2018年秋九年级数学上册 第22章 相似形 22.2 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定

22.2 第2课时相似三角形判定定理1
知|识|目|标
通过观察、测量、试验、推理等方法，归纳出相似三角形判定定理1，并能应用其解决相关问题．
目标会用相似三角形判定定理1判定三角形相似
例1 ［教材补充例题］如图22－2－7，在△ABC中，∠C＝90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点E.根据题意，回答下列问题：
图22－2－7
(1)在△DEM和△BEN中，
∵∠DME与∠BNE都是________角，
∴__________________．
∵∠DEM与∠BEN是________角，
∴__________________，
∴________∽________．
(2)在△ABC和△EBN中，∵∠ACB与∠ENB都是________角，∴____________________．
∵∠ABC与∠EBN是公共角，
∴____________，
∴________∽________．
(3)由(1)(2)可知△ABC与△DEM之间的关系为________．
【归纳总结】运用定理1判定三角形相似时“四注意”：(1)注意是不是有公共角；(2)注意是不是有对顶角；(3)注意是否有特殊角，例如直角；(4)注意运用“三角形的内角和为180°”计算三角形的内角度数．
例2 ［教材补充例题］[2017·益阳模拟] 如图22－2－8，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD.
求证：△ABC∽△BDC.
图22－2－8
例3 ［教材补充例题］如图22－2－9，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，交CA的延长线于点F.
求证：DA2＝DE·DF.
图22－2－9
【归纳总结】证明等积式或比例式的一般方法：
把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式．
知识点相似三角形判定定理1
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，
那么这两个三角形相似(可简单说成：__________________的两个三角形相似)．
[点拨] 通过判定两个角分别相等来证明两个三角形相似是判定两个三角形相似的常用办法．
如图22－2－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P是斜边AB上一点，且AP＝2.过点P作一直线，与Rt△ABC另一边的交点为D，并且截得的三角形与Rt△ABC相似，求PD的长．
图22－2－10
小林给出如下的解法：
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝42＋32＝5.
分两种情况考虑：如图22－2－11①，过点P作PD⊥AC于点D，则∠ADP＝∠C.
又∵∠DAP＝∠CAB，
∴△APD ∽△ABC ，
∴PD BC ＝AP AB ，即PD 3＝25
， ∴PD ＝65
.
图22－2－11
如图②，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，则∠PDB ＝∠C . 又∵∠PBD ＝∠ABC ， ∴△PBD ∽△ABC ，
∴PD AC ＝PB AB ，即PD 4＝5－25
， ∴PD ＝125.
故PD 的长为65或12
5
.
你认为以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误的原因，并说明理由，且给出正确的解答过程．
教师详解详析
【目标突破】
例1 (1)直 ∠DME＝BNE 对顶 ∠DEM＝∠BEN △DEM △BEN (2)直 ∠ACB＝∠ENB ∠ABC＝∠EBN △ABC △EBN (3)相似
例2 证明：∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD.
∵∠BAC ＝40°， ∴∠ABD ＝40°. ∵∠ABC ＝80°， ∴∠DBC ＝40°， ∴∠DBC ＝∠BAC. 又∵∠C＝∠C， ∴△ABC ∽△BDC.
例3 证明：在△ABC 中，∵∠BAC ＝90°，DF 为BC 的垂直平分线，∴D 为BC 的中点， ∴AD ＝1
2BC ＝DB ，∴∠B ＝∠DAB.
∵DF ⊥BC 于点D ，∴∠C ＋∠F＝90°. 又∵∠B＋∠C＝90°，∴∠B ＝∠F， ∴∠DAB ＝∠F.
又∵∠ADE＝∠FDA， ∴△ADE ∽△FDA ， ∴DE DA ＝DA DF ， ∴DA 2
＝DE·DF.
[反思] 不正确，分类不全面，丢了一种情况．
第1，2种情况，跟小林解法相同，第3种情况如下： 如图，过点P 作PD⊥AB 交AC 于点D ，则∠APD＝∠ACB.
又∵∠DAP＝∠BAC， ∴△ADP ∽△ABC ， ∴PD BC ＝AP AC ，即PD 3＝24
，
∴PD ＝32.故PD 的长为65或125或32
.。