2022学年湖州中学高一上第一次月考试卷试题解析

2022学年湖州中学高一上第一次月考试卷试题解析
1：（2022学年湖州中学高一上第一次月考1） 1：已知集合{1,0,1}A =-，{}1,2,5B =，则A B =（ ）
A ．{}1
B ．{}1,0,2,5-
C ．{}1,0,1,5-
D ．{}1,0,1,2,5-
方法提供与解析：宁波汪灿泉 解析：A
B ={}1,0,1,2,5-，故选D ．
2：（2022学年湖州中学高一上第一次月考2）
2：下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A ．矩形的两条对角线垂直 B ．对任意,a b ∈R ，都有()2221a b a b +≥-- C ．x ∃∈R ，0x x += D ．至少有一个x ∈Z ，使得22x ≤成立
方法提供与解析：宁波汪灿泉 解析：
矩形的两条对角线不一定垂直，A 错误；CD 为存在量词命题，CD 错误； 对于B ：()()2
2
22222110a b a b a b +-++=-++≥，B 正确；故选B ．
3：（2022学年湖州中学高一上第一次月考3）
3：命题“[]1,2x ∃∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥
B ．4a ≤
C ．1a ≥
D ．1a ≤
方法提供与解析：宁波汪灿泉 解析： 等价条件为()
2min
1a x ≥=，其真子集为A ，故选A ．
4：（2022学年湖州中学高一上第一次月考4） 4：函数()21x f x x
-=的图像大致为（ ）
方法提供与解析：宁波汪灿泉
解析：显然为偶函数，排除B ，C ，x 无限接近于0，()f x 趋近于负无穷，故选D ． 5：（2022学年湖州中学高一上第一次月考5） 5：已知函数()12f x x x =--+，则（ ） A ．()f x 的最小值为0，最大值为3 B ．()f x 的最小值为3-，最大值为0
C ．()f x 的最小值为3-，最大值为3
D ．()f x 既无最小值，也无最大值
方法提供与解析：宁波汪灿泉
解析：()3,11212,213,2x f x x x x x x -≥⎧⎪
=--+=---<<⎨⎪≤-⎩
，故选C ．
6：（2022学年湖州中学高一上第一次月考6）
6：定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意1x ，[)20,x ∈+∞()12x x ≠有()()1212
0f x f x x x -<-，则（ ）
A ．()()()321f f f <-<
B ．()()()123f f f <-<
C ．()()()213f f f -<<
D ．()()()312f f f <<-
方法提供与解析：宁波汪灿泉
解析：()f x 在[)0,+∞递减，∴(3)(2)(1)f f f <<，∵()f x 为偶函数，∴()()22f f -=，故选A ． 7：（2022学年湖州中学高一上第一次月考7） 7：已知函数()1
ax f x x a
-=-在()2,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),11,-∞-+∞ B ．()1,1-
C ．()
(],11,2-∞- D ．()(),11,2-∞-
方法提供与解析：（杭州俞蒙恩）
解析：
()()2
2111=a x a a ax a f x a x a x a x a
-+---==+---，若()f x 在区间()2,+∞上单调递减，必有
210
1122a a or a a ⎧->⇒<-<≤⎨
<⎩
，故选C 8：（2022学年湖州中学高一上第一次月考8）
8：已知函数()f x x x =，若对任意[],1x t t ∈+，不等式()
()24f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值 范围是（ ）
A
．⎤
⎥⎣⎦ B
．⎡⎢⎣⎦
C
．⎣⎦ D
．⎤
⎥⎣⎦
方法提供与解析：（杭州俞蒙恩）
解析：
()2
2,0
,0
x x f x x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，因为2y x =在0x ≥上单调递增，2y x =-在0x <上单调递增，所以()f x x x =在
R 上单调递增，因为()()44222f x x x x x f x ===，且()()24f x t f x +≤，所以()()22f x t f x +≤，
所以22x t x +≤，即()2
22110x x t x t -+=-+-≤在[],1x t t ∈+恒成立，
所以()()()22
20
1210
t t t f x t t t ⎧-+≤⎪=⎨+-++≤⎪⎩，即22010t t t t ⎧-≤⎪⎨+-≤⎪⎩
，解得t ⎡∈⎢⎣⎦，故选B 9：（2022学年湖州中学高一上第一次月考9）
9：【多选题】对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．a b =是ac bc =的充要条件 B ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件 C ．a b >是22a b >的充要条件 D ．5a <是3a <的必要不充分条件
方法提供与解析：（杭州俞蒙恩）
解析：
对于A ：当0c =时，ac bc a b =⇒=/，故a b =是ac bc =的充分不必要条件，A 错误； 对于B ：“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，B 正确；
对于C ：22a b a b >⇒>/，22a b a b >⇒>/，故a b >是22a b >的既不充分也不必要条件，C 错误；
