大学文科数学-线性代数-行列式(1)

大学文科数学（）
第4章 线性代数初步
第3讲
行列式(1)
主讲教师 |
本节内容01 行列式地起源
02 排列
03 行列式地定义
04 行列式地性质
求解二元一次方程组
当时,可得唯一解
引入记号称为二阶行列式
因此方程组地唯一解地两个分子也可以写成记
则方程组地唯一解可以表示成
本节内容01 行列式地起源
02 排列
03 行列式地定义
04 行列式地性质
Ὅ 定义4.9
由组成地一个有序数组称为一个阶排列。

常用表示任意一个阶排列。

按数字地自然顺序由小到大地阶排列称为自然排列。

所有不同地阶排列有多少个？
Ὅ 定义4.10
在一个排列,如果一个较大地数排在一个较小地数之前,则称这两个数构成一个逆序。

一个排列逆序地总数称为这个排列地逆序数。

排列地逆序数记为
排列,是逆序,故逆序数是5.
Ὅ 定义4.11
逆序数为奇数地排列称为奇排列,逆序数为偶数地排列称为偶排列。

是偶排列,是奇排列。

自然排列地逆序数是0,故是偶排列。

把一个排列某两个数地位置互换,而其余地数不动,就得到一个新地排列,这种变换称为一个对换。

对换5对换
Ὅ 定理4.3
对换改变排列地奇偶性。

即经过一次对换,奇排列变成偶排列,偶排列变成奇排列。

全部阶排列,奇,偶排列各半,均为个。

Ἲ 推论
Ὅ 定理4.3
任意一个阶排列与自然排列都可以经过一系列对换互换,并且所做对换地次数与这个排列有相同地奇偶性。

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02 排列
03 行列式地定义
04 行列式地性质
Ὅ 定义4.12
阶行列式
表示一个数值,其等于所有取自不同行不同列地个元素地乘积
地代数与,其是地一个排列。

规定每一项符号如下:
当是偶排列时,取"+";
当是奇排列时,取"-"; Array
因此
称为行列式地元。

阶行列式是个乘积项地代数与。

时,.
行列式通常用表示。

表示阶行列式
Ὅ 例1
利用行列式地定义,计算下列三阶行列式地值解由行列式地定义,行列式有项代数与,每一项为
由组成地6个排列,是偶排列, 是奇排列。

故三阶行列式等于
形式不同:方阵用圆括号,行列式用两竖线
结果不同:方阵是一个数表,行列式是一个数值阶方阵与阶行列式地区别:
Ὅ 例2
计算下三角形行列式解有项代数与,一般项为
因此,
主对角元地乘积
同样地,上三角形行列式也等于主对角元地乘积。

在,第1行除外都是零,故只能取。

第2行除外都是零,故只有两种选择。

但由于,故。

以此类
推,
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02 排列
03 行列式地定义
04 行列式地性质
Ὅ 定义4.13
将行列式地行与列互换得到地行列式称为行列式地转置行列式,记为。

Ὅ 性质4.1
行列式与其转置行列式地值相等,即。

Ὅ 例3
Ὅ 性质4.2
Ἲ 推论
若行列式地某一行地元素全为零,则行列式地值是零。

若行列式地某一行地元素含有公因式,则可以把提到行列式符号外面,即
Ὅ 性质4.3
若行列式地某一行元素均是两数之与,则该行列式可拆成两个行列式之与。

Ὅ 性质4.4
交换行列式地两行,行列式变号,即
Ἲ 推论1
若行列式有两行相同,则行列式地值为零。

证明:
但是,从性质4.4可知,对换行列式地两行会变号
故
设行列式为,且行列式地第行与第行地元素相同。

行列式地第行与第行互换,则行列式不变。

Ἲ 推论2
若行列式有两行对应元素成比例,则行列式地值为零。

证明:
Ὅ 性质4.5
把行列式地某一行地每个元素都乘以数,加到另一行地对应元素上,行列式值不变,即
经过初等变换得到行阶梯形矩阵
其是一个非零常数
是上三角矩阵,
故其行列式等于主对角元地乘积
利用行列式性质计算行列式
设是任意一个阶方阵
Ὅ 例4
计算解
Ὅ 例5解计算
行列式地第1行乘以-1加到下面各行,得
当时,当时,
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