第6气体的一维定常流动-复习

三、热力学过程
等温过程 p2 V1
p1 V2
气体内能不变
绝热过程 dQ 0
与外界没有热交换
等熵过程
p

常数
或者
pv
常数
可逆的绝热过程称为等熵过程；等熵过 程是对完全气体而言若假设气体没有黏性， 则没有能量损失。
四、声速和马赫数
声速是微弱扰动波在弹性介质中的传播速度；它是气 体动力学的一个重要参数，也是化分流动状态、衡量 流体压缩性大小的一个重要依据。
由考虑摩擦的运动微分方程式,按等温过
程 d dp p ,仿照绝热流的有关推导 过程，可以得到等温管流的压降公式
dp


d

p 2
Ma2
dx Ma2 1

由上述分析知，在超声速流中，微弱扰动波 传播是有界的，界限就是马赫锥。马赫锥的 半顶角，即圆锥母线与来流速度方向之间的 夹角，用 表示，称马赫角。
其大小决定于气流马赫数。马赫数越大，马赫 角越小；反之就越小。
当Ma=1时，
90°，达到马赫锥的极
限位置，即图（c）中AOB公切面，所以也称它
为马赫锥。当Ma＜1时，微弱扰动波的传播已
整理并略去二阶以上的无穷小量有
vAdv Adp dF

vdv
dp

dF
A
0
p
v
p dp 2
A
A dA
dF
dx
p dp v dv
二、实际气体的等温管流
工程中常常有气体在长管道中作低速流动 的情况,这种情况下气体和周围环境能够进行 充分的热交换,整个管道的气体温度可以当作 常数处理,流动可看作等温流动。
无界，不存在马赫锥。
第三节 气体一维定常流动的基本方程
气体在流动过程中应遵循流体动力学的基本方程， 如果考虑到气体的特殊性，又具有一些特殊形式。本 节讲解气体动力学分析中的基本方程。
连续性方程
一维定常流的连续 性方程式
A C
取对数后微分得
d dv dA 0 vA
能量方程
第六章 气体的一维定常流动
本章的任务是讨论完全气体一维定常流动， 另外还讨论一维定常等截面摩擦管流和等截面 换热管流。
第一节 气体一维流动的基本概念
一、气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S熵
p p(V ,T )
E E(V,T)
S S(V ,T)
上述方程为热状态方程，或简称为状态方程。
流量
qm,cr

At
2
1

2
-1
p0 0
由连续方程求得 整理成
A A crccr
At Acr
v
A Acr

2
1


1 1



1 -1

p p0
2

p p0

在这三种状态下，可推导出一些极具应用价 值的公式；本节建立气体在三种状态下的有关计 算公式，并介绍与此相关的速度系数。
滞止状态 ：气流速度等熵地滞止到零这时 的参数称为滞止参数，用净参数符号加下标
“0 ”表示，如 p0、ρ0、T0等。
用滞止温度表示的声速为
极限状态：极限状态是一种假想的状态。设 想气体的焓全部转化为气体宏观运动的动能， 即静压和净温为零，气流速度达到极限速度
T0
R
cp 1
Ma 2 v 2
T0 T

c02 c2
1 -1 Ma 2
2
c2
c 2 RT
据等熵关 系式

p0 1 -1 Ma 2 1
p 2

1
总静参数比
0 1 -1 Ma 2 -1
2

速度系数 气流速度与临界声速的比值
vmax，这一速度是气流膨胀到完全真空所能
达到的最大速度。极限状态也称为最大速度 状态。由能量方程式得
临界状态 ： Ma=1的状态，该状态成为临
界状态。临界状态的参数可用净参数符号加
下标cr表示。 当气流达到临界状态时，vcr=ccr，可得
或
气体一维定常绝能流的滞止焓是 个常数，得
T v2 2c p
(2)Ma1时，气流作超声速流动。dv与dA正负号相同，dp与dA正 负号相反。可见，对于超声速流，随着截面积的增大，气流速度 增大，压强降低；截面积减小，则气流速度减小，压强增大。
dA Ma2 1 dv
A
v
d Ma 2 dv
vຫໍສະໝຸດ dp1－M
2 a
dA
p
M
2 a
A
dT 1Ma2 dv
p2 2
c dv
T2
c
p1
1
T1
活塞以微小的速度dv向右运 选用与微弱扰动波一起运动的相
动,产生一道微弱压缩波,流 对坐标系作为参考坐标系,流动
动是非定常的
转化成定常的了
由连续方程 1 d c dvA 1cA 0
略去二阶微量 cd 1dv
(1)
由动量方程 1cAc dv c p1 p1 dpA
第六节 喷管流动的计算和分析
喷管常用于一些动力装置，如汽轮机的叶栅 槽道、某些火箭和飞机的发动机等。
工程上常用的喷管有两种： 一、收缩喷管 二、拉瓦尔喷管。
本节以完全气体为研究对象，研究收缩喷管 和拉瓦尔喷管在设计工况下的流动问题。
一、收缩喷管 列容器内虚线面上和喷管出口的能量方程
p v2 p0 1 2 1 0
一、有摩擦的一维定常绝热管流
选取图中所示的dx 微元管段上的流体作为研究对象。表
面力包括上、下游断面上的总压力，管子壁面上的切应力的合 力和压强的合力，作为气体质量力可以忽略不计。
运动微分方程
qm [(v

dv) v]

pA ( p

dp)(A
dA)

