浙江省杭州市拱墅区2019-2020八年级上学期期末数学试卷及答案解析

浙江省杭州市拱墅区2019-2020八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.若√5−a在实数范围内有意义，则a的取值范围是()
A. a>5
B. a<5
C. a≥5
D. a≤5
2.一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是()
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
3.在平面直角坐标系中，将点P(−3,2)向右平移4个单位长度得到点P′，则点P′所在象限为()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4.若x>y，则下列式子中错误的是()
A. x−3>y−3
B. x+1
3>y+1
3
C. 2−1
2x<2−1
2
y D. 1
x
<1
y
5.已知△ABC(AC<BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求
的作图痕迹是()
A. B.
C. D.
6.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是()
A. 4，5，6
B. 1，1，√2
C. 6，8，11
D. 5，12，23
7.若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx−k的图象可能是图中的()
A. B. C. D.
8.如图，在△ADC中，点B在AC上，AD=BD=BC，已知∠C=25°，
则∠ADB是()
A. 50°
B. 60°
C. 80°
D. 90°
9.若关于x的不等式组{3x+1
2
−4x+2
3
>1
2(m−x)≥4
无解，则m的取值范围是()
A. m≤9
B. m≥9
C. m≥5
D. m≤−5
10.在Rt△AOB中，∠AOB=90°，若AB=10，AO=6，则OB长为()
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.化简：√50−√72=______ ．
12.如图，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，E为AC边上的
一点，且AE=AD，则∠EDC=______．
13.写出一个存在逆定理的定理：
14.如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P(m,3)，则关于x的不等式x+2≤ax+c的解
为______．
15.矩形ABCD的边AB=6，BC=12，点P为矩形ABCD边上一点，连接AP，若线段AP、BD交
点为点E，△PAB为等腰三角形，则AE的长为______．
16.如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=
90°，AD=AE，AB=AC.给出下列结论，其中正确的是______(填序号)
①BD⊥CE
②∠DCB−∠ABD=45°
③CE−BE=√2AD
④BE2+CD2=2(AD2+AB2)
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
17.计算：√8−√1
2+|−√2
2
|−√(−2)2
18.已知点P(2m+4,m−1)，试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
(1)点P的纵坐标比横坐标大5；
(2)点P在过点A(−1,2)且与x轴平行的直线上；
(3)点P到x，y轴的距离和为5．
19.成都市某超市从生产基地购进200千克水果，每千克进价为2元，运输过程中质量损失5%，假
设不计超市其他费用．
(1)如果超市在进价的基础上提高5%作为售价，请你计算说明超市是否亏本;
(2)如果该水果的利润率不得低于14%，那么该水果的售价至少为多少元?
20.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD．
(1)若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；
(2)若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．
21.规定对于一个一次函数，如果它的自变量x与函数值y满足m≤x≤n时有m≤y≤n，我们称
此函数为区间[m,n]上的闭函数．
(1)判断y=−x+5是否为区间[2,3]上的闭函数；
(2)若一次函数y=kx+b是区间[−3,4]上的闭函数，求此函数表达式．
22.如图：等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD=CE，
AD与BE相交于点P，AP=6，Q是射线PE上的动点．
(1)求证：△ABD≌△BCE；
(2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值；
(3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围．
23.甲、乙两人相约元旦登山，甲、乙两人距地面的高度y(m)与登山时间x(min)之间的函数图象如
图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)t=______min．
(2)若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，
①则甲登山的上升速度是______m/min；
②请求出甲登山过程中，距地面的高度y(m)与登山时间x(min)之间的函数关系式．
③当甲、乙两人距地面高度差为70m时，求x的值(直接写出满足条件的x值)．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
