数学_2014年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)

2014年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）
一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知i 为虚数单位，计算：
3+i 2−i
=________．
2. 已知集合A ＝{−2, −1, 0, 1}，集合B ＝{x|x 2−1≤0, x ∈R}，则A ∩B ＝________．
3. 函数y ＝(sinx +cosx)2的最小正周期是________．
4. 在(x −1)(x +1)8的展开式中，x 5的系数是________．
5. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为________．
6. 在直角三角形ABC 中，∠C =90∘
，AC =4，则AB →
⋅AC →
=________．
7. 对于任意a ∈(0, 1)∪(1, +∞)，函数f(x)=|1−1
1log a (x −1)|的反函数f −1(x)的图象经过
的定点的坐标是________． 8. 已知函数f(x)={
x,0≤x ≤1
√1−(x −1)2，1<x ≤2
，将f(x)的图象与x 轴围成的封闭图形绕x 轴
旋转一周，所得旋转体的体积为________．
9. 已知点P(4, m)在曲线C:{x =4t 2
y =4t ，（t 为参数）上，则P 到曲线C 的焦点F 的距离为________．
10. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是________米．
11. 设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：
其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的均值为4
3，则ξ的方差为________．
12. 若不等式|x +a|≤2在x ∈[1, 2]时恒成立，则实数a 的取值范围是________． 13. 设f n (x)=sin(
nπ2
+x)(n ∈N ∗)，若△ABC 的内角A 满足f 1(A)+f 2(A)+...+f 2014(A)=0，
则sinA +cosA =________．
14. 定义函数f(x)={x ．{x}}，其中{x}表示不小于x 的最小整数，如{1.4)=2, {−2.3}=−2．当x ∈(0, n](n ∈N ∗)时，函数f(x)的值域为A n ，记集合A n 中元素的个数为a n ，则
lim n →∞(1
a 1+1a 2
+...+1a n )=________．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15. 运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对(x, y)所对应的点都在函数（ ）
A y=x+1的图象上
B y=2x的图象上
C y=2x的图象上
D y=2x−1的图象上
16. 下列说法正确的是（）
A 命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”
B “x=−1”是“x2−x−2= 0”的必要不充分条件
C 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命
题 D “tanx=1”是“x=π
4
”的充分不必要条件
17. 设F1、F2是双曲线C:x2
a2−y2
b2
=1(a>0, b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+
|PF2|＝6a，∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且∠PF1F2＝30∘，则双曲线C的渐近线方程是（）
A x±√2y＝0
B √2x±y＝0
C x±2y＝0
D 2x±y＝0
18. 设函数y=f(x)的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有
f(x1)+f(x2)=2b，则称点(a, b)为函数y=f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)=x+ sinπx−3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(1
2014
)+
f(2
2014)+...+f(4026
2014
 )+f(4027
2014
)的值为（）
A 4027
B −4027
C 8054
D −8054
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19. 在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB(p∈R)．且ac=1
4
b2．
（1）当p=5
4
，b=1时，求a，c的值；
（2）若角B为锐角，求p的取值范围．
20. 在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形
ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，AB=AQ=1
2
DP．
（1）求证：PQ⊥平面DCQ；
（2）求平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小．
21. 已知椭圆Γ：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为(2√2, 0)，且椭圆Γ过点(3, 1)．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设斜率为1的直线l与椭圆Γ交于不同两点A、B，以线段AB为底边作等腰三角形PAB，其中顶点P的坐标为(−3, 2)，求△PAB的面积．
22. 设数列{a n}，{b n}，{c n}，已知a1=4，b1=3，c1=5，a n+1=a n，b n+1=a n+c n
2
，
c n+1=a n+b n
2
(n∈N∗)．
（1）求数列{c n−b n}的通项公式；
（2）求证：对任意n∈N∗，b n+c n为定值；
（3）设S n为数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N∗，都有p•(S n−4n)∈[1, 3]，求实数p的
取值范围．
23. 设a是实数，函数f(x)=4x+|2x−a|(x∈R)．
（1）求证：函数f(x)不是奇函数；
（2）当a≤0时，求满足f(x)>a2的x的取值范围；
（3）求函数y=f(x)的值域（用a表示）．
2014年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）答案
1. 1+i
2. {−1, 0, 1}
3. π
4. 14
5. 8
6. 16
7. (1, 2)
8. π
9. 5
10. 4√2
11. 5
9
12. [−3, 0]
13. √2
14. 2
15. D
16. C
17. B
18. D
