江苏省南通市通州区2020届高三数学第一次调研抽测试题(含解析)

江苏省南通市通州区2020届高三数学第一次调研抽测试题（含解析）
参考公式：锥体的体积公式1
3
V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.已知集合{1,1,2}A =-，{1,2,4}B =，则A B I =________. 【答案】{1,2} 【解析】 【分析】
根据集合交集的概念，可直接得出结果. 【详解】因为{1,1,2}A =-，{1,2,4}B =， 所以{1,2}A B =I . 故答案为{1,2}
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.
2.设i 为虚数单位，则复数3
(1)i +的实部为________. 【答案】-2 【解析】 【分析】
根据复数的乘法运算，化简3(1)i +，即可得出结果. 【详解】因为3
2(1)((1)2(1)221)=++=+-++=i i i i i i ，
所以其实部为2-. 故答案为2-
【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数的乘法运算法则即可，属于常考题型.
3.某校共有学生2400人，其中高三年级600人.为了解各年级学生兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为_______. 【答案】25 【解析】
【分析】
先由题意确定抽样比，进而可得出结果.
【详解】由题意，从全校2400人中抽取100人，抽样比为1001 240024
=，
又高三年级共有600人，所以高三年级应抽取的学生人数为
1 60025
24
⨯=.
故答案为25
【点睛】本题主要考查分层抽样各层样本数的问题，熟记分层抽样的概念，会求抽样比即可，属于常考题型.
4.若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为__________．
【答案】3 4
【解析】
分析：先确定4位同学中选出3位同学事件数，再确定甲被选中事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.
详解：因为4位同学中选出3位同学共有3
44
C=种，甲被选中事件数有2
33
C=,所以甲被选
中的概率为3
4
.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
5.在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为-2，则输入的x的值为_______.
【答案】
14
【解析】 【分析】
先由程序框图，得到该算法流程图表示求分段函数222,1
log ,1
x x y x x ⎧->=⎨≤⎩的函数值，由输出的y 值
为2-，分类讨论，即可求出结果.
【详解】由题意可得，程序框图表示求分段函数22
2,1
log ,1x x y x x ⎧->=⎨≤⎩的函数值；
因为输出的y 的值为2-，
当1x ≤时，有2log 2x =-，所以1
4
x =
，满足题意； 当1x >时，有222x -=-，所以0x =，不满足题意； 所以输入的x 的值为14
. 故答案为
14
【点睛】本题主要考查条件结构的流程图，会分析流程图的作用即可，属于常考题型.
6.已知双曲线2
221(0)x y a a
-=>的焦距为4.则a 的值为________.
3【解析】 【分析】
根据双曲线方程，得到焦距为2==c ，求解，即可得出结果.
【详解】因为双曲线2
221(0)x y a a
-=>的焦距为4，
所以24===c
，解得a =
【点睛】本题主要考查由双曲线的焦距求参数的问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
7.不等式23
1
2
2
x x --<
的解集为_______. 【答案】(﹣1，2) 【解析】 【分析】
利用指数函数的
单调性求解即可
【详解】由题2
3
12
2x
x --<
则23
11222
x x ---<=，故23112x x x --<-⇒-<< 故填(﹣1，2)
【点睛】本题考查指数函数的单调性及指数运算，是基础题
8.设A ，B 分别为椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C 过点P(2，1)，
当线段AB 长最小时椭圆C 的离心率为_______.
【答案】2
【解析】 【分析】
先由题意得到(,0)A a ，(0,)B b ，再由椭圆过点(2,1)P ，得到22
41
1a b +=，由基本不等式，确
定AB =
取最小值时的条件，进而可得出结果.
【详解】因为A ，B 分别为椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，
所以(,0)A a ，(0,)B b ， 又椭圆C 过点(2,1)P ， 所以
22
41
1a b +=，
所以3===≥=AB ，
当且仅当22
224a b b a
=，即222a b =时，取等号，
此时222a c =
，所以离心率为2
=
==
c e a .