根据被开方数是非负数，可得答案．
解：由题意，得5−a≥0，
解得a≤5，
故选D．
2.答案：C
解析：[分析]
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
[详解]
解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：4−3<a<4+3，
即1<a<7，
∵a为整数，
∴a的最大值为6，
则三角形的最大周长为3+4+6=13．
故选：C．
[点睛]
本题考查了三角形的三边关系，根据三边关系得出第三边的取值范围是解决此题的关键．
3.答案：A
解析：解：将点P(−3,2)向右平移4个单位长度得到点P′的坐标是(−3+4,2)，即(1,2)，
所以P′在第一象限，
故选：A．
根据向右平移，横坐标加，求出点P′的坐标，再根据各象限内点的特征解答．
本题考查了坐标与图形的变化−平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求出点P′的坐标是解题的关键．
4.答案：D
解析：
本题主要考查不等式的基本性质，属于中档题.熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
依据不等式的基本性质解答即可．
解：A项，由不等式的性质1可知A选项正确，不符合题意；
B项，由不等式的性质1和性质2可知B选项正确，不符合题意；
C项，由不等式的性质1和性质2可知C选项正确，不符合题意；
D项，由不等式的性质2可知D选项错误，符合题意．
故选D．
5.答案：D
解析：
此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质作图是解题关键．
利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质即可作图．
解：A.如图所示：此时BA=BP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
B.如图所示：此时PA=PC，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
C.如图所示：此时CA=CP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
D.如图所示：此时BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此选项正确，
故选D．
6.答案：B
解析：解：A、因为42+52≠62，故不是勾股数；故此选项错误；
B、因为12+12=(√2)2，故三角形是直角三角形．故此选项正确；
C、因为62+82≠112，故不是勾股数；故此选项错误；
D、因为52+122≠232，故不是勾股数．故此选项错误；
故选：B．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7.答案：B
解析：
本题考查了一次函数图象与系数的关系
由y=kx+b的图象经过一，二，四象限可得k，b的取值范围，然后根据k，b的取值范围可得直线y=bx−k的图象所在的象限．
解：∵y=kx+b的图象经过一，二，四象限，
∴k<0，b>0，
∴−k>0，
∴一次函数y=bx−k的图象应经过一、二、三象限，
选项中只有B满足，
故选B．
8.答案：C
解析：
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求解∠ABD的度数，进而得∠A的度数，再利用三角形的内角和定理即可求解．
解：∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C=25°，
∴∠ABD=2∠C=50°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=50°，
∴∠ADB=180°−2×50°=80°．故选C．
9.答案：A
解析：解：解不等式3x+1
2−4x+2
3
>1，得：x>7，
解不等式2(m−x)≥4，得：x≤m−2，
∵不等式组无解，
∴m−2≤7，
则m≤9，
故选：A．
先求出两个不等式的解集，再根据不等式组无解列出关于m的不等式求解即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10.答案：C
解析：
此题主要考查了勾股定理，已知△ABC是直角三角形，△ABC的三边满足a2+b2=c2.根据勾股定理解答即可．
解：∵在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=10，AO=6，
∴OB=√AB2−AO2=√102−62=8，
故选：C．
11.答案：−√2
解析：
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．首先化简二次根式，进而合并即可．
解：√50−√72=5√2−6√2=−√2．
12.答案：15°
解析：
本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
先根据等边三角形的性质得出∠BAC=60°，再由AD⊥BC得出∠CAD的度数，根据AE=AD求出∠ADE的度数，由∠EDC=∠ADC−∠ADE即可得出结论．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=30°，∠ADC=90°，
∵AE=AD，
∴∠ADE=180°−30°
=75°，
2
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=90°−75°=15°．
故答案为15°．
13.答案：两直线平行，同位角相等(答案不唯一)
解析：
本题主要考查了命题与定理的有关知识，在解题时要能对每一项的逆命题进行正确判断是本题的关键，难度适中．
先写出逆命题，然后判断真假即可．
解：根据题意，得两直线平行，同位角相等的逆定理为同位角相等，两直线平行是真命题．
