初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全(含答案)
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∵AT 平分 ∠BAC，∠ ACB=90 ，° ∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等） ， ∵∠ ACB=90 ，°CM⊥ AB，∴∠ ADM+∠ DAM=90 °，∠ATC+∠CAT=90 °， ∵AT 平分 ∠BAC，∴∠ DAM=∠ CAT， ∴∠ ADM=∠ATC， ∴∠ CDT=∠CTD， ∴CD=CT， 又∵ CT=TF（已证）， ∴CD=TF， ∵CM⊥AB，DE∥AB， ∴∠CDE=90 °，∠ B=∠DEC，
2．证明：如图，过点 D 作 DG∥AE，交 BC于点 G；
3．证明：
4．解：（1）如图 2 中，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE．
在△ BED 和△ CAD 中，
，∴△ BED≌△CAD（SAS）．
（2）∵△ BED≌△ CAD，∴BE=AC=5， ∵AB=7，∴2＜ AE＜ 12， ∴2＜2AD＜ 12， ∴ 1＜ AD＜ 6． 解决问题：如图 3 中，
15．已知在 △ABC 中， AD 是 BC边上的中线，分别以 AB 边、 AC 边为直角边各向外作等腰直角 三
角形，如图，求证： EF=2AD．
1.解：如图，延长 AD 至 E，使 DE=AD， ∵AD 是 △ABC 的中线， ∴BD=CD， 在△ ABD 和 △ECD中，， ∴△ ABD≌△ ECD（SAS），∴AB=CE， ∵AD=7，∴ AE=7+7=14， ∵14+5=19，14﹣5=9，∴9＜CE＜19，
，∴△ ABF≌△ CDA， ∴AC=AF，
10．证明：取 AC的中点 F，连接 BF； ∵B 为 AE的中点， ∴BF 为△ AEC 的中位线， ∴EC=2BF；
在△ ABF 与△ACD中，
， ∴△ ABF≌△ ACD（ SAS），∴ CD=BF， ∴CE=2CD．
11．证明：过 T 作 TF⊥AB 于 F，
∴AD 是 ∠EAC 的平分线．
9．证明：延长 AE至 F，使 AE=EF，连接 BF，
在△ ADE 与 △BFE中，
，∴△ AED≌△ FEB，
∴BF=DA，∠FBE=∠ADE， ∵∠ ABF=∠ ABD+∠FBE，∴∠ ABF=∠ ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ ADC，
在△ ABF 与△ADC 中， ∵AF=2AE， ∴AC=2AE．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在正方形 ABCD中，E 为 AB边的中点， G、F 分别为 AD，BC边上的点，若 AG=2，BF=4，
∠GEF=90 °，求 GF的长．
5．已知：在 △ ABC 中， AD 是 BC边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE交 AC于 F， 求证： AF=EF．
7．证明：延长 AE到 F，使 EF=AE，连接 DF，∵AE 是△ABD 的中线 ∴BE=ED， 在△ ABE 与△ FDE中
∵
，∴△ ABE≌△ FDE（SAS）， ∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，
∵∠ADB 是 △ADC 的外角， ∴∠ DAC+∠ACD=∠ ADB=∠BAD， ∴∠ BAE+∠ EAD=∠ BAD，∠ BAE=∠ EFD， ∴∠ EFD+∠ EAD=∠ DAC+∠ACD， ∴∠ ADF=∠ADC， ∵AB=DC， ∴DF=DC，
∴△ ADC≌△ GDB（SAS），
6．证明：如图，延长 FE到 G，使 EG=EF，连接 CG．在 △DEF和 △CEG 中，
∵
，∴△DEF≌△CEG． ∴DF=GC， ∠DFE=∠G．
∵DF∥AB， ∴∠ DFE=∠BAE．
∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠ G=∠ CAE．∴∠ BAE=∠CAE．即 AE平分 ∠BAC．
， ∴△ EAF≌△ BAG（ SAS）， ∴EF=AG， ∵AG=2AD， ∴EF=2AD．
13．解：延长 FE，截取 EH=EG，连接 CH， ∵E 是 BC中点， ∴BE=CE， ∴∠BEG=∠CEH，
在△ BEG 和△ CEH中，
，∴△ BEG≌△ CEH（SAS），
∴∠ BGE=∠ H，∴∠ BGE=∠FGA=∠ H，∴BG=CH， ∵CF=BG，∴CH=CF，∴∠ F=∠H=∠FGA， ∵EF∥AD， ∴∠ F=∠CAD，∠ BAD=∠FGA，∴∠ CAD=∠BAD， ∴AD 平分 ∠BAC．
求证： ∠C=∠BAE．
8．如图，已知 D 是△ABC 的边 BC上的一点， CD=AB，∠ BDA=∠ BAD，AE是△ ABD 的中线． （1）若 ∠B=60 ，°求 ∠C 的值； （2）求证： AD 是∠ EAC 的平分线．
9．如图，已知： CD=AB， ∠BAD=∠BDA，AE 是△ABD 的中线，求证： AC=2AE．
并证明你的结论； (图 3 是原题的第 2 问 )
13．如图，在 △ABC 中， AD 交 BC于点 D，点 E 是 BC的中点， EF∥AD 交 CA的延长线于点 F， 交 EF与于点 G．若 BG=CF，求证： AD 为△ABC 的角平分线．