故答案为
2
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，熟记椭圆的简单性质，以及基本不等式的应用即可，属于常考题型.
9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若21a =，3680a a +=，则5S 的值为______. 【答案】112
- 【解析】 【分析】
先设等比数列的公比为q ，由题中条件，列出方程组，求出首项与公比，再由求和公式，即可得出结果.
【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，
由题意可得2125
36
111880a a q a a a q a q ==⎧⎨+=+=⎩，即131
80a q q =⎧⎨+=⎩， 解得1122a q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩
，因此5
151(132)(1)1121122-+-===--+a q S q .
故答案为112
-
【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和基本量的运算，熟记通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
10.将函数()sin 4f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象向右平移ϕ个单位，得到函数y g x =（
）的图象.则“34
π
ϕ=
”是“函数()g x 为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】
先由题意得到sin 4（）=πϕ⎛
⎫
+- ⎪⎝
⎭
g
x x ，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】由题意，将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移ϕ个单位，可得
sin 4（）=πϕ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
g
x x 的图像， 当34πϕ=时，可得3sin sin cos 442（）=πππ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x x x x ，显然()g x 为偶函数，
所以“34
π
ϕ=
”是“函数()g x 为偶函数”的充分条件； 若函数()g x 为偶函数，则,42
ππ
ϕπ-=+∈k k Z ，
即,4
π
ϕπ=-
-∈k k Z ，不能推出34
πϕ=
， 所以“34π
ϕ=
”不是“函数()g x 为偶函数”的必要条件， 因此“34
π
ϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
11.已知函数()()x
f x ax b e =+，若曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为
310x y -+=，则(1)f 的值为_______.
【答案】3e 【解析】 【分析】
先对函数求导，得到(0)'=+f a b ，再由曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，列出方程组，求出函数解析式，从而可得出结果.
【详解】因为()()x
f x ax b e =+，所以((()))++=++'=x x x ax b f x ae a e x b e a ，
则(0)'=+f a b ，
又曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，
当0x =时，1y =，即(0)1f =，
所以有3
1
a b b +=⎧⎨=⎩，解得2,1a b ==.
因此()(21)x
f x x e =+，所以(1)3f e =.
故答案为3e
【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.
12.设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)
x y xy
++的最小值为_________.
【答案】9 【解析】 【分析】
将分式展开，利用基本不等式求解即可
【详解】(4)(2)8241616
1x y xy x y xy xy xy xy xy
++++++===+
又x ＋2y ＝422,xy ≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥ 故填9
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件
13. 函数2
()3f x x x k =--有两个零点，则k 的取值范围是_______. 【答案】()90,4⎧⎫-+∞⎨⎬⎩⎭
U 【解析】 【分析】 先令
2()3=-g x x x
，作出其图像，根据函数2
()3f x x x k =--有两个零点，得到
2()3=-g x x x 的图像与直线y k =有两个交点，结合图像，即可得出结果.
【详解】令22
23,0
()33,0x x x g x x x x x x ⎧-≥=-=⎨+<⎩
，
因为函数2
()3f x x x k =--有两个零点， 所以2
()3=-g x x
x 的图像与直线y k =有两个交点，
作出函数2
()3=-g x x x 的图像如下：
因为min 39()24⎛⎫=±=- ⎪⎝⎭
g x g ， 由图像可得：
min 9
()4
==-
k g x 或0k >. 故答案为()90,4⎧⎫-+∞⎨⎬⎩⎭
U
【点睛】本题主要考查由函数零点的个数求参数的问题，通常需要将函数零点个数转化为两函数图像交点个数来处理，结合函数图像即可求解，属于常考题型.
14.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，1AD =，
1AA 点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足QC =，则线段BQ
的长度的最大值为 _______. 【答案】6 【解析】 【分析】
先以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立
空间直角坐标系，由题意得到(0,2,0)C ，(1,P ，(2,2,0)B ，设(,,0)Q x y ，由
QC =，得到2
2(2)
(2)4-++=x y ，再由圆上的点与定点距离的问题，即可求出结
果.
