2021福建卷优美解

福建卷理科第13题：如图，在中，已知点在边上，，，，，则的长为_____．
优美解：以A 为原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系， 由22
sin 3
BAC ∠=
及32AB =得：点(2,4)B -，由3AD =得：点(0,3)D ，所以22(20)(43)3BD =--+-=．
（江苏省徐州市第一中学 许丽；山东省临清第一中学 刘占忠） 福建卷理科第15题：当,1x x ∈<R 时，有如下表达式：
21
11n x x x x
+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=
- ． 两边同时积分得：
111112
222220
1
1.1n
dx xdx x dx x dx dx x
+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=-⎰
⎰⎰⎰⎰
从而得到如下等式：23111111111()()()ln 2.2223212
n n +⨯
+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⋅⋅⋅=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：
0122311111111()()()2223212
n
n n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=+ ．
优美解1：因为()01221n
n n n n n n C C x C x C x x +++⋅⋅⋅+=+，两边同时积分得：
()111110122
222220
11n
n n
n n n n C
dx C
xdx C
x dx C
x dx x dx +++⋅⋅⋅+=+⎰
⎰
⎰
⎰
⎰，
从而得到如下等式：
()1012231
11111
1111122222231100000n n n n n n n C x C x C x C x x n n +++++⋅⋅⋅+=+++，
所以2
3
1
1
0121111111131222321212n n n
n
n n n C C C C n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪
⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
． （陕西咸阳师范学院 安振平；深圳市南头中学 袁作生；福建省福州格致中学 宋建辉；福建省连江第一中学 李锋；福建省泉州一中 黄耿跃；江西省玉山一中 周海华；江苏省常熟市中学 查正开） 优美解2：
11(1)(2)(1)(1)(2)(1)11!(1)!
k
n n n n n k n n n n k C k k k k --⋅⋅⋅-+--⋅⋅⋅-+==+++ 1
11(1)(1)(2)(1)11(1)!1
k n n n n n n k C n k n +++--⋅⋅⋅-+=
=+++，
0122311111111()()()2223212n
n n n n n C C C C n +∴⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+
12233111111
11111[()()()]12222n n n n n n C C C C n ++++++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+ 111113[(1)1][()1]1212
n n n n ++=+-=-++． （江西省玉山一中 周海华；福建省福州格致中学 宋建辉）。