2020-2021学年数学北师大版必修3课件：3-2-1 古典概型的特征和概率计算公式

类型一 古典概型的判断
【例 1】 袋中有大小相同的 5 个白球，3 个黑球和 3 个红 球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个 基本事件概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为基本事件，有多少个基本事件？以这些 基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
【思路探究】 由题目可获取以下主要信息：①袋中有大小 相同的 5 个白球，3 个黑球和 3 个红球．②每球有一个区别于其 他球的编号，现从中摸一球．解答本题可先确立概率模型以及它 是由哪些基本事件所构成，然后再判断该模型是否满足古典概型 的特点，进而确定是否为古典概型．
【解】 (1)由于共有 11 个球，且每个球有不同的编号，故 共有 11 种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被 摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典 概型．
(2)因为此试验的所有基本事件共 6 个：(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古 典概型，两数之一是 2 的概率为 P＝36＝12.
类型二 基本事件的个数判断
【例 2】 一个口袋内装有大小相同的 5 个球，其中 3 个白 球，2 个黑球，从中一次摸出 2 个球．
随机事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 的概率规定为
m
P(A)＝
n
.
[答一答] 利用古典概型计算公式求等可能事件概率的步骤是什么？
提示：第一步：“读”，即反复阅读题目，收集题目中的各 种信息；
第二步：“判”，判断试验是否为古典概型，若为古典概型， 则进行第三步；
第三步：“列”，列举出所有基本事件，并数出试验的基本 事件总数及所求事件包含的基本事件数；
(2)从 1,2,3,4 四个数中任意取出两个数，你认为该试验是古 典概型吗？为什么？若是，则求所取两数之一是 2 的概率．
解：(1)在数轴的 0～3 之间任取一点，此点可以在 0～3 之间 的任一位置，且在每个位置的可能性是相同的，具备等可能性．但 试验结果有无限多个，不满足古典概型的特征“有限性”，因此 不属于古典概型．
(2)由于 11 个球共有 3 种颜色，因此共有 3 个基本事件，分 别记为 A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”， 又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均 为111，而白球有 5 个，故一次摸球摸中白球的可能性为151，同理 可知摸中黑球、红球的可能性均为131，显然这三个基本事件出现 的可能性不相等，所以以颜色为基本事件的概率模型不是古典概 型．
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典
概型(古典的概率模型)．
2．基本事件
在一次试验中，所有可能发生的基本结果中不能再分的最简
单的随机事件称为该次试验中的基本事件．试验中其他的事件
(除不可能事件外)都可以用
基本事件
来描绘．
3．古典概型的概率计算公式
对于古典概型，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为 n，
规律方法 针对这个类型的题目，首先看这个概率模型是由 哪些基本事件所构成的，然后再研究这些基本事件的个数是否有 限，出现的可能性是否相等．另外需注意的是基本事件的选择不 同，结果可能有所不同．
(1)在数轴的 0～3 之间任取一点，你认为该试验是古典概型 吗？为什么？若是，则求此点的坐标小于 1 的概率．
Байду номын сангаас
a
b
c
d
e
a
{a，b} {a，c} {a，d} {a，e}
b {b，a}
{b，c} {b，d} {b，e}
c {c，a} {c，b}
{c，d} {c，e}
d {d，a} {d，b} {d，c}
{d，e}
e {e，a} {e，b} {e，c} {e，d}
由于每次取 2 个球，每次所取 2 个球不相同，而摸到{b，a}
第四步：“算”，利用古典概型的概率计算公式计算所求事 件的概率．
P(A)＝mn 是计算古典概型概率的基本公式．根据这个公式计 算概率时，关键在于求出 n、m，因此，首先要正确理解基本事 件与事件 A 的相互关系．基本事件是一次试验中不能再分的最简 单的随机事件，其他事件可以用它来描绘．如果同时抛掷两枚均 匀硬币，一共出现四个等可能的结果：正正、反反、正反、反正， 不能把一正一反看做一个基本事件(因为这一事件包括“正 反”“反正”这两种结果)，否则基本事件就不等可能了．而事 件 A 则不同，它可能仅含一个基本事件，也可能包含多个基本事 件．因此在求 n 时必须强调 n 个基本事件必须等可能，同时在求 m 时，事件 A 中包含的每个基本事件也必须是等可能的.
与{a，b}是相同的事件，故共有 10 个基本事件．
(2)由(1)中方法 1 知，“2 个都是白球”包含{1,2}，{1,3}，
{2,3}，共 3 个基本事件；由(1)中方法 2 知，“2 个都是白球”包
含{a，b}，{b，c}，{a，c}，共 3 个基本事件．
规律方法 探求基本事件个数的三种方法 (1)列举法：适用于基本事件个数不是很多，可以把基本事 件一一列举出来的情况，但列举时必须按照一定的顺序，做到不 重不漏． (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且 试验结果相对较多的基本事件个数的求解问题．通常把基本事件 归结为“有序实数对”，也可用坐标法．列表法的优点是准确、 全面、不易遗漏．
(1)共有多少个基本事件？ (2)“2 个都是白球”包含几个基本事件？ 【思路探究】 将结果一一列举，再计算基本事件数．
【解】 (1)方法 1：采用列举法． 分别记白球为 1,2,3 号，黑球为 4,5 号，则基本事件如下： {1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}， {4,5}，共 10 个(其中{1,2}表示摸到 1 号球和 2 号球)． 方法 2：采用列表法． 设 5 个球的编号为 a，b，c，d，e，其中 a，b，c 为白球，d， e 为黑球．列表如下：
第三章
概率
§2 古典概型
2.1 古典概型的特征和概率计算公式
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点
古典概型及基本事件
1．古典概型定义
[填一填]
如果一个概率模型满足：
(1)试验的所有可能结果只有 有限 个，每次试验只出现其 中的 一 个结果；
(2)每一个结果出现的可能性 相同 ．