1 (2 p 2

dp)dA dF
p 1
h
v2 2
h0
得
-1
p


v2 2
h0
声速公式

c2 v2
-1 2
h0
c p RT
等熵指数。
完全气体状态方程

RT -1

v2 2
h0
第四节 气流的三种状态和速度系数
气体在运动过程中有速度为零和以声速运动 的状态，为了计算分析问题起见，还假定一种热 力学温度为零的极限状态。
总结： （1）从亚声速到超声速，或从超声速到亚声速，要求气流在
最小截面上达到声速； （2）在气体动力学中，沿流动方向增压减速的管道称为扩压
管，扩压是通过减速使得动能转换为气体的压强势能和内 能，以达到节能和增压的需要； （3）气流沿流动方向膨胀加速的管道称为喷管，瑞典工程师 拉法儿发明了缩放喷管（拉瓦尔喷管），使得亚声速气流连 续地转化为超声速气流。（高温高压气体的热能经降压加速 转换为高速气流的动能）
得
v
2 p0 1 0
1
p p0
0

p
0
0
T0 v0 =0
pT v

1

1
v
2 1
p0
0
1

p p0





2 1
RT0
1

p p0



二、缩放喷管
1
1cdv dp
(2)
由（1）、（2）
得
c

d
dp
s
声速公式
c
d
dp
s
流体的体积模量
K Vdp dp dV d
代入声速公式得 c＝ K
由等熵过程关系式 以及状态方程可得
d
dp
1 p RT
代入声速公式得 c p RT
由热力学,单位质量气体的焓可以表示为：
h cpT
cp R
p

cp c p cV
p

p 1
对于气体的一维定常绝热流动，质量力 可以忽略，所以有
v2
v2
u pv 2 h 2 h0
将上面的公式代入
h cpT
cp R
p


cp cp cV
p

压强由p变为p+dp,质量力可以不计,应用牛顿第二
定律
vdv dp
Ma 2 v 2 RT
同除以压强整理，并引入声速公式
dp vdv Ma 2 dv
p
p
v
c p RT
dA Ma2 1 dv
A
v
d Ma 2 dv

v
dp

1－M
Ma＜1 Ma=1 Ma＞1
亚声速流 声速流
超声速流
第二节 微小扰动在空气中的传播
如果在空间的某一点设置一个扰动源,周围无任何 限制,则扰动源发出的扰动波将以球面压强波的形式 向四面八方传播,其传播速度为声速.分四种情况讨论。
(a)气体静止不动 (b)气流亚声速流动 (c)气流以声速流动 (d)气流超声速流动
T
v
Ma 1
Ma 1
Ma 1 At Acr
p、v
v(x)
pcr
vcr
p(x)
x
(3)Ma 1时，气流跨声速流动。dA 0, dv 0, dp 0。根据上式分析可知， 气流由超声速变为亚声速时，管道必须先收缩，后扩张，中间必然出现一 个最小截面。在这一截面上流速度实现声速，达到临界状态，最小截面称 为喉部。其后随着截面积的增大，气流作超声速流动。
M v ccr
当v=vmax时
M m ax

vmax ccr

1 -1
M*与Ma的关系
Ma2


2M
2

1



1M
2
M
2

1Ma2 2 -1Ma2
第五节 气流参数和通道截面之间的关系
设无粘性的完全气体沿微元流管作定常流动,
在该流管的微元距离dx上,气体流速由v变为vdx,
空气
1.4
R 287 .1J kg K
空气中的声速
c 20.05 T
分析：声速的大小与流动介质的压缩性大 小有关,流体越容易压缩,其中的声速越小, 反之就越大
马赫数 流体流动速度和当地声速的比值
Ma v c
对于完全气体
Ma 2 v 2 RT
马赫数通常还用来划 分气体的流动状态， 表示气体的宏观动力 学能与气体动力学能 之比。
1



1

2
A Acr

1 Ma


2 1
1

1 1
Ma2

2
-1

1 M


2
1


2
1
M
2
1
-1
第七节 实际气体在管道中的定常流动
以上讨论，并没有考虑流体的黏性的影响。 下面就气体黏性因素，分析在不同的热力学过 程中流动参数的变化规律、计算方法。讨论工 程中经常遇到的实际气体在绝热和等温条件下 的流动规律。
PV RT
凡是满足物质状态方程的气体称为完全气体， 根据此公式可定义一族完全气体，每一种气体都 有一气体常数。
二、比定容热容和比定压热容
单位质量气体温度升高1K时所需的热量称为 比热容。可分为
cV 比定容热容 c p 比定压热容
两者的关系 c p cV
比热容比，再完全气体，又可称为等熵指数。
2 a
dA
p
M
2 a
A
dT 1Ma2 dv
T
v
Ma 1
Ma 1
Ma 1 At Acr
p、v
v(x)
pcr
vcr
p(x)
x
(1)Ma1时，气流作亚声速流动。dv与dA正负号相反，dp与dA正负号 相同。由此可知：对于亚声速变截面的流动，随着流通截面积的增大 ，气流速度降低，压强增大；截面积减小，则流速增大，压强降低。