2019高三数学理北师大版一轮专题突破练5 平面解析几何中的高考热点问题

专题突破练(五) 平面解析几何中的高考
热点问题
(对应学生用书第309页)
1．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为3
4，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .
【导学号：79140315】
[解] (1)根据c ＝
a 2－
b 2
及题设知M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ，b 2
a ，
b 2a 2
c ＝34，2b 2＝3ac .
将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，c
a ＝－2(舍去)． 故C 的离心率为1
2.
(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点， 故b 2
a ＝4，即
b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.
设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则 ⎩⎪⎨⎪⎧
2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧
x 1＝－32c ，
y 1＝－1.
代入C 的方程，得9c 24a 2＋1
b 2＝1.②
将①及c ＝
a 2－
b 2
代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.
解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.
2．(2018·海口调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
52，32，离心率为
25
5，点O 为坐标原点．
图2
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)如图2，过椭圆E 的左焦点F 任作一条不垂直于坐标轴的直线l ，交椭圆E 于P ，Q 两点，记弦PQ 的中点为M, 过F 作PQ 的垂线FN 交直线OM 于点N ，证明：点N 在一条定直线上．
[解]
(1)由题易得⎩⎪⎨⎪⎧
54a 2＋34b
2＝1，e 2
＝1－b 2a 2＝45，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝1，
所以c ＝2，所以椭圆E 的方程为x 25＋y 2
＝1. (2)证明：设直线l 的方程为
y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立y ＝k (x ＋2)与x 25＋y 2
＝1， 可得(1＋5k 2)x 2＋20k 2x ＋20k 2－5＝0，
所以x 1＋x 2＝－20k 2
1＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－5
1＋5k 2
.
设直线FN 的方程为y ＝－1
k (x ＋2)，M (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－10k 21＋5k 2，y 0＝k (x 0＋2)＝2k
1＋5k 2
， 所以k OM ＝y 0x 0
＝－1
5k ，
所以直线OM 的方程为y ＝－1
5k x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－15k x ，y ＝－1
k
(x ＋2).解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－5
2，y ＝1
2k ，
所以点N 在定直线x ＝－5
2上．
3．(2018·合肥二检)如图3，已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上一动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，
l 2，l 1与l 2相交于点M .
图3
(1)求抛物线E 的方程；
(2)求点M 到直线CD 距离的最大值．
[解] (1)由x A ＝2得y 2A ＝4，故4p ＝4，解得p ＝1. 于是抛物线E 的方程为y 2＝2x .
(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫
y 2
22，y 2，
切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －y 2
12，
代入y 2＝2x 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0， 由
Δ＝4－4k (2y 1－ky 21)＝0
解得k ＝1
y 1
，
∴l 1的方程为y ＝1y 1
x ＋y 1
2，
同理，l 2的方程为y ＝1y 2
x ＋y 2
2.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1y 1x ＋y 12，
y ＝1y 2
x ＋y 2
2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝y 1·y 2
2，y ＝y 1＋y 2
2，
易得CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，
其中x 0，y 0满足x 20＋y 2
0＝8，x 0∈[2,22]．
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，
得x 0y 2＋2y 0y －16＝0，
则⎩⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 2＝－2y 0x 0，
y 1·
y 2＝－16x 0
，代入⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝y 1·y 2
2，y ＝y 1＋y 2
2，
∴M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－8
x 0，
y ＝－y 0
x 0，
即点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－8x 0，－y 0x 0. 点M 到直线CD ：x 0x ＋y 0y ＝8的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8－y 20x 0－8x 20＋y 20
＝y 20
x 0
＋1622＝
8－x 20x 0＋1622＝8
x 0－x 0＋1622为关于x 0的单调递减函数，故当且仅当x 0＝2时，d max ＝1822＝922.
4．(2018·陕西质检(一))已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，
点P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，32在椭圆上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过F 1的直线l 1，l 2分别交椭圆E 于A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，问是否存在常数λ，使得1|AC |，λ，1
|BD |成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存
在，请说明理由.
【导学号：79140316】
[解] (1)∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴2a ＝4，a ＝2. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2
b 2＝1. 将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入可得b 2＝3， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)存在．①当AC 的斜率为零或斜率不存在时， 1|AC |＋1|BD |＝
13＋14＝712；
②当AC 的斜率k 存在且k ≠0时， 设AC 的方程为y ＝k (x ＋1)， 代入椭圆方程x 24＋y 2
3＝1，并化简得 (3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8k 2
3＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－12
3＋4k
2
， |AC |＝
1＋k 2|x 1－x 2|
＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1·x2]＝12(1＋k2) 3＋4k2
.
同理，∵直线BD的斜率为－1 k，
∴|BD|＝12
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
1＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
1
k
2
3＋4⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
1
k
2＝
12(1＋k2)
3k2＋4
.
∴
1
|AC|＋
1
|BD|＝
3＋4k2
12(1＋k2)
＋
3k2＋4
12(1＋k2)
＝
7
12.
综上，2λ＝
1
|AC|＋
1
|BD|＝
7
12，∴λ＝
7
24.
∴存在常数λ＝7
24，使得
1
|AC|，λ，
1
|BD|成等差数列．。