故答案为两直线平行，同位角相等(答案不唯一)．
14.答案：x≤1
解析：解：点P(m,3)代入y=x+2，
∴m=1，
∴P(1,3)，
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1；
将点P(m,3)代入y=x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x<1时x+2≤ax+c，即可求解；
本题考查一次函数的交点于一元一次不等式；将一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键．
15.答案：4√2或2√17
解析：
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、比例的性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
根据题意画出图形，分两种情况：①当P在BC上时；②当P在CD上时，P为CD的中点；由矩形的性质和勾股定理以及相似三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：分两种情况：
①当P在BC上时，如图1所示
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP=90°，AD=BC=4，AD//BC，CD=AB=2，
∴△ADE∽△PBE，
∴AE
PE =AD
PB
，
∵△ABP是等腰三角形，∴PB=AB=6，
∴AE
PE
=2，
∴AE
AP =2
3
，
由勾股定理得：AP=√AB2+PB2=6√2，
∴AE=4√2；
CD=3，
②当P在CD上时，P为CD的中点，如图2所示：则PD=1
2
∴AP=√122+32=3√17，
∵AB//CD，
∴△ABE∽△PDE，
∴AE
=2，∴AE=2PE，
PE
AP=2√17；
∴AE=2
3
综上所述，AE的长为4√2或2√17；
故答案为：4√2或2√17．
16.答案：①③④
解析：解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，
∴∠DCB−∠DCA=∠ACB=45°，
∵∠ABD≠∠ACD，故②错误，
∵CE−BE=BD−BE=DE=√2AD，故③正确，
∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，
∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故①正确，
∴BE2=BC2−EC2=2AB2−(CD2−DE2)=2AB2−CD2+2AD2=2(AD2+AB2)−CD2．
∴BE2+CD2=2(AD2+AB2)，故④正确，
故答案为①③④．
本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考中的压轴题．
只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；
17.答案：解：原式=2√2−√2
2+√2
2
−2
=2√2−2．
解析：首先化简二次根式，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．18.答案：解：(1)∵点P(2m+4,m−1)，点P的纵坐标比横坐标大5，∴m−1−(2m+4)=5，
解得：m=−10，
∴2m+4=−16，m−1=−11，
∴点P的坐标为：(−16,−11)；
(2)∵点P在过A(−1,2)点，且与x轴平行的直线上，
∴m−1=2，
解得：m=3，
∴2m+4=10，
∴P点坐标为：(10,2)；
(3)点P到x，y轴的距离和为5，
点P在第一象限时，2m+4+m−1=5，
解得：m=2
3
，
∴2m+4=16
3，m−1=−1
3
，
∴P(16
3,−1
3
)不合题意，舍去；
点P在第二象限时，−2m−4+m−1=5，解得：m=−10，
∴2m+4=−16，m−1=−11，
∴P(−16,−11)不合题意，舍去；
点P在第三象限时，−2m−4−m+1=5，
解得：m=−8
3
，
∴2m+4=−4
3，m−1=−11
3
，
∴P(−4
3,−11
3
)；
点P在第四象限时，2m+4−m+1=5，解得：m=0，
∴2m+4=4，m−1=−1，
∴P(4,−1)；
故点p的坐标为(−4
3,−11
3
)或(4,−1)．
解析：此题主要考查了坐标与图形的性质，根据已知得出关于m的等式是解题关键．
(1)根据横纵坐标的大小关系得出m−1−(2m+4)=5，即可得出m的值，进而得出P点坐标；
(2)根据平行于x轴点的坐标性质得出m−1=2，进而得出m的值，进而得出P点坐标；
(3)分四种情况进行讨论计算即可．
19.答案：解：(1)2×(1+5%)×200×(1−5%)−400=−1(元)．
答：如果超市在进价的基础上提高5%作为售价，则亏本1元．
(2)设该水果的售价为x元/千克，
根据题意得：200×(1−5%)x−200×2≥200×2×14%，
解得：x≥2.4．
答：该水果的售价至少为2.4元/千克．
解析：本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据数量关系，列式计算；(2)根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
(1)根据利润=销售收入−成本，即可求出结论；
(2)根据利润=销售收入−成本结合该水果的利润率不得低于14%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
20.答案：(1)证明：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°−30°−30°=120°，
