
f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：
222
1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：
()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

5、（ A ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：
()D 以上各情形皆有可能。

三、 是非题（每小题2分，共10分）
（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”） 1、（ × ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1
20V V =
则12V
V V =⊕。

2、（ √ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

3、（ √ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

4、（ × ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（ √ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题（每小题10分，共30分）
1、在线性空间4
P 中，定义线性变换：
（1）求该线性变换A 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==
()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；
（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。

解：（1）线性变换A 在自然基下的矩阵是1000010010100101A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
（5分）
（2）因为()
4
1E A λλ-=-
所以矩阵A 的所有特征值是12341λλλλ====
解齐次线性方程组
()0E A X -=
得矩阵A 的所有特征向量：
()()120,0,1,00,0,0,1k k ''+，其中12,k k 不全为零。

（5分）
2、（1）求线性空间[]3P
x 中从基()()()
2
:1,1,1I x x --到基
()()()
2
:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；
（2）求线性空间[]3P
x 中向量()2123f x x x =-+在基
()()()
2
:1,1,1I x x --下的坐标。

解：（1）因为()()
(
)
()2
21111,1,11,,012001x x x x -⎛⎫
⎪
--=- ⎪ ⎪⎝⎭
所以
即所求的过渡矩阵为124014001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（5分） （2）因为()()()
(
)
2
2
1111,,1,1,1012001x x x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
故()()2211231,,23f x x x x x ⎛⎫
⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭
所以()f x 在基()()()2
:1,1,1I x x --下的坐标是：243⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（5分）
3、在R 2中，()()1212,,,a a b b α
β∀==，规定二元函数：
（3） 证明：这是R 2的一个内积。

（4） 求R 2的一个标准正交基。

（1）证明：
()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+
因为1114-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
是正定矩阵，
所以这个二元函数是R 2的一个内积。

（5分） （2）解：考察自然基()()121,0,
0,1εε==
它的度量矩阵正是1114-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
令：()1
11,0,αε==
()()()()
()
212122*********,,1
1,1,,1εαεεαεαεεεεααεε-=-=-=-=
再令
：
)111221
2
1
1
,1,1βααβααα=
==
=
则12,ββ是R 2的一个标准正交基。

（5分） （2）解法二：考察自然基()()121,0,
0,1εε==
它的度量矩阵正是1114-⎛⎫
⎪-⎝⎭
(
()
2212121
01110101010140103110113r r r c c c ⨯⎛⎫+⎛-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-+⨯⎝⎭⎝⎭⎝ 令：
()(
)12121,,0ααεε⎛=
⎝
即：(
()11
2
1,1αεα=⎧⎪⎨
=⎪⎩
则12,αα 的度量矩阵是E ，从而是R 2的一个标准正交基。

五、 证明题（每小题10分，共30分）
2、 设P 3的两个子空间分别为： (){}(){}
1
1
2
3
1
2
321
2
3
1
2
3,,0,,,0W x x x x x
x W x x x x x
x =
++==
--= 证明：（1）
312P W W =+；
（2）12W W +不是直和。

证明：（1）W 1的一个基是：()()121,1,0,1,0,1αα=-=-
W 2的一个基是：()()121,1,0,1,0,1ββ== 因为()12
1212,,,W W L ααββ+=
其中121,,ααβ是12W W +的生成元的一个极大无关组 从而是12W W +的一个基， 所以()31212dim
3W W P W W +=⇒=+ （5分）
（2）因()1212dim 2,dim 2,dim 3W W W W ==+=
即()121dim
dim dim W W W W +≠+
所以12W W +不是直和。

（5分） （2）之证法二：因为()(
)
{}120,1,10W W L =-≠ 所以12W W +不是直和。

2、设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是A 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,i W i r α∈=A
证明：（充分性）设有()1,2,...,i W
i r α∈=A
()12,,...,r W L ααα⇒=是A⌝∏ζ⎜。

（5分）
（必要性）设()12,,...,r W L ααα=是A⌝∏ζ⎜，
()(),1,2,...,,1,2,...,i i W i r W i r αα∈=⇒∈=A （5分）
3、已知A E -是n 级正定矩阵，证明： （1）A 是正定矩阵； （2）
23n A E +>
证明：（1）设A 的特征值为12,,...,n λλλ
因为A E -是正定矩阵， 故其特征值()10,1,2,...,i
i n λ->=
于是A 的特征值()1,1,2,...,i
i n λ>=
所以A 是正定矩阵。

（5分） （2） 因为A 的特征值()1,1,2,...,i i n λ>= 所以A+2E 的特征值()23,1,2,...,i i n λ+>=
()1
223n
n i i A E λ=⇒+=+>∏ （5分）。