【详解】以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正
方形，P 为11A D 的中点，2AD =，1AA =
所以(0,2,0)C ，(1,P ，(2,2,0)B ， 因为点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点， 设(,,0)Q x y ，
因为QC =，
=
整理得：2
2(2)
(2)4-++=x y
即点Q 可看作圆2
2(2)(2)4-++=x y 上的点，
又22(
2)(2)=
-+-BQ x y ，
所以BQ 表示圆2
2(2)
(2)4-++=x y 上的点与定点(2,2)之间的距离，
因此22max (22)(22)426=-+--+=+=BQ r （其中r 表示圆2
2(2)(2)4-++=x y 的
半径.） 故答案为6
【点睛】本题主要考查立体几何中的
最值问题，通常可用建系的方法求解，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，
OP OC =，E 为PC 的中点，PA PD ⊥.
（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：PA ⊥平面PCD 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）连结OE ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）根据线面垂直的判定定理，即可直接证明结论成立. 【详解】（1）连结OE .
因为四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ， 所以O 为AC 的中点. 因为E 为PC
的
中点，
所以//OE PA .
因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以//PA 平面BDE .
（2）因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥. 由（1）知，//OE PA ，所以PA PC ⊥.
因为PA PD ⊥，PC ， PD ⊂平面PCD ，PC PD P ⋂=， 所以PA ⊥平面PCD .
【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直的判定，熟记判定定理即可，属于常考题型.
16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知向量sin ,16a A π⎛⎫⎛
⎫
=+
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
r ，向量()1,cos b A =r ，且1
2
a b ⋅=r r .
（1）求角A 的大小；
（2）若4b =，5c =，求sin 2B 的值. 【答案】（1）3
A π
=（2
）
7
【解析】 【分析】
（1）利用数量积的坐标运算，结合两角和差正弦公式和辅助角公式可求得1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
根据角的范围可确定3
A π
=
；（2）利用余弦定理求得a ，根据正弦定理求得sin B ；由三角形
大边对大角知道B 为锐角，从而求得cos B ；利用二倍角公式求得结果. 【
详
解
】
（
1
）
1sin cos sin cos cos sin cos cos 66622a b A A A A A A A
πππ⎛
⎫⋅=+-=+-=- ⎪⎝
⎭r r 1sin 62A π⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭
()0,A π∈Q 5π,666ππA ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭ 66A ππ
∴-=，解得：3
A π=
（2）由余弦定理得：2
2
2
2cos 162540cos
213
a b c bc A π
=+-=+-=
a ∴=由正弦定理sin sin a
b A B
=
得：4sin sin b A B a ⨯
===b c <Q B C ∴< B ∴为锐角
cos 7
B ∴==
sin 22sin cos 2777
B B B ∴==⨯
=
【点睛】本题考查解三角形知识的应用，涉及到正弦定理和余弦定理解三角形、两角和差和辅助角公式化简三角函数、平面向量数量积公式的应用、二倍角公式的应用等知识，属于常考题型.
17.设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和()2
128
n n S a =+，*n N ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设等比数列{}n b 的首项为2，公比为q （0q >），前n 项和为n T .若存在正整数m ，使得
33m S S T =⋅，求q 的值.
【答案】（1）42n a n =-（2）12-+或24
-+. 【解析】 【分析】 （1）先由()2
128
n n S a =+求出12a =，再由2n …时，1n n n a S S -=-，求出通项，进而可求出结果；
（2）先由（1）得到2
2n S n =，根据33m S S T =⋅，得到
2
2
912q q m
=++，结合题意求出1m =或2m =，分情况讨论，即可求出结果. 【详解】（1）当1n =时，()2
111128
a S a ==
+，则12a =. 当2n …
时，()()22
11112288
n n n n n a S S a a --=-=+-+， 即2
2
11440n n n n a a a a -----=， 所以()()1140n n n n a a a a --+--=.