对于D ：{}|3a a <是{}|5a a <的真子集，故5a <是3a <的必要不充分条件，D 正确；故选BD
10：（2022学年湖州中学高一上第一次月考10）
10：【多选题】已知函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列 结论正确的是（ ）
A ．()()f x g x 是奇函数
B ．()()f x g x 是奇函数
C ．()()f g x 是偶函数
D ．()()g f x 是奇函数 方法提供与解析：（浙江绍兴杨铸）
解析： 由题意()()f x f x -=-，()()g x g x -=，
对于A ：令()()()h x f x g x =，()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=--=-=-，则()()f x g x 为奇函数， A 正确；对于B ：令()()()h x f x g x =，()()()()()()()()h x f x g x f x g x f x g x h x -=--=-==，
则()()f x g x 为偶函数，B 错误；对于C ：令()()()h x f g x =，()()()()()
()h x f g x f g x h x -=-==， 则()()f g x 为偶函数，C 正确；对于D ：令()()()h x g f x =，
()()()()()()()()g f x g f x g f x h x h x --===-=， 则()()f g x 为偶函数，D 错误；故选AC ．
11：（2022学年湖州中学高一上第一次月考11）
11：【多选题】解关于x 的不等式：2(24)80ax a x +-->，则下列说法中正确的是（ ） A ．当0a =时，不等式的解集为{}4x x >
B ．当0a >时，不等式的解集为{|4x x >或2x a ⎫
<-⎬⎭
C ．当0a <时，不等式的解集为24x x a ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
D ．当1
2
a =-时，不等式的解集为∅
方法提供与解析：（浙江绍兴杨铸）
解析：
对于A ：当0a =时，不等式为2804x x ->⇒>，A 正确；
对于B ：当0a >时，2
2(24)80(4)(2)0(4)()0ax a x x ax x x a
+-->⇔-+>⇔-+>，
解集为{|4x x >或2x a ⎫
<-⎬⎭
，B 正确；
对于C ：由选项B 知：当0a <时，不等式化为2(4)()0x x a -+<，因为2
a
-与4的大小不定，所以解集不
定，故C 错误；对于D ：当1
2
a =-时，不等式化为2(4)0x x -<⇒∈∅，D 正确． 故选ABD ．
12：（2022学年湖州中学高一上第一次月考12）
12：【多选题】已知a ，b 为正实数，且216ab a b ++=，则（ ）
A ．ab 的最大值为8
B ．2a b +的最小值为8
C ．
1112a b +
++
D ．19b a
+-
方法提供与解析：（湖州赵健鑫） 解析：
对于A
，因为2a b +≥
，所以16ab -≥
2
160+≤，因为a ，b 为正实数，
所以解得0<8ab ≤，所以ab 的最大值为8，当且仅当2a b =时取到，故A 正确； 对于B ，由A 得，8ab ≤，因为216ab a b ++=，所以()1628a b -+≤，则28a b +≥，所以2a b +的最小 值为8，当且仅当2a b =时取到，故B 正确； 对于C
，
1112a b +≥==++，当且仅当12a b +=+时取等号，此时 1112
a b +
++
，故C 错误； 对于D ，因为216ab a b ++=，所以1821b a =-+，则1181
2919b a a a
+=+--+-，因为1910a a ++-=， 则1911010a a +-+=，故118118118
119212291919191010a a b a a a a a a a +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+⋅-=++- ⎪ ⎪⎪-+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()
(
)1891111011091010a a a a -+=
+
-≥=+-，当且仅当()()()1891101109a a a a -+=+-
即a =
号，此时19b a
+
-
D 正确；故选ABD ．
13：（2022学年湖州中学高一上第一次月考13） 13：函数(
)f x =
的定义域为 ． 方法提供与解析：（湖州赵健鑫）
解析： 由(
)f x 30220
x
x x -⎧≥⎪
+⎨⎪+≠⎩，解得23x -<≤，故填{}23x x -<≤．
14：（2022学年湖州中学高一上第一次月考14） 14：函数()21
1
x f x x x +=
-+的值域是 ．
方法提供与解析：（湖州赵健鑫） 解析（判别式法）： 由题意得，2
11
x y x x +=
-+，两边同乘21x x -+，得2
1yx yx y x -+=+，化简得()2110yx y x y -++-=，当 0y =时，上式为10x --=，解得1x =-，即1x =-时，0y =，当0y ≠时，上式为关于x 的一元二次方程，
≥△0得()()2
1410y y y +--≥，化简得23610y y --≤
y ≤
y ≤≤0y ≠，综上所述，()f x
的值域为⎣⎦
．
15：（2022学年湖州中学高一上第一次月考15）
15：已知12x y ≤-≤，324x y ≤+≤， 则4x y -取值范围为________． 方法提供与解析：（浙江慈溪史林波）
解析：因为()()422x y x y x y -=-++，所以521342248x y =⨯+≤-≤⨯+=，故[]45,8x y -∈。

