高考数学一轮复习 数列求和课件
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第四节 数列求和
常用数列求和的方法
1.公式法 直接应用等差数列，等比数列的求和公式，以及正整数的平 方和公式，立方和公式等公式求解. 2.倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末 两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就
得到一个常数列的和，进而求出数列的前n项和.
n项和的数列来求之.
2.常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；
(2)an＝a· qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；
(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列， 采用分组求和法求{an}的前n项和.
【注意】
的取值.
应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q
若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情 况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.
数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2
＋sin2 ，n＝1,2,3，…
)· an
(1)求a3、a4可利用a1、a2递推，求an时需先化简 递推关系； (2)用错位相减法求.
(1)求a3，a4的值，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn.
( ＋3n－2)
＋4)＋(
＋7)＋…＋
＝(1＋
)＋[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]，
设S1＝1＋
当a＝1时，S1＝n； 当a≠1时，S1＝ ，
，
S2＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝
.
∴当a＝1时，Sn＝S1＋S2＝n＋
；
当a≠1时，Sn＝S1＋S2＝
.
1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数
，其前n项之和为
，则在平面直角坐 ( )
标系中，直线 (n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为
A.－10
C.10
B.－9
D.9
解析：数列{an}的前n项和为
所以n＝9，于是直线(n＋1)x＋y＋n＝0即为10x＋y＋9＝0， 所以在y轴上的截距为－9.
答案：B
4.数列1, 解析： =(1+4+7 +28)
∴当n为奇数时，an＋2－an＝1，
∴当n为偶数时an＋2＝2an，
∴ Sn ＝
(2)由(1)可知bn＝
，
∴Sn＝
，
①
Sn＝
.
②
①－②得：(1－
)Sn＝
，
∴
Sn＝
＝1－
∴Sn＝2－
.
2.(2010· 泉州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等 比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
列{an· bn}的前n项和时，可采用错位相减法.
2.用乘公比错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” 以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.
【注意】
利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和.
＝
[(6n－5)4n＋5].
[(6n－5)4n＋5].
∴Tn＝
1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第 一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项， 再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，
(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2009＋2010)＝1005. 答案：D
2.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n 项和为 ( )
A.2n＋n2－1
C.2n＋1＋n2－2 解析：Sn＝ 答案：C
B.2n＋1＋n2－1
D.2n＋n2－2 ＝2n＋1－2＋n2.
3.数列 an=
前10项的和为
.
答案：
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9
＝
.
解析：由等差数列的性质得
S9＝9a5＝72，a5＝8，a2＋a4＋a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24. 答案：24
1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然 后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前
【解】
(1)当n＝1时，a3＝(1＋cos2
)a2＋sin2
)a1＋sin2
＝2a2＝4.
＝a1＋1＝2， 当n＝2时，a4＝(1＋cos2 ∵当n为奇数时，cos2 ∵a1＝1，∴a2n－1＝n. ∵当n为偶数时，cos2 ∵a2＝2，∴a2n＝2n. ＝1，sin2 ＝0，
n n 2 ＝0，sin ＝1， 2 2
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝ 求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2； n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，当n＝1时，
满足an＝4n－2，
故{an}的通项公式为an＝4n－2， 即{an}是a1＝2，公差d＝4的等差数列. 设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，d＝4，∴ q= 故bn＝b1qn－1＝2×
＋…＋cn
(2n 1)4n1 ,
＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n－1)×4n－1， 4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)×4n. 两式相减得 3Tn＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n
5.分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的
数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相
加减.
1.数列{(－1)n· n}的前2010项的和S2010为 A.－2010 C.2010 B.－1005 D.1005
(
)
解析：S2010＝－1＋2－3＋4－5＋…－2009＋2010＝
求数列
的前n项和Sn.
将各式变形，使其呈现出某种特点，再利用等 差、等比数列的求和公式进行求和.
【解】
∵
＝1＋ ，…
，
＝2＋
，
＝3＋
，
＝4＋
∴ Sn
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋( ＝
(n＋
)
) ＋1－ .
1.求下面数列的前n项和：
1＋1，
＋4，
＋7，…，
＋3n－2，…
解：前n项和为Sn＝(1＋1)＋(
3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对 应项的乘积组成的，此时可把式子Sn＝a1＋a2＋…＋an的两 边同乘以公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相
减整理即可求出Sn.