因为数列{}n a 的各项均为正数，所以10n n a a ->+， 所以14n n a a --=，
所以数列{}n a 是公差为4的等差数列， 所以24(1)42n a n n =+-=-.
（2）由（1）知，2
2n S n =.
由33m S S T =⋅，得()
22
182222m q q =⋅++，
所以
22
9
12q q m
=++. 因为0q >，所以
2
912m >，即322
m <， 由于*m ∈N ，所以1m =或2m =. 当1m =时，2
702q q +-
=，解得115
2q -±=（舍负）， 当2m =时，2
108q q +-
=，解得264
q -±=（舍负）， 所以q 的值为
115-+或26-+. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
18.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A ，B 两地，A 地位于东西方向的直线MN 上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4
BAN π
∠=
，在A 地正西方向4km 的
点C 处，用测角器测得3tan BCN ∠=.拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设.预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 和4万元/km ，设BPN θ∠=，,42ππθ⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭，铺设电缆的总费用为()f θ万元.
（1）求函数()f θ的解析式；
（2）试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由.
【答案】（1）2cos ()1212sin f θθθ-=+⨯
，其中,42ππθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
（2）当点P 选在距离A 地
(623)km -处时，铺设的总费用最少，详见解析.
【解析】 【分析】
（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ，根据题中条件，得到BD AD =，3BD DC =，由BPN θ∠=，得
到
6
sin BP θ
=
，
6tan DP θ
=
，
66tan AP θ
=-
，进而得到
66()264tan sin f θθθ⎛
⎫
=⨯-
+⨯ ⎪
⎝⎭
，化简即可得出结果； （2）根据（1）的结果，先设2cos ()sin h θθθ-=，,42ππθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，对()θh 求导，用导数的方法
研究其单调性，即可求出最值.
【详解】（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D .
在Rt BAD ∆中，4
BAD π
∠=
，则BD AD =.
在Rt BCD ∆中，tan 3BD
BCD DC
∠==， 所以3BD DC =. 因为4AC =，所以1
43
BD BD -=， 所以6BD =.
由BPN θ∠=，则6sin BP θ=
，6tan DP θ
=.
由6AD BD ==，得6
6tan AP θ
=-
. 所以66()264tan sin f θθ
θ⎛⎫=⨯-
+⨯ ⎪
⎝
⎭
， 即2cos ()1212sin f θθθ-=+⨯
，其中,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
.
（2）设2cos ()sin h θθθ-=
，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
则222
sin (2cos )cos 12cos ()sin sin h θθθθ
θθθ
'
---==. 令()0h θ'
=，得1cos 2
θ=
，所以3πθ=.
列表如下：
所以当3
π
θ=
时，2cos ()sin h θ
θθ
-=
所以()f θ取得最小值12+6AP =-答：当点P 选在距离A 地(6-处时，铺设的总费用最少，且为12+. 【点睛】本题主要考查函数的模型的应用，以及导数的方法求最值的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.
19.在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆C ：2
2
221(0)43x y t t t
-=>的左、右顶点为A ，B ，右焦
点为F .过点A 且斜率为k （0k >）的直线交椭圆C 于另一点P .
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若12k =，求2
2
PA PB 的值；
（3）设直线l :2x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BO 的中点为E ，求证：点B 关于直线
EF 的对称点在直线PF 上。

【答案】（1）12（2）2245
13
PA PB =
（3）详见解析 【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的方程，结合椭圆离心率的求法，即可求出结果； （2）先由题意，得到直线AP 的方程为1
(2)2
y x t =+代入椭圆方程，求出点P 的坐标，表示出2PA 与2PB ，进而可得出结果；
（3）由直线AP 的方程与直线l 的方程联立，求出(2,4)Q t kt ，表示出直线EF 的斜率，再由
222(2)3412y k x t x y t =+⎧⎨+=⎩
，，结合韦达定理，以及题中条件，表示出直线PF 的斜率，再由题意，即可证明结论成立.