16：（2022学年湖州中学高一上第一次月考16）
16：若0x >时， 关于x 的不等式()()
2140ax x bx -+-≥恒成立， 则6
b a
+的最小值为_________． 方法提供与解析：（浙江慈溪史林波） 解析：
问题等价于1ax -与24x bx +-同时非负或者非正。

因为1ax -的正负比较容易判断，故先考虑1ax -。

①当0a >时，1,x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时10ax -≥，10,x a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时10ax -≤。

即必须保证1,x a ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
时240x bx +-≥，
10,x a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时240x bx +-≤。

故1x a =，则240x bx +-=，所以2
11
404b b a a a
a ⎛⎫+-=⇒=- ⎪
⎝⎭。

所以22
11404400x bx x a x x a a ⎛⎫+-=⇒+--=⇒=> ⎪⎝⎭或40x a =-<。

所以能满足1,x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
时，
240x bx +-≥，10,x a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时240x bx +-≤。

故654b a a a +=+≥
a =
取等号。

②当0a <时，显然当0x >时，10ax -<。

即只要保证在0x >时240x bx +-≤恒成立即可。

但24y x bx =+-
开口向上，当x →+∞时，240x bx +->。

故不存在符合条件的a ，舍去。

综上：min 6b a ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
17：（2022学年湖州中学高一上第一次月考17）
17：已知集合A ={x | x ≥4}，B={x |3<x <5} ． （1）求A ∩B ；
（2）定义{|}M N x x M x N -=∈∉且，求A - (A - B )．；
方法提供与解析：（绍兴 徐萍） 解析：
（1）∵A ={x | x ≥4}，B={x |3<x <5}，{|45}A B x x ∴⋂=≤<；
（2）∵{|}M N x x M x N -=∈∉且，A ={x | x ≥4}，B={x |3<x <5}，{|5}A B x x ∴-=≥， (){|45}A A B x x ∴--=≤<
18：（2022学年湖州中学高一上第一次月考18）
18：已知函数21,2()2,2221,2x x f x x x x x x +≤-⎧⎪
+-<<⎨⎪-≥⎩
（1）求5
(())2
f f -的值；
（2）若()3f a =，求实数a 的值．
方法提供与解析：（绍兴 徐萍）
解析：
（1）∵522
-≤-，553()1222f ∴-=-+=-，∵3222-<-<，253333
(())()()2()22224f f f ∴-=-=-+⨯-=-；
（2）当2a ≤-时，()13f a a =+=，a =2(舍)；当22a -<<时，2()23f a a a =+=，a =1或a = -3(舍)； 当2a ≥时，()213f a a =-=，a =2 ， 综上所述： a =1或a =2．
19：（2022学年湖州中学高一上第一次月考19）
19：如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制） 的矩形菜园．设菜园的长为x ，宽为y ．
（1）若菜园面积为50，则,x y 分别为何值时，可使所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长度为50，求
12
x y
+的最小值． 方法提供与解析：（宁波胡余泽） （1）解析：基本不等式
由已知可得50xy =，而篱笆总长为2x y +，又∵2220x y xy +≥=，当且仅当2x y =，即10x =，5y = 时等号成立，∴菜园的长x 为10，宽y 为5时，可使所用篱笆总长最小；
（2）解析：基本不等式
由已知得250x y +=，所以122119
505010252510252550x y y x y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+
+≥+⋅= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 当且仅当2525y x x y =
即503x y ==时等号成立，∴12x y +的最小值是9
50
． 20：（2022学年湖州中学高一上第一次月考20） 20：已知函数()2a
f x x x
=+
． （1）判断()f x 的奇偶性（只写结论，不必证明）； （2）若2a =，判断()f x 在[1,)x ∈+∞的单调性，并证明．
方法提供与解析：（宁波胡余泽） （1）解析：奇偶函数判定
当0a =时，2()f x x =，定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，此时()()f x f x -=，()f x ∴为偶函数； 当0a ≠时，2()a
f x x x
=+
，定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称， 此时()11f a =+，(1)1f a -=-，故()()11f f -≠，()()11f f -≠-，()f x ∴无奇偶性． ∴当0a =时，此时()f x 为偶函数；当0a ≠时，()f x 无奇偶性．
（2）解析：函数单调性证明
若2a =，22()f x x x
=+，任取1
2
1x x ≤<，则[]22
1212121212121222()()()2x x f x f x x x x x x x x x x x --=+--=+-，
121x x ≤<，120x x ∴-<，120x x >，()12122x x x x +>，
12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，所以()f x 在[1,)x ∈+∞上是单调递增．
