白噪声 距离公式

白噪声距离公式
一、白噪声的概念。

1. 定义。

- 白噪声是一种功率谱密度在整个频域内均匀分布的随机信号。

简单来说，它在各个频率上具有相同的能量分布。

例如，在声学中，白噪声听起来是一种持续的“嘶嘶”声，就像收音机在没有调准电台时发出的声音。

- 从数学角度看，设白噪声序列为{x_n}，其均值E(x_n) = μ（通常假设μ = 0），自协方差函数r(k)=σ^2δ(k)，其中σ^2为方差，δ(k)为克罗内克（Kronecker）函数，当k = 0时，δ(k)=1；当k≠0时，δ(k) = 0。

2. 性质。

- 白噪声的功率谱密度S(ω)=σ^2（ω为角频率），这表明其功率在所有频率上是常数。

- 由于其自协方差函数的特殊形式，白噪声在不同时刻（除了同一时刻）是不相关的。

二、距离公式相关（假设是在信号处理或空间中的距离概念与白噪声相关的情况）
1. 欧几里得距离公式（如果涉及白噪声信号在离散点上的距离度量）
- 在n维空间中，对于两个点x=(x_1,x_2,·s,x_n)和y=(y_1,y_2,·s,y_n)，欧几里得距离d(x,y)=√(∑_i = 1)^n(x_i - y_i)^2。

- 如果将白噪声序列看作是在离散时间点上的取值，例如有两个白噪声序列的片段x={x_1,x_2,·s,x_m}和y={y_1,y_2,·s,y_m}，可以使用欧几里得距离来衡量它们之间的“差异”，此时距离d(x,y)=√(∑_i = 1)^m(x_i - y_i)^2。

2. 马氏距离公式（考虑到白噪声可能存在于多元统计分析的背景下）
- 设x和y是来自均值向量为μ、协方差矩阵为§igma的总体中的两个向量。

马氏距离d(x,y)=√((x - y)^T§igma^-1)(x - y)。

- 如果白噪声向量符合某种多元正态分布（白噪声在多元情况下的一种可能假设），马氏距离可以用来衡量两个白噪声向量之间的距离，它考虑了变量之间的相关性（通过协方差矩阵§igma）。

当协方差矩阵为单位矩阵（即各变量不相关且方差为1）时，马氏距离就退化为欧几里得距离。