【详解】（1）因为椭圆C ：2222143x y t t
+=，
所以224a t =，223b t =，22c t =. 又0t >，所以2a t =，c t =，
所以椭圆C 的离心率12
c e a =
=. （2）因为直线AP 的斜率为
1
2
，且过椭圆C 的左顶点(2,0)A t -， 所以直线AP 的方程为1
(2)2
y x t =
+. 代入椭圆C 的方程2
2
2
3412x y t +=，
得2
2
2
3(2)12x x t t ++=，即2220x tx t +-=， 解得x t =或2x t =-（舍去）， 将x t =代入1(2)2y x t =
+，得3
2
y t =， 所以点P 的坐标为3,
2t t ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 又椭圆C 的右顶点B （2t ,0），
所以2222345(2)024PA t t t t ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭，2
222313(2)024PB t t t t ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭
，
所以22
45
13
PA PB =. （3）直线AP 的方程为(2)y k x t =+，
将2x t =代入(2)y k x t =+，得4y kt =，所以(2,4)Q t kt . 因为E 为线段BQ 的中点，所以(2,2)E t kt ， 因为焦点F 的坐标为（t ,0）， 所以直线EF 的斜率2EF k k =.
联立222(2)3412y k x t x y t =+⎧⎨
+=⎩，
，
消y 得，
()()
2222234164430k x k tx k t +++-=. 由于()
22
2
44334A P
k t x x k
-=+，2A x t =-，
所以()
22
23434P
k t x k
-=+，
所以点P 的坐标为()
22223412,3434k t kt k k ⎛⎫
- ⎪ ⎪
++⎝⎭
， 所以直线PF 的斜率()
2
2222
1242234141(2)23434pF
kt
k k
k k k k k t
t
k ⋅+=
==
----+.
而直线EF 的斜率为2k ，
若设EFB θ∠=，则有tan tan 2PFB θ∠=，即2PFB EFB ∠=∠， 所以点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上.
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，以及椭圆的应用，熟记椭圆的方程，以及椭圆的简单性质即可，通常处理此类题型时，需联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型.
20.已知函数()()2
1f x x a x a =++-，()()ln ,g x x b x a b R =-∈.
（1）当2b =时，求函数()g x 的单调区间；
（2）设函数()()(),1
,1f x x h x g x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
，若0a b +=，且()0h x ≥在R 上恒成立，求b 的取值范
围；
（3）设函数()()()u x f x g x a =-+，若2a b +≥-，且()u x 在()0,∞+上存在零点，求b 的取值范围.
【答案】（1）函数()g x 的单调减区间为()0,2，单调增区间为()2,+∞；（2
）3e ⎡⎤-⎣⎦；
（3）[)1,-+∞ 【解析】 【分析】
（1）求导后，根据导函数的符号即可确定单调区间；（2）分别在1x ≤和1x >两种情况下，判断恒成立的条件；当1x ≤时，利用二次函数的性质，结合()min 0h x ≥可构造不等式求得b
的范围；当1x >时，利用分离变量法得到ln x
b x
≤
恒成立，进而通过求解右侧函数最小值得到b 的范围；两个范围取交集即为最终结果；（3）将函数在()0,∞+上存在零点转化为
ln 2x
x b b x
--⋅
≥--在()0,∞+上有解的问题；通过讨论ln x x -的正负可分离变量变为22ln x x
b x x
-≥
-，利用导数求解不等式右侧函数的最大值得到结果. 【详解】（1）当2b =时，()2ln g x x x =- ()22
1x g x x x
-'∴=-= 令()0g x '=得：2x =
Q 函数()g x 的定义域为()0,∞+
∴当()0,2x ∈时，()0g x '<；当()2,x ∈+∞时，()0g x '>， ∴函数()g x 的单调减区间为()0,2，单调增区间为()2,+∞
（2）由0a b +=得：()()21,1
ln ,1x b x b x h x x b x x ⎧--+≤=⎨->⎩
.
