线性系统的频域分析终稿 PPT

线性系统的频域分析终稿
5、1 频率特性
1. 引例——RC电路 对于下图所示得RC电路,其传递函数为
Uo (s) 1（Cs) 1
Ui (s) R 1 (Cs) s 1
式中,τ=RC 。
R
+
+
ui(t)
C
uo(t)
-
-
设输入电压为正弦信号,其时域和复域描述为
所以有
ui (t) U sin t
j
G( j) j e 2
其幅频特性和相频特性为
A() () 90
jY ()
0
0
X ()
微分环节得幅频特性等 于角频率ω,而相频特性 恒为90°。
(4)惯性环节 惯性环节得频率特性
G( j) 1 1 jT
写成实部和虚部形式,即
幅频特性和相频特性
A(
)
1
1 2T 2
() arctgT
ct (t) cs (t)
(t 0)
ct(t) 和cs(t)分别为系统得暂态分量和稳态分量。
lim
t
ct
(t
)
0
cs (t) a1e jt a2e jt
对则于系稳统定在a1正得 G系弦(s统信) ,号s其2A作极用2点 (下s均得具j稳)有|s态负 j输实 出部A为G,有2(j j)
其中,
G( j) K
显然,她与频率无关。 A() K () 0
jY ()
K
0
X ()
(2)积分环节
积分环节得频率特性为
G( j)
1
1
j
e2
j
其幅频特性和相频特性为
A() 1 () 90
jY ()
0
X ()
幅频特性与角频率ω 成反比,相频特性恒为
－90°
(3)微分环节
微分环节得频率特性为
a2
G(s)
A s2 2
(s
j)
|s j
AG( j)
2j
因为G(s)就是实系数有理函数,则有
G( j) | G( j) | e jG( j)
G( j) | G( j) | e jG( j) | G( j) | e jG( j)
从而有
cs (t) a1e jt a1e jt
A | G( j) | e j(tG( j )) e j(tG( j))
lim
t
uo
(t)
U sin(t ) 1 22
U
1
1 j
sin
t
1
1 jΒιβλιοθήκη ➢ 结论:当电路输入为正弦信号时,其输出得稳态响应(频率响 应)也就是一个正弦信号,其频率和输入信号相同,但幅值和 相角发生了变化,其变化取决于ω。
➢ 若把输出得稳态响应和输入正弦信号用复数表示,并求 其复数比,可以得到
微分方程
传递函数
控制系统
频率特性
频率特性、传递函数和微分方程三种系统描述之间的关系
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
4、 频率特性得几何表示法
➢ 在工程分析和设计中,通常把线性系统得频率特性 画成曲线,再运用图解法进行研究。
➢ 常用得频率特性曲线: 幅相特性曲线----极坐标图 (Nyquist图) 对数频率特性曲线----Bode图
其对数幅频特性为一条斜
率为20dB/dec得直线,她与 0dB线交于ω=1点。
( )()
°
°
微分环节L(ω)
① G(s)= s ② G(s)= 2s ③ G(s)= 0.1s
L(ω)dB
40
20
[+20]
ω
0dB
0.1 0.2
12
10 20
100
-20
[+20]
[+20]
-40
(4)惯性环节 惯性环节得频率特性 G( j) 1
2j
A | G( j) | sin(t G( j)) Ac sin(t )
式中,稳态输出得振幅和相位分别为
Ac A | G( j) |; G( j)
Ø由此可见,LTI系统在正弦输入下,输出得稳态值就 是和输入同频率得正弦信号。输出振幅就是输入振 幅得|G(jω)|倍,输出相位与输入相位相差∠G(jω)度。
G(s)=
10 s
L(ω)dB
③ G(s)=
1 5s
40
20
[-20]
[-20]
ω
0dB
0.1 0.2
12
10 20
100
-20
[-20] -40
(3)微分环节
微分环节得频率特性为
j
G( j) j e 2
其对数幅频特性和相频特性为
L() 20 lg () 90
L( )(dB)
0dB 20dB/dec
ω A(ω)
(ω)°
0 1/2τ 1/τ 2/τ 3/τ 4/τ 5/τ ∞
1 0、 0、 0、 0、 0、 0、2 0 89 707 45 32 24
