北师大版数学课件中招数学开放探索问题二

若不存在，请说明理由.
【解析】(1)由
y 2x m
2 y 4x
有两个实数解，即4x2+4(m-1)x+m2=0
中,16(m-1)2-16m2>0,
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解得m< 1 ,又x1x2≠0,∴m≠0,∴m< 1 且m≠0.
m2 (2)由根与系数的关系得x1+x2=1-m,x1x2= , 4 2 x1 x 2 2 1 m 8 1 m n . 2 2 m x1x 2 m 4 8 1 m (3)存在.当n=-2时，2 2 ， m 1 解得 m 2 2 2, 由(1)知 m , 所以m 2 2 2. 2
2.与图形变化有关的问题：多方面、多角度观察、比较图形
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的个数、周长或面积随变换次数的改变而改变的数字特征，
较简单的直接写出规律，若复杂时，可以通过构建二次函数 模型，应用待定系数法进行求解.
规律探索问题 【例4】(2010·金华中考)已知点P的坐标为(m，0)，在x轴上 存在点Q(不与P点重合)，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在
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反比例函数 y 2 的图象上.小
x
明对上述问题进行了探究，发
现不论m取何值，符合上述条件
的正方形只有两个，且一个正
方形的顶点M在第四象限，另一
2
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1 3
3
∴ y 1 x 2 2 x n. 把C(0,-1)代入得n=-1,
3 3
所求抛物线关系式是 y x 2 x 1. 令 0 1 x 2 2 x 1. 得x=3或-1,
3 3
1 3
2 3
∴A、B两点的坐标分别是(-1,0)、(3,0)；
y 2x m
2
y 4x x x1 x x 2 且x1≠x2,x1x2≠0,设 n 2 2 . 和 , x1 x 2 y y1 y y 2
有两个实数解
(1)求m的取值范围；
(2)用含m的代数式表示n;
(3)是否存在这样的m值，使n的值等于-2?若存在，求出m的值；
2 即 m 3 1 m ］, m 1. ［ 2 2


当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.
解题策略 1.探索存在性时，常遵循从特殊(特殊点、特殊值、特殊图形、
特殊位置)到一般的规律，一般先假设结论存在或成立，然后
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一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为 第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形， 共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作， 若要得到2 011个小正方形，则需 要操作的次数是____.
【解析】由题意可知，每操作一次，小正方形增加3个，故第
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存在性开放探索 【例3】(2011·内江中考)如图，抛物线 y 1 x 2 mx n 与x
3
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轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，-1)且对称轴是x=1. (1)求抛物线关系式及A、B两点的坐标;
(2)在x轴下方抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积是3？
得y=7，此时P(-4，7)，当AB为对角线时，只要线段PQ与线段
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AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q 点，过点P作x轴的垂线交x轴于点H，可证得△PHG≌△QOG， 所以OG=GH，又因为线段AB的中点G的横坐标为1，所以此时点 P横坐标为2，由此当x=2时，y=-1，这时符合条件的点P的坐 标为(2，-1).即当P的坐标是(4, 5 )或(-4,7)或(2，-1)时，
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
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②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形 是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说 明理由.
【解析】(1) y 3x 2 3
(2)①令 3x 2 3 0， 1=-1,x2=1,则抛物线C1与x轴的两个 得x 交点坐标为(-1，0)，(1，0).
当 AD AE 时，如图①，(-1+m)-(-1-m) ［1 m 1 m ］ ,
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②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得： m, 3 . M 而M，N关于原点O对称，∴OM=ON.
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∵A(-1-m,0),E(1+m,0),∴A,E关于原点O对称，∴OA=OE， ∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形， 必需满足OM=OA，



