2012高考数学冲刺课件核心考点命题揭密直线与圆锥曲线

有关弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长
为|P1P2|＝ 1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝
1＋k12|y2－y1|.
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标直接运算(利用两点间距离公式)．
求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，作如下变形： |x2－x1|＝ x1＋x22－4x1x2； |y2－y1|＝ y1＋y22－4y1y2.
当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点．此时，
若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物
线的对称轴．
(1)应当注意的是，当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双 曲线或抛物线可能相切，也可能相交． (2)用圆锥曲线方程与直线方程联立求解时，在得到的方程中应注意Δ≥0这 一条件．
由题意可知12×2a×2b＝4，即ab＝2.
解方程组aab＝＝2b2，， 得a＝2，b＝1. 所以椭圆的方程为x42＋y2＝1.
(2)由(1)可知点A的坐标是(－2,0)，设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为 k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．
y＝kx＋2， 于是A、B两点的坐标满足方程组x42＋y2＝1.
又由点A，B的坐标可知，k＝kk112＋－kk11121＝k1－k11， 所以k＝±32. 故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y＝32x和y＝－32x.
圆锥曲线中的定点、定值问题
围绕直线与圆锥曲线(椭圆、抛物线)的位置关系，展开对定 点、定值问题的考查是近几年新课标卷中的热点，题型以解答题为主，难 度中等偏上．
【例题2】►已知A(x1，y1)，B(1，y0)，C(x2，y2)是椭圆x42＋y32＝1上的三点，F
为椭圆的左焦点，且|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则AC的垂直平分线是否
过定点？请证明你的结论．
解 ∵|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，
∴x1,1，x2也成等差数列，∴x1＋x2＝2，
在处理与圆锥曲线的中点弦有关问题时，用中点公式、根与系数的关系整 体代入法会使问题的解决更方便、可行．
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
从近几年的新课标卷中发现，直线与圆锥曲线相交主要考查 直线与椭圆相交、直线与抛物线相交，多以解答题的形式考查弦长公式， 试题难度中等偏上．
【例题1】►(2011·武汉模拟)已知椭圆
有关弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”、“设而不求法”来简化运 算． P1P2的中点M坐标满足x0＝x1＋2 x2，y0＝y1＋2 y2. 若C为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)， 则kP1P2＝－ba22xy00； 若C为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)， 则kP1P2＝ba22xy00； 若C为抛物线y2＝2px(p>0)， 则kP1P2＝yp0.
设AC的中点M(l，t)，则l＝x1＋2 x2＝1，即M(1，t)．
由于点A，C在椭圆上，故x421＋y321＝1，
①
x422＋y322＝1，
②
①－②得x1＋x24x1－x2＋y1＋y23y1－y2＝0， 由于x1＋x2＝2，y1＋y2＝2t，x1≠x2(否则三点A，B，C中至少有两点重合)， 故得yx11－－yx22＝－43t，即直线AC的斜率为－43t， 从而其垂直平分线的斜率为43t， 故直线AC的垂直平分线的方程是y－t＝43t(x－1)， 即直线系方程是4tx－3y－t＝0，若对任意t，该方程恒成立，只能4x－1＝ 0，y＝0， 即x＝14，y＝0，故直线AC的垂直平分线恒过定点14，0.
y＝kx， kx，由y＝x2－1，
得x2－kx－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝k，
x1x2＝－1.
又点M的坐标为(0，－1)，所以kMA·kMB＝
y1＋1 x1
·y2x＋2 1
＝
kx1＋1kx2＋1 x1x2
＝
k2x1x2＋kx1xx12＋x2＋1＝－k2＋ －k12＋1＝－1.
∴|CC0|＝|CC1|－|C1C0|＝12(|AA1|＋|BB1|)－|C1C0|＝32－14＝54，故选C.
答案 C
3．(2010·福建)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线
x2 a2
－y2＝1(a>0)的中心和左
→→ 焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP·FP的取值范围为( )．
A．[3－2 3，＋∞)
12 2，则p＝________.
解析 如图，抛物线焦点为
，设Ax1，y1，Bx2，y2，直线AB：y
－\f(p,2)＝x，即y＝x＋\f(p,2).联立得
∴x1＝(1＋
2)p，x2＝(1－
2
)p.∴|AD|＋|BC|＝y1＋y2＝x1＋
p 2
＋x2＋
p 2
＝2p＋
p＝3p，|CD|＝|x1－x2|＝2 2p. 由S梯形ABCD＝12(|AD|＋|BC|)·CD＝12·3p·2 2p＝12 2，解得p2＝4，
【变式1】►(2011·湖南)如图，椭圆C1：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的离心率为
3 2
，x
轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长． (1)求C1，C2的方程； (2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与 C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E. ①证明：MD⊥ME；
A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 解析 直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于B a＋a2b，aa＋bb ，l与渐
近线l2：bx＋ay＝0交于C a－a2 b，－ a－abb
→ ，A(a,0)，AB
＝
－aa＋bb，aa＋bb
，
→ BC
＝
a22－a2bb2，－a22－a2bb2.∵
故MA⊥MB.即MD⊥ME.