当1x ≤时，()()2
10h x x b x b =--+≥恒成立
当
1
12
b -≥，即3b ≥时，()()min 120h x h ==≥恒成立； 当112b -<，即3b <时，()2
min 161
024b b b h x h --+-⎛⎫==
≥ ⎪⎝⎭
解得：33b -≤<
综上所述：3b ≥-当1x >时，由()ln 0h x x b x =-≥恒成立得：ln x
b x
≤
恒成立 设()()1ln x m x x x
=>，则()()2ln 1ln x m x x -'=. 令()0m x '=得：x e =
当()1,x e ∈时，()0m x '
<；当(),x e ∈+∞时，()0m x '
>
()()min m x m e e ∴== b e ∴≤
综上所述：b 的取值范围为：3e ⎡⎤-⎣⎦
（3）()2
ln u x x ax b x =++
()u x Q 在()0,∞+上存在零点 2ln 0x ax b x ∴++=在()0,∞+上有解
即ln x
a x
b x
=--⋅
在()0,∞+上有解 又2a b +≥-，即2a b ≥--
ln 2x
x b b x
∴--⋅
≥--在()0,∞+上有解 设()ln t x x x =-，则()111x
t x x x -'=-=
令()0t x '=得：1x =
当()0,1x ∈时，()0t x '>；当()1,x ∈+∞时，()0t x '
<
()()110t x t ∴≤=-<，即ln x x < 22ln x x
b x x
-∴≥-.
设()22ln x x F x x x
-=-，则()()()()2
12ln 2ln x x x F x x x --+'=- 同理可证：ln 2
x
x <
2ln 20x x ∴-+> 则()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增
()()min 11F x F ∴==-，故1b ≥-
b ∴的取值范围为：[)1,-+∞
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、恒成立问题的求解、函数在区间内有零点问题的求解等知识；解决函数在区间内有零点的关键是能够将问题转化为方程或不等式有解的问题，通过分离变量法将问题进一步转化为所求参数与函数最值之间大小关系的比较.
数学Ⅱ（附加题）
21.已知矩阵231M t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的一个特征值为4.求矩阵M 的逆矩阵1M -. 【答案】1
13441122M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦
【解析】 【分析】
由题意，先设矩阵M 的特征多项式为2
3
()1
λλλ--=--f t
，由题意求出2t =，进而可求出结
果.
【详解】矩阵M 的特征多项式为2
3
()(2)(1)31
f t t
λλλλλ--=
=-----.
因为矩阵M 的一个特征值为4，所以方程()0f λ=有一根为4， 即(4)630f t =-=，所以2t =. 所以2321M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
， 所以1
1
344112
2M -⎡⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】本题主要考查求矩阵的逆矩阵问题，熟记矩阵的特征多项式，会由特征值求出矩阵中的参数即可，属于常考题型.
22.在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，直线l 的极坐标方程是
cos 24πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
.试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由. 【答案】直线l 与曲线C 相离，详见解析 【解析】 【分析】
根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，求出曲线C 的直角坐标方程为22
(1)1x y -+=，得到直线l 的直角坐标方程为220x y --=，再由几何法，即可得出结果.
【详解】由2cos ρθ=，得2
2cos ρρθ=，
所以22
2x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22
(1)1x y -+=为圆.
由cos 24πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，得直线l 的直角坐标方程为220x y --=. 所以圆心（1,0）到直线l 的距离为|22|2
2122
-=->，
所以直线l 与曲线C 相离.
【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的判断，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及几何法判断直线与圆位置关系即可，属于常考题型.
23.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，42AB =，M ，N 分别是AB ，1CC 的中点，且11A M B C ⊥.