21：（2022学年湖州中学高一上第一次月考21） 21：已知函数()()1f x x x a x R =--+∈．
（1）当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间； （2）若函数()f x 在[]1,4上的最小值为3-，求a 的值．
方法提供与解析：（浙江绍兴+谢柏军） 解析： （1）
()()2
21,2
2131,2x x x g x f x x x x x x x x ⎧-++⎪=-=--+-=⎨-+<⎪⎩
≥，
()g x ∴的图象如图所示，()g x ∴的单调递增区间是3,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
（2）①当1a ≤时，()()2
24124a a f x x x a x +⎛
⎫=--+=--+ ⎪⎝
⎭，
1
22
a ≤，()f x ∴在区间[]1,4上单调递减，()()min 44153f x f a ∴==-=-，3a ∴=（舍去）， ②当12a <≤时，()2
222
4
,4244,124a a x a x f x a a x x a ⎧+⎛⎫--+
⎪ ⎪⎪⎝
⎭=⎨-⎪⎛⎫-+< ⎪⎪⎝
⎭⎩≤≤≤， 1122
a <≤，()f x ∴在区间[]1,a 上单调递增，在区间[],4a 上单调递减， ()f x ∴的最小值在()1f 或()4f 中取，
若()123f a =-=-，则5a =（舍去）；若()44153f a =-=-，则3a =（舍去）
③当24a <≤时，()2
222
4
,4244,124a a x a x f x a a x x a ⎧+⎛⎫--+
⎪ ⎪⎪⎝⎭
=⎨-⎪⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩
≤≤≤， 122a <<，()f x ∴在区间1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，在(),4a 上单调递减， ()f x ∴的最小值在2a f ⎛⎫
⎪⎝⎭或()4f 中取，
若2
4324a a
f -⎛⎫==- ⎪⎝⎭
，则4a =±（舍去），若()44153f a =-=-，则3a =， 检验：当3a =时，353224a f f ⎛⎫
⎛⎫
=
=->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，3a ∴=满足题意；
④当48a <≤时，()()2
24124a a f x x a x x -⎛
⎫=--+=-+ ⎪⎝
⎭，
242a <≤，()f x ∴在区间1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,42a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，
()2
min
4324a a f x f -⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭
，4a ∴=；
⑤当8a ≥时，()()2
24124a a f x x a x x -⎛
⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭
，
42
a
≥时，()f x ∴在区间()1,4上单调递减，()()min 41743f x f a ∴==-=-，5a ∴=（舍去）； 综上所述，a 的值为3或4．
22：（2022学年湖州中学高一上第一次月考22）
22：已知0m n ≤<，若函数()f x 在[],x m n ∈上的值域是[],km kn ，则称()f x 是第k 类函数．
（1）若()1
1f x x
=-是第k 类函数，求k 的取值范围；
（2）若()24f x x x =-是第2类函数，求,m n 的值．
方法提供与解析：（浙江宁波+王如意） （1）解析（函数与方程）
因为()1
1f x x
=-在[],x m n ∈，0m n <<是增函数，且函数()f x 在[],x m n ∈上的值域是[],km kn ，
所以1111km m kn n ⎧
-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即2
21111k m m k n n ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫
-= ⎪⎪⎝⎭⎩
，所以问题转化为函数y k =与函数()2
0y x x x =-+>有交点， 因为()2
2
11024y x x x x ⎛⎫=-+=--+> ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减，将0x =代入2y x x =-+
得0y =，将12x =代入2y x x =-+得1
4
y =，所以函数y k =与函数2y x x =-+()0x >有两个交点， 只需104k <<
，所以k 的取值范围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （2）解析（函数单调性与最值） 因为()()2
2424f x x x x =-=--+，
①当02m n ≤<≤时，()f x 在[],x m n ∈单调递增，因为()24f x x x =-是第2类函数，
所以()()22
4242f m m m m f n n n n ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩
即2
22020m m n n ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，因为02m n ≤<≤，所以0,2m n ==； ②当2m n ≤<时，()f x 在[],x m n ∈单调递减，因为()24f x x x =-是第2类函数，
所以()()2
2
4242f m m m n f n n n m
⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则()
224422m m n n n m ---=-整理得6m n +=即6m n =-， 将6m n =-代入242n n m -=得26120n n -+=，因为364120∆=-⨯<，所以n 没有实数解； ③当02m n ≤<<时，所以当[],x m n ∈，()()max 24f x f ==， 因为()24f x x x =-是第2类函数， 所以24n =，解得2n =（舍去）； 综上所述，0,2m n ==．。