0 -26、 -45 -63、 -71、 -76 -78、 -90
6 jY ()
55
7
1
0
( )
0 X ()
A()
(1)比例环节 比例环节得频率特性为
② (ω)就是关于ω＝1/T,(ω)=-45°点中心对称得。
T 0、 0、 0、 0、 0、 0、
()() 1 13 2 25 33 5
1
2
3
4
5
8 10
6 7 4 18 27 45 63 72 76 79 83 84
惯性环①节G(Ls)(=ω0).5s1+1
L(ω)dB
②
G(s)=
100 s+5
2、 控制系统在正弦信号作用下得稳态输出 对于n阶LTI得闭环传递函数
G(s) C(s) N(s)
N (s)
R(s) D(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
其中 p1, p2, pn为n个互异得闭环特征根。 设输入正弦信号为
r(t) Asin t
R(s)
A s2 2
因此有,
A N (s) A
C(s) G(s)
s2 2 D(s) s2 2
a1 a2 b1 b2 ... bn
s j s j s p1 s p2
s pn
拉氏反变换得
c(t) a1e jt a2e jt b1e p1t b2e p2t ... bne pnt
n
bie pit (a1e jt a2e jt ) i 1
A(())
1 2T arctgT
2
jY ()
0 0 1 X ()
(6)二阶振荡环节
频率特性
G(
j)
1
1
j2T (
jT )2
幅频特性和相频特性
A(
)
1
(1 2T 2 )2 (2T )2
( )
arctg
2T 1 2T
2
( )
arctg
2T 1 2T
2
() arctg
1
1
j
e2
j
其对数幅频特性和相频特性为
L() 20 lg () 90
L( )(dB)
-20dB/dec 0dB
( )()
°
°
对数幅频特性为一条斜率
为－20dB/dec得直线,此线
通过L(ω)=0,ω=1得点 。
如果就是n个积分环节串连, 情况又如何？
积分环节L(ω)
①
G(s)=
1 s
②
5、2 典型环节得频率特性
➢ 用频域分析法研究控制系统得稳定性和动态响应时, 就是根据系统得开环频率特性进行得,而控制系统 得开环频率特性通常就是由若干典型环节得频率特 性组成得。
➢ 本节介绍七种常用得典型环节得频率特性。
一、极坐标图(Nyquist图)
➢ 极坐标图就是将频率ω作为参变量,在直角坐标或极 坐标平面上,当ω ∞时,将幅频与相频特性同时表示 在复数平面上。
L(ω)dB + 90o
40 + 60o + 45o
20 +30o
0dB 0o -20
0.1 0.2
12
[+20]
[+20]
ω
10 20
100
-40
(6)二阶振荡环节
交接频率 渐近线
精确曲线
0.1/T
1/T
( )()
10/T
0.1/T
1/T
10/T
低通滤波特性！
➢ 两点说明:
① 惯性环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线得 误差
T
0、1
L(（) dB） －0、
04
0、2
－0、 17
0、5
1
2
－0、97 －3、01 －0、97
5
－0、 17
10
－0、 04
由表可知,在转折频率处误差达到最大值。
40 26dB
20
0dB 0o
-20 - 30o - 45o
-40 - 60o
- 90o
0.1 0.2
12
[-20]
ω
10 20
100
[-20]
(5)一阶微分环节
频率特性 G( j) 1 jT
对数幅频特性和相频特性为
L((
) )
20 lg 1
arctgT
2T
2
高频放大！抑制噪声能 力得下降！
一阶微分L(ω) ① G(s)= 0.5s+1 ② G(s)= 0.3 (0.25s+0.1)
jY ()
1
0
0 X ()
二、对数频率特性——Bode图 ➢ 在工程实际中,常常将频率特性画成对数坐标图形式,
这种对数频率特性曲线又称Bode图,由对数幅频特性 和对数相频特性组成。 ➢ Bode图得横坐标按lgω分度(10为底得常用对数),即对 数分度,单位为弧度/秒(rad/s) ➢ 对数幅频曲线得纵坐标按