4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵 消，于是前n项和就变成了首尾少数项之和.
常用数列求和的方法
1.公式法 直接应用等差数列，等比数列的求和公式，以及正整数的平 方和公式，立方和公式等公式求解. 2.倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末 两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就
得到一个常数列的和，进而求出数列的前n项和.
n项和的数列来求之.
2.常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；
(2)an＝a· qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；
(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列， 采用分组求和法求{an}的前n项和.
【注意】
的取值.
应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q
若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情 况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.
数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2
＋sin2 ，n＝1,2,3，…
)· an
(1)求a3、a4可利用a1、a2递推，求an时需先化简 递推关系； (2)用错位相减法求.
(1)求a3，a4的值，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn.
( ＋3n－2)
＋4)＋(
＋7)＋…＋
＝(1＋
)＋[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]，
设S1＝1＋
当a＝1时，S1＝n； 当a≠1时，S1＝ ，
，
S2＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝
.
∴当a＝1时，Sn＝S1＋S2＝n＋
；
当a≠1时，Sn＝S1＋S2＝
.
1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数
，其前n项之和为
，则在平面直角坐 ( )
标系中，直线 (n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为
A.－10
C.10
B.－9
D.9
解析：数列{an}的前n项和为
所以n＝9，于是直线(n＋1)x＋y＋n＝0即为10x＋y＋9＝0， 所以在y轴上的截距为－9.
答案：B
4.数列1, 解析： =(1+4+7 +28)
∴当n为奇数时，an＋2－an＝1，
∴当n为偶数时an＋2＝2an，
∴ Sn ＝
(2)由(1)可知bn＝
，
∴Sn＝
，
①
Sn＝
.
②
①－②得：(1－
)Sn＝
，
∴
Sn＝
＝1－
∴Sn＝2－
.
2.(2010· 泉州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等 比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
列{an· bn}的前n项和时，可采用错位相减法.
2.用乘公比错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” 以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.
【注意】
利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和.
＝
[(6n－5)4n＋5].
[(6n－5)4n＋5].
∴Tn＝
1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第 一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项， 再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，
(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2009＋2010)＝1005. 答案：D
2.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n 项和为 ( )
A.2n＋n2－1
C.2n＋1＋n2－2 解析：Sn＝ 答案：C
B.2n＋1＋n2－1
D.2n＋n2－2 ＝2n＋1－2＋n2.
3.数列 an=
前10项的和为
.
答案：
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9
＝
.
解析：由等差数列的性质得
S9＝9a5＝72，a5＝8，a2＋a4＋a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24. 答案：24
1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然 后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前
【解】
(1)当n＝1时，a3＝(1＋cos2
)a2＋sin2
)a1＋sin2
＝2a2＝4.
＝a1＋1＝2， 当n＝2时，a4＝(1＋cos2 ∵当n为奇数时，cos2 ∵a1＝1，∴a2n－1＝n. ∵当n为偶数时，cos2 ∵a2＝2，∴a2n＝2n. ＝1，sin2 ＝0，
n n 2 ＝0，sin ＝1， 2 2
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝ 求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2； n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，当n＝1时，
满足an＝4n－2，
故{an}的通项公式为an＝4n－2， 即{an}是a1＝2，公差d＝4的等差数列. 设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，d＝4，∴ q= 故bn＝b1qn－1＝2×
＋…＋cn
(2n 1)4n1 ,
＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n－1)×4n－1， 4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)×4n. 两式相减得 3Tn＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n
5.分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的
数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相
加减.
1.数列{(－1)n· n}的前2010项的和S2010为 A.－2010 C.2010 B.－1005 D.1005
(
)
解析：S2010＝－1＋2－3＋4－5＋…－2009＋2010＝
求数列
的前n项和Sn.
将各式变形，使其呈现出某种特点，再利用等 差、等比数列的求和公式进行求和.
【解】
∵
＝1＋ ，…
，
＝2＋
，
＝3＋
，
＝4＋
∴ Sn
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋( ＝
(n＋
)
) ＋1－ .
1.求下面数列的前n项和：
1＋1，
＋4，
＋7，…，
＋3n－2，…
解：前n项和为Sn＝(1＋1)＋(
3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对 应项的乘积组成的，此时可把式子Sn＝a1＋a2＋…＋an的两 边同乘以公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相
减整理即可求出Sn.
4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵 消，于是前n项和就变成了首尾少数项之和.