②解 设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y＝k1x－1. 由yy＝＝kx12x－－11，， 解得xy＝＝0－，1 或xy＝＝kk121，－1. 则点A的坐标为(k1，k21－1)． 又直线MB的斜率为－k11，同理可得点B的坐标为－k11，k121－1. 于是S1＝12|MA|·|MB|＝12 1＋k21·|k1|· 1＋k121·－k11＝12＋|k1k|21. 由yx＝2＋k41xy－2－14，＝0 得(1＋4k21)x2－8k1x＝0.
解得xy＝＝0－，1 或xy＝＝141＋k＋821k－441kk12121，.
则点D的坐标为1＋8k41k21，41k＋21－4k121. 又直线ME的斜率为－k11，同理可得点E的坐标为－ 4＋8kk121，44－ ＋kk2121. 于是S2＝12|MD|·|ME|＝13＋241k＋21k21k21·＋|k14| . 因此SS12＝6144k21＋k421＋17. 由题意知，6144k21＋k421＋17＝1372. 解得k21＝4或k21＝14.
解析 ∵kAB＝03＋ ＋1152＝1，∴直线AB的方程为y＝x－3. 由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9. 设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， 则ax22－x－b232＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝a26－a2b2＝2×(－12)， ∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5. ∴双曲线E的方程为x42－y52＝1. 答案 B
5
2 .
整理得32k4－9k2－23＝0，即(k2－1)(32k2＋23)＝0，
解得k＝±1.所以直线l的倾斜角为π4或34π.
在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这 两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立 后所得方程的根情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求 的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本的方法．
B．[3＋2 3，＋∞)
C.－74，＋∞
D.74，＋∞
解析 如图，由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3， ∴双曲线方程为x32－y2＝1.设P(x，y)(x≥ 3)， →→ OP·FP＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2 ＝x2＋2x＋x32－1＝43x2＋2x－1(x≥ 3)． 令g(x)＝43x2＋2x－1(x≥ 3)，则g(x)在[ 3，＋∞)上单调递增．
消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0. 由－2x1＝116＋k24－k24，得x1＝21－ ＋84kk22. 从而y1＝1＋4k4k2.
所以|AB|＝
－2－12＋－48kk222＋1＋4k4k22＝41＋1＋4kk22.
由|AB|＝4
5
2，得41＋1＋4kk22＝4
B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.设l与C的两个公共点分别是
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，弦P1P2的中点M(x0，y0)．
Fx，y＝0， 由Ax＋By＋C＝0
⇒ax2＋bx＋c＝0(也可以消去x，得到y的一元方程)．
当a≠0时，则有Δ>0，l与C相交；Δ＝0，l与C相切；Δ<0，l与C相离．
第3讲 直线与圆锥曲线
◆考查直线与圆锥曲线关系中的弦长、焦点弦、弦中点等问题，常与平面 向量结合来命题．
1．(2010·课标全国)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的 直线l与E相交于A，B两点，且线段AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程 为( )． A.x32－y62＝1 B.x42－y52＝1 C.x62－y32＝1 D.x52－y42＝1
→→ g(x)min＝g( 3)＝3＋2 3.∴OP·FP的取值范围为[3＋2 3，＋∞)． 答案 B
4．(2009·浙江)过双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直
线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若
→ AB
＝
1 2
→ BC
，则双
曲线的离心率是( )．
→ AB
＝12B→C，∴－aa＋bb＝
a2a－2bb2，b＝2a，∴c2－a2＝
4a2， ∴e2＝ac22＝5，∴e＝ 5，故选C.
答案 C
5．(2010·湖南)过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交
于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为
→→
解析 如图，由AB的斜率为 3，知∠α＝60°，又AM＝M B ， ∴M为AB的中点． 过点B作BP垂直准线l于点P，则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°. ∴|BP|＝12|AB|＝|BM|.∴M为焦点，即p2＝1，∴p＝2. 答案 2,
直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，
∴p＝±2.∵p>0，∴p＝2.
答案 2
6．(2010·全国卷Ⅱ)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜
→→
率为 3 的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若A M ＝M B ，则p＝ _________________________________________________________.
②记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2.问：
是否存在直线l，使得SS12＝3127？请说明理由．
(1)解 由题意知e＝ac＝ 23，从而a＝2b，
又2 b＝a，解得a＝2，b＝1. 故C1，C2的方程分别为x42＋y2＝1，y＝x2－1.
(2)①证明 由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的离心率e＝
3 2
，连
接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(－a,0)，若|AB|
＝45ห้องสมุดไป่ตู้2，求直线l的倾斜角．
解 (1)由e＝ac＝ 23，得3a2＝4c2. 再由c2＝a2－b2，解得a＝2b.
2．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，
|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )．
3 A.4
B．1
5 C.4
7 D.4
解析 如图，过A、B及线段AB的中点C
向抛物线的准线l作垂线．
垂足分别为A1，B1，C1，CC1交y轴于C0.由 抛物线定义可知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|，