1
2T 2T
2
(T 1) (T 1)
Ø频率特性得端点取值
G(
j)
10 0 180
( 0) ( )
(
1 T
n )
G( j) j 1 2
jY ()
0
=1
1 X () 0
=0.6 =0.4
(7)延迟环节 频率特性
G( j) e j
幅频特性和相频特性
A() 1 ()
G(
j)
1
1 2T 2
T j 1 2T 2
X ()
jY ()
[ X () 0.5]2 Y 2 () 0.52
p 惯性环节得Nyquist图就是圆心在(0、5,0),半径为0、 5得半圆。
jY ()
1
1 2T 2
0.5
T 0
( )
1 2T 2
A()
1
0X ()
(5)一阶微分环节
频率特性 G( j) 1 jT 幅频特性和相频特性为
横坐标上表示得最低频率由所感兴趣得频率范围 确定。
(1)比例环节 比例环节得频率特性为
G( j) K
显然,她与频率无关。对数幅频特性和相频特性为
L() 20 lg K () 0
L( )(dB)
20lgK 0dB
( )()
K<1情况如何？
0°
(2)积分环节
积分环节得频率特性为
G( j)
➢ 关于频率特性得几点说明: ① 频率特性不只就是对系统而言,其概念对控制元 件、部件等均适用。 ② 频率特性只适用于定常模型,否则不能用拉氏变 换求解,也不存在这种稳态对应关系。 ③ 前面在推导频率特性时假设系统稳定。如果系 统不稳定,则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态振 荡cs(t)。
④ 频率特性就是传递函数得特例,就是定义在复平面虚轴上得传 递函数,因此频率特性与系统得微分方程、传递函数一样反映 了系统得固有特性。
Ui
(s)
U s2 2
U
o
(
s)
1 s
1
s
U 2
2
将其进行部分分式展开后再拉氏反变换
uo (t)
U 2 2
1
t
e
U sin(t ) 22 1
arctan
uo (t)
U 2 2
1
t
e
U sin(t ) 22 1
arctan
➢ uo(t)表达式中第一项就是暂态分量,第二项就是稳态分量。 显然上述RC电路得稳态响应为
式中
G( j) 1 A()e j() 1 j
A() 1 1
() 1 arctan
1 j 1 22
1 j
➢ 频率特性G(jω):上述电路得稳态响应与输入正弦信号 得复数比,且G(jω) = G(s)|s=jω 。
➢ 幅频特性A(ω):输出信号幅值与输入信号幅值之比。
➢ 相频特性(ω):输出信号相角与输入信号相角之差。
20 30 40 50 60 80 100
一倍频程 一倍频程
十倍频程 十倍频程
十倍频程
（b)对数分度
➢ 几点说明:
对数频率特性采用ω得对数分度实现了横坐标得 非线性压缩,便于在较大频率范围反映频率特性得 变化情况。
采用对数幅频特性则将幅值得乘除运算化为加减 运算,可以简化曲线得绘制过程;
ω=0不可能在横坐标上表示出来;
3、 频率特性得定义 ➢ 幅频特性:LTI系统在正弦输入作用下,稳态输出振幅
与输入振幅之比,用A(ω)表示。
A() | G( j) |
➢ 相频特性:稳态输出相位与输入相位之差,用(ω)表示
。 () G( j)
➢ 幅频A(ω)和相频 (ω)统称幅相频率特性。
A()e j() | G( j) | e jG( j) G( j)
L() 20 lg G( j) 20 lg A() 线性分度,单位就是分贝(dB)。
➢ 对数相频曲线纵坐标按(ω)线性分度,单位就是度。
➢ 由此构成得坐标系称为半对数坐标系。
➢ 对数分度和线性分度
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（a)线性分度
0
L
1
2 34
一倍频程 一倍频程
5 6 7 89 10
1 jT
➢ 对数幅频特性和相频特性为
L() 20 lg
1
20 lg 1 2T 2
1 2T 2
() arctgT
低频段: T 1
L() 0dB
高频段: T 1
L() 20 lg(T )dB
惯性环节对数幅频特性曲线为下图得渐近线。
ω＝1/T就是两条渐近线得交点,称为叫转折频率。
L()(dB) 渐近线