（1）求1AA 的长度；
（2）求平面1AB N 与平面1B CM 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）22310
【解析】 【分析】
（1）先由题意得到90ACB ︒∠=，建立空间直角坐标系，设1A A a =，根据11A M B C ⊥，用向量的方法，即可求出结果；
（2）由（1）的结果，用向量的方法求出平面1AB N 的一个法向量，以及平面1B CM 的一个法向量，由向量夹角公式，求出两法向量的夹角余弦值，即可得出结果. 【详解】（1）在ABC ∆中，4AC BC ==，42AB =， 则222AB AC BC =+，所以90ACB ︒∠=. 建立如图所示的空间直角坐标系.
设1A A a =，则(4,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,0)C ，1(4,0,)A a ，1(0,4,)B a ，(2,2,0)M ，
所以1
(2,2,)AM a =--u u u u r ，1(0,4,)=--u u u r B C a . 因为11A M B C ⊥，
所以(2)02(4)()()0a a -⨯+⨯-+-⨯-=， 解得22a =1AA 的长为22（2）由（1）知，1(0,0,22)C ， 由N 是1CC 的中点，得2)N .
所以1(4,4,22)B A =-u u u r ，1(0,4,2)B N =--u u u u r
.
设平面1AB N 的法向量()1111,,n x y z =u r
，
由11n B A ⊥u r uuu r ，11n B N ⊥u r uuu r ，
得1111144040x y y ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩，，
取1(1,1=-u r n .
又1
(0,4,=--u u u r BC ，(2,2,0)=u u u u r CM ， 设平面1B CM 的法向量()2222,,n x y z =u u r
，
由21n B C ⊥u u r uuu r ，2n CM ⊥u u r uuu r
，
得222240220y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，，
取2(1,1=-u u r n . 设平面1AB N 与平面1B CM 所成锐二面角的大小为θ，
则121212
cos cos ,10θ⋅=<>==u r u u r
u r u u r
u r u u r n n n n n n .
所以平面1AB N 与平面1B CM
【点睛】本题主要考查立体几何中的棱长问题，以及二面角的求法，熟记空间向量的方法求解即可，属于常考题型.
24.已知数列{}n a
的通项公式为n n
n a =-⎝⎭⎝⎭
，*n N ∈，记1212n
n n n n n S C a C a C a =+++L
（1）求1S ，2S 的值；
（2）求证：对任意的正整数n ，n 2n n 1
S S S +++为定值.
【答案】（1
）1S =
2S =（2）详见解析
【解析】 【分析】
（1）根据题中条件，直接计算，即可得出结果；
（2
）先记α=
β=，由题意可得()()1
n
n
n n
i
i
i
i i
i
i i
i i
n n n n
n
i i i i S C C C C αβ
α
β
αβ
=====-=-=-∑∑∑
∑(1)(1)n
n
n n
αβ=+-+=-⎝⎭⎝⎭，进而得到2183n n n S S S ++=-，即可得出结果. 【详解】（1）因为1212n n n n n n S C a C a C a =+++L
，1133n
n
n a ⎛⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以1
111S C a ==
12
22122S C a C a =+=. （2
）记α=
β=. 则()()1
n
n
n n
i i
i
i i
i
i i
i i
n n
n n
n
i i i i S C C C C α
β
α
β
αβ=====
-=-=-∑∑∑∑
(1)(1)n
n
n n
αβ=+-+=-⎝⎭⎝⎭
.
注意到1⨯=⎝⎭⎝⎭
，
所以2
2
2
4433n n n S -++⎛⎛+=- ⎝⎭
⎝⎭
11444444333333n n n n ++⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎛⎛⎛⎛⎛⎛+--+⎢⎥⎢⎥=-+--⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦
18
3
n n S S +=-， 所以
218
3
n n n S S S +++=为定值.
【点睛】本题主要考查数列的应用，以及二项式的应用，熟记二项式定理，以及数列求和的概念即可，属于常考题型.。