规律探索问题是指通过对数学命题、式子、图形进行观察、
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归纳、猜想、验证等一系列数学思维过程，探索问题中的数
量关系和变化规律，得到一般性结论，并能运用代数式、方
程、函数等进行描述的一类问题.
3.(2011·福州中考)如图，将一张正方形纸片剪成四个小正 方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的
探究可得k=______， 若点P的坐标为(m，0)时，则b=_____； (3)依据(2)的规律，如果点P的坐标为(6，0)，请你求出点M1 和点M的坐标．
【思路点拨】根据图象作出符合题意的图形，使用待定系数法 求出直线的关系式，并根据关系式及其规律求解点的坐标. 【自主解答】(1)如图：M1的坐标为(－1，2)
个正方形的顶点M1在第二象限.
(1)如图所示，若反比例函数关系式为 y ， P点坐标为 (1，0)，图中已画出符合条件的一个正方形PQMN，请你在图
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2 x
中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐
标，M1的坐标是__________；
(2) 请你通过改变P点坐标，对直线M1M的关系式y=kx＋b进行
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(2)k=-1，b=m (3)由(2)知，直线M1M的关系式为y=-x+6 则M(x，y)满足x·(-x+6)=-2 解得 x1 3 11, x 2 3 11，
y1 3 11 y 2 3 11 ，
∴M1，M的坐标分别为 3 11， 11 ，3 11， 11 ． 3 3
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∴A(-1-m,0),B(1-m,0).同理得D(-1+m,0),E(1+m,0).
1 1 3 3 ∴ m 1 , 当 AB 1 AE时，如图②，(1-m)-(-1-m) 2 3 = 1 1 m 1 m ］ ［ , 3 ∴m=2.∴当 m 1 或2时，B、D是线段AE的三等分点. 2
3
以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形.
存在性开放探索问题是指在一定的前提条件下，探索某种数
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学关系(数学现象)是否存在的问题.此类问题的综合性较强， 常与动点问题结合在一起，在中考试题中多以压轴题的形式 出现.
1.(2011·浙江中考)已知方程组
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以此为依据进行推理论证，若能达到与已知条件相符的结论， 则说明探索的元素存在；若推出矛盾，则说明不存在. 2.与动态有关的开放性探索问题，解答关键是着重分析变化 过程中的不变量和问题中蕴含的数量关系，以分析问题中的
数量关系为出发点，通过对几何图形运动过程的观察、推理，
动中取静，构建函数或方程模型，数形结合解决问题.
2 2
2.(2011·江西中考)将抛物线 C1 : y 3x 2 3 沿x轴翻折， 得抛物线C2,如图所示.
(1)请直接写出抛物线C2的表达式.
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(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物
线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线
C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 N，与x轴交点从左 到右依次为D，E.
2 2 2 3 3
1 2
1 2
1 2
解得x=2或1,所以y=-1或 4 ，
3
∴D的坐标是(2,-1)、(1, 4 ).
3
(3)设PQ=AB=4，PQ∥AB，则P点的横坐标是4或-4，把x=4代入
5 5 1 2 此时P(4， );把x=-4代入 y 1 x 2 2 x 1 y x2 x 1 得 y ， 3 3 3 3 3 3
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n次操作时，小正方形有3(n-1)+4个，当3(n-1)+4=2 011时， 解得n=670. 答案：670
4.(2011·菏泽中考)填在下面各正方形中的四个数之间都有
相同的规律，根据这种规律，m的值是_______.
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【解析】观察可知这四个数满足如下规律
若存在，求出点D的坐标；若不存在,说明理由(使用图1)；
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(3)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以Q、P、A、B为顶点的
四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标(使用
图2).
【思路点拨】典 例 · 解 题 Nhomakorabea攻 略【自主解答】(1)x m 1, m 2 ,
(2)存在.设D的坐标是(x,y),则 y x 2 x 1.
连接AC、CD、OD、BD.∴S△AOC+S△OCD+S△OBD=3,
典 例 · 解 题 攻 略
1 3
2 3
∴ 11 1 x 3 y 3,
∴ 1 1 x 1 3 ( 1 x 2 2 x 1) 3,
所以m=12×14-10=158.
答案：158
解题策略
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1.与数或式有关的问题：一般写出数或式的基本结构，然后 通过横比(比较同一式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不 同等式间相同位置的数量关系)，分析式子中存在的变量及不 变量、变化的规律，找出各部分的特征，改写成要求的格式；