∵∠BAD=45°，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°−45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，
∴∠ADC=∠CAD，
∴AC =CD ，
即△ACD 为等腰三角形；
(2)解：有两种情况：①当∠ADC =90°时，
∵∠B =30°，
∴∠BAD =∠ADC −∠B =90°−30°=60°；
②当∠CAD =90°时，∠BAD =∠BAC −∠CAD =120°−90°=30°；
即∠BAD 的度数是60°或30°．
解析：本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．
(1)根据等腰三角形的性质求出∠B =∠C =30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC =120°，求出∠CAD =∠ADC ，根据等腰三角形的判定得出即可；
(2)有两种情况：①当∠ADC =90°时，当∠CAD =90°时，求出即可．
21.答案：解：(1)x =2时，y =−x +5=3；
当x =3时，y =−x +5=2，
所以y =−x +5为[2,3]上的闭函数；
(2)当x =−3时，y =−3，当x =4时，y =4，
所以{−3k +b =−34k +b =4
， 解得{k =1b =0
， 此时函数解析式为y =x ；
当x =−3时，y =4，当x =4时，y =−3，
所以{−3k +b =44k +b =−3
， 解得{k =−1b =1
， 此时函数解析式为y =−x +1，
所以所求函数解析式为y =x 或y =−x +1．
解析：本题考查了一次函数的性质：k >0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k <0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．
(1)分别计算出自变量为2或3时的函数值，然后根据闭函数的定义进行判断；
(2)根据闭函数的定义得到当x=−3时，y=−3，当x=4时，y=4或当x=−3时，y=4，当x=4时，y=−3，然后利用待定系数法求出两种情况下的解析式．
22.答案：解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
在△ABD和△BCE中，{AB=BC
∠ABD=∠BCE BD=CE
，
∴△ABD≌△BCE；
(2)如图，由(1)知，△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=60°，
∵△APQ为直角三角形，
∴①当∠AQP=90°时，
∵AP=6，PQ=1
2
AP=3，
②当∠PAQ=90°时，
即：∠PAQ′=90°，
∴PQ′=2AP=12，
即：△APQ是直角三角形时，PQ=3或12，
(3)∵△APQ为钝角三角形，
∴①当∠AQP>90°时，0<PQ<3，
②当∠PAQ>90°时，PQ>12．
即：△APQ是钝角三角形时，0<PQ<3或PQ>12．
解析：(1)先利用等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，即可得出结论；
(2)先借助(1)的结论，判断出∠APQ=60°，进而分两种情况，即可得出结论；
(3)借助(2)的结论即可得出范围．
此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角
三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出∠APQ=60°．
23.答案：(1)2；
(2)①10；
②y=10x+100(0≤x≤20)；
③x=3或10或13．
解析：[分析]
本题考查一次函数的应用，解题关键是明确题意，列出y关于x的函数关系式，利用函数的思想解答．
(1)根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度，即可算出乙在A地时所用的时间t；
(2)①求得乙提速后乙的速度，根据乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，即可求得甲的速度，
②找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，
③分0≤x≤2和x≥2两种情况，根据高度=初始高度+速度×时间即可得出乙登上过程中y关于x 的函数关系；令二者做差等于70即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
[详解]
解：(1)15
1=30
t
,解得：t=2，
故答案为：2；
(2)①乙提速后，乙的登上速度为：，乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，
甲登山上升的速度是10m/min，
故答案为：10；
②∵甲登山上升的速度是10m/min，
∴甲登山所用的时间为20min，即点D(20,300)，
由图像可知点C (0,100),
设直线CD 的函数关系式：y =10x +100(0≤x ≤20)；
③当0≤x ≤2时，y =15x ，
当x ≥2时，y =30+10×3(x −2)=30x −30，
∴乙登山全程中，距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式为y =
{15x(0≤x ≤2)30x −30(2≤x ≤11)
, 当10x +100−(30x −30)=70时，
解得：x =3，
当30x −30−(10x +100)=70时，
解得：x =10，
当10x +100=300−70时，解得：x =13，
答：登山3分钟或10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．
[点睛]
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用函数的思想解答。