19. （1）解：由题设并利用正弦定理得{a +c =
5
4
ac =14
故可知a ，c 为方程x 2−5
4
x +1
4
=0的两根，
进而求得a =1，c =14
或a =1
4
，c =1
（2）解：由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB =(a +c)2−2ac −2accosB =p 2b 2−
1
2
b 2cosB −1
2b 2， 即p 2=3
2
+1
2cosB ，
因为0<cosB <1，
所以p 2∈(3
2, 2)，由题设知p ∈R ，所以
√6
2
<p <√2或−√2<p <−
√62
又由sinA +sinC =psinB 知，p 是正数 故√6
2<p <√2即为所求
20. （1）证明：由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，
以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．… 设A =a ，则D(0, 0, 0)，C(0, 0, a)，Q(a, a, 0)，P(0, 2a, 0)， ∴ DC →
=(0, 0, a)，DQ →
=(a, a, 0)，PQ →
=(a, −a, 0)，… ∵ DC →
⋅PQ →
=0，DQ →
⋅PQ →
=0， ∴ DC ⊥PQ ，DQ ⊥PQ ，… ∴ PQ ⊥平面DCQ ．…
（2）解：∵ DC ⊥平面ADPQ ，DC →
=(0, 0, a)， ∴ 平面ADPQ 的一个法向量为n →
=(0,0,1)，…
点B 的坐标为(a, 0, a)，则QB →
=(0,−a,a)，QC →
=(−a,−a,a)，… 设平面BCQ 的一个法向量为m →
=(x, y, z)，则m →
⋅QB →
=0，m →
⋅QC →
=0，
∴ {−ay +az =0
−ax −ay +az =0
，取y =z =1，得m →=(0, 1, 1)，… …
设平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角为θ， 则cosθ=|cos <m →
，n →
>|=√
2
=√2
2
． … ∴ 平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为π
4．… 21. 解：（1）由已知得c =2√2，
∵ 椭圆Γ过点(3, 1)，
∴
9a
2+
1b 2
=1，
∵ a 2−b 2=8，
∴ 解得a 2=12，b 2=4， ∴ 椭圆Γ的方程为x 2
12+y 24
=1． …
（2）设l:y =x +b ， 代入
x 212
+y 24
=1，得4x 2+6bx +3b 2−12=0，
根据韦达定理x A +x B =−3b 2
，x A x B =
3b 2−124
，
∴ y A +y B =b
2，
设M 为AB 的中点，则M(−
3b 4
, b
4)，AB 的中垂线的斜率k =−1，
∴ AB 的中垂线：x +y +b
2=0，将P(−3, 2)代入，得b =2， ∴ l:x −y +2=0，根据弦长公式可得AB =3√2，d =√2
，
∴ S △PAB =1
2×3√2√
2
=9
2． 22. 解：（1）因为a n+1=a n ，a 1=4，所以a n =4， 所以b n+1=
a n +c n
2=
4+c n 2
=
c n 2
+2，c n+1=
a n +
b n
2
=
b n 2
+2，
c n+1−b n+1=12
(b n −c n )=−12
(c n −b n )，
即数列{c n −b n }是首项为2，公比为−1
2的等比数列，
所以c n −b n =2⋅(−1
2
)n−1．
（2）b n+1+c n+1=1
2(b n +c n )+4，
因为b 1+c 1=8，所以b 2+c 2=8，b 3+c 3=8，
猜测：b n +c n =8， 用数学归纳法证明：
①当n =1时，b 1+c 1=8，结论成立；
②假设当n =k 时结论成立，即b k +c k =8，那么当n =k +1时， b k+1+c k+1=1
2(b k +c k )+4=8，即n =k +1时结论也成立． 由①，②得，当n ∈N ⋅时，b n +c n =8恒成立，即b n +c n 恒为定值．
（3）由（1）、（2）知{b n +c n =8
c n −b n =2(−12)n−1，
所以c n =4+2⋅(−1
2)n−1，
所以S n =4n +
1−(−12)n
1−(−1
2
)
=4n +23
[1−(−1
2
)n ]，
所以p(S n −4n)=
2p 3
[1−(−12
)n ]，
由p(S n −4n)∈[1, 3]得1≤2p 3
[1−(−1
2)n ]≤3，
因为1−(−1
2)n >0，
所以
1
1−(−1
2
)n
≤
2p 3
≤
31−(−12
)n
，
当n 为奇数时，1
1−(−1
2
)n
=1
1+(12
)n
随n 的增大而递增，且0<11−(−12
)n <1，
当n 为偶数时，11−(−1
2
)n
=
1
1−(12
)n
随n 的增大而递减，且0
1
1−(−12
)n
>1，
所以，1
1−(−1
2
)n
的最大值为4
3，3
1−(−12
)n
的最小值为2．
由
1
1−(−1
2
)n
≤
2p 3
≤
3
1−(−1
2
)n
，得4
3
≤
2p 3
≤2，
解得2≤p ≤3，
所以，所求实p 的取值范围是[2, 3]．
23. （1）证明：假设f(x)是奇函数，那么对于一切x ∈R ，有f(−x)=−f(x)，
从而f(−0)=−f(0)，即f(0)=0，但是f(0)=40+|20−a|=1+|1−a|≠0，矛盾． ∴ f(x)不是奇函数；
（2）解：∵ 2x >0，4x >0，
∴ 当a ≤0时，f(x)=4x +2x −a ，
由f(x)>a 2，得4x +2x −a >a 2，即4x +2x −a(a +1)>0，(2x −a)(2x +a +1)>0， ∵ 2x −a >0，
∴ 2x +a +1>0，即2x >−(a +1)．
①当a +1≥0，即−1≤a ≤0时，2x >−(a +1)恒成立， 故x 的取值范围是(−∞, +∞)； ②当a +1<0，即a <−1时，
由2x >−(a +1)，得x >log 2[−(a +1)]， 故x 的取值范围是(log 2[−(a +1)]，+∞)；
（3）解：令t =2x ，则t >0，原函数变成y =t 2+|t −a|．
①若a ≤0，则y =t 2+t −a 在t ∈(0, +∞)上是增函数，值域为(−a, +∞)． ②若a >0，则y ={
t 2−t +a ，0<t ≤a t 2+t −a ，t >a
，
对于0<t ≤a ，有y =(t −1
2)2+a −1
4，
当0<a <1
2时，y 是关于t 的减函数，y 的取值范围是[a 2, a)； 当a ≥1
2时，y min =a −1
4，
当12
≤a <1时，y 的取值范围是[a −1
4
，a)，
当a ≥1时，y 的取值范围是[a −1
4
，a 2]．
对于t >a ，有y =t 2+t −a =(t +12)2−a −1
4是关于t 的增函数， 其取值范围(a 2, +∞)．
综上，当a ≤0时，函数y =f(x)的值域是(−a, +∞)； 当0<a <1
2时，函数y =f(x)的值域是[a 2, +∞)； 当a ≥1
2
时，函数y =f(x)的值域是[a −1
4
，+∞)．。