山西省孝义市2018届高三下学期名校最新高考模拟卷(一)数学(理)试题 (3)

【题文】 已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，且点F 1到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12
. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A 、B 两点，与椭圆相交于
C 、D
，且
CD AB =l 的方程；若不存在，说明理由. 【答案】
【解析】
(1)设1F ，2F 的坐标分别为(),0c -，(),0c ，根据椭圆的几何性质可得312a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2a =，1c =，则222
3b a c =-=，故椭圆C 的方程为22
143x y +=. (2)假设存在斜率为1-的直线l ，那么可设为y x m =-+，则由(1)知1F ，2F 的坐标分别为
()1,0-，()1,0，可得以线段12F F 为直径的圆为221x y +=，圆心()0,0到直线l
的距离
1d =<
，得m <，
AB ==， 联立22
143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩
得22784120x mx m -+-=，设()11,C x y ，()22,D x y ， 则()()()
2222847412336484870m m m m ∆=-⨯-=-=->， 得2
7m <，1287m x x +=，2124127m x x -=
，12CD x =-==解得2123m =<
，得m =.
即存在符合条件的直线:l y x
=-.
【标题】山西省孝义市2018届高三下学期名校最新高考模拟卷（一）数学（理）试题【结束】。