14．如图，已知在 △ABC 中， ∠CAE=∠B，点 E 是 CD的中点，若 AD 平分 ∠BAE． （1）求证： AC=BD； （2）若 BD=3，AD=5，AE=x，求 x 的取值范围．
，解得： 1＜ x＜4，
15 证明：延长 AD 至点 G，使得 AD=DG，连接 BG，CG， ∵AD=DG， BD=CD， ∴四边形 ABGC是平行四边形， ∴AC=AF=BG，AB=AE=CG，∠ BAC+∠ ABG=180，° ∵∠ EAF+∠ BAC=180 ，° ∴∠ EAF=∠ ABG， 在△ EAF和△ BAG中，
（2）证明：延长 AE到 M ，使 EM=AE，连接 DM，
在△ ABE 和△ MDE 中，
， ∴△ ABE≌△ MDE，
∴∠ B=∠MDE，AB=DM， ∵∠ ADC=∠B+∠BAD=∠ MDE+∠BDA=∠ADM ，
在△ MAD 与△CAD，
，∴△ MAD≌△ CAD， ∴∠ MAD=∠ CAD，
做法是：如图 2，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE，构造 △BED≌△ CAD，经过推理和计算使 问题得到解决．
请回答：（1）小明证明 △BED≌△ CAD 用到的判定定理是：
（用字母表示）
（2）AD 的Biblioteka 值范围是 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
解：延长 GE交 CB的延长线于 M ． ∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD∥ CM， ∴∠ AGE=∠ M，
在△ AEG和 △BEM 中，
，∴△ AEG≌△ BEM， ∴GE=EM，AG=BM=2，
∵EF⊥MG， ∴FG=FM， ∵BF=4，∴ MF=BF+BM=2+4=6，∴GF=FM=6．
A
F
B
D
C
E
1．如图，在 △ ABC 中， AC=5，中线 AD=7，则 AB 边的取值范围是（
）
A．1＜AB＜ 29 B． 4＜ AB＜24 C． 5＜ AB＜19 D．9＜AB＜ 19 2．如图， △ABC 中， AB=AC，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC的延长线上， DE交 BC于 F，且 DF=EF， 求证： BD=CE．
在△ CDE和△ TFB 中，
，
∴△ CDE≌△ TFB（ AAS），
∴CE=TB，∴CE﹣TE=TB﹣ TE，即 CT=BE．
12．解：（ 1 ） AB=AF+ CF．
如图 2，分别延长 DC、AE，交于 G 点， 根据图①得 △ABE≌△ GCE，∴AB=CG， 又 AB∥DC，∴∠ BAE=∠G 而∠ BAE=∠ EAF， ∴∠ G=∠EAF， ∴AF=GF， ∴AB=CG=G+FCF=AF+CF；
6．已知：如图， △ABC（AB≠AC）中，D、E 在 BC上，且 DE=EC，过 D 作 DF∥ BA交 AE于点 F， DF=AC．求证： AE 平分∠BAC．
7-10,换汤不换药 (多题一解 )
7．如图， D 是△ ABC 的 BC边上一点且 CD=AB，∠ BDA=∠BAD，AE是△ ABD 的中线．
初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全
基础模型 : △ABC中 , AD 是 BC边中线
A
B
C
D
思路 1： 延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE
A
B
C
D
E 思路 2：间接倍长 ,延长 MD到 N，使 DN=MD，连接 CN
A
M B
D
C
N
思路 3, 作 CF⊥AD于 F，作 BE⊥AD的延长线于 E
5．证明：如图，延长 AD 到点 G，使得 AD=DG，连接 BG． ∵AD 是 BC边上的中线（已知） ，∴DC=DB，
在△ ADC 和 △GDB 中，
∴∠ CAD=∠G，BG=AC 又∵ BE=AC，∴ BE=BG， ∴∠ BED=∠G， ∵∠ BED=∠ AEF，∴∠ AEF=∠ CAD， 即： ∠AEF=∠FAE，∴AF=EF．
10．已知，如图， AB=AC=B，E CD为 △ABC 中 AB 边上的中线，求证： CE=2CD．
11．已知：如图， △ABC 中， ∠C=90°， CM⊥ AB 于 M， AT平分 ∠BAC 交 CM 于 D，交 BC于 T， 过 D 作 DE∥AB 交 BC于 E，求证： CT=BE．
12．如图①，点 O 为线段 MN 的中点， PQ 与 MN 相交于点 O，且 PM∥ NQ，可证 △PMO≌△ QNO．根据上述结论完成下列探究活动：如图②，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，E 为 BC 边的中 点， ∠BAE=∠EAF，AF 与 DC的延长线相交于点 F．试探究线段 AB 与 AF、CF之间的数量关系，
3．如图，在 △ ABC 中， AD 为中线，求证： AB+AC＞ 2AD．
4．小明遇到这样一个问题，如图 1，△ABC 中， AB=7，AC=5，点 D 为 BC的中点，求 AD 的取 值范围．
小明发现老师讲过的 “倍长中线法 ”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线
延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的
14．（1）证明：延长 AE到 F，使 EF=EA，连接 DF， ∵点 E 是 CD的中点， ∴EC=ED，
在△ DEF与△ CEA 中，
，∴△ DEF≌△ CEA，∴AC=FD，∴∠ AFD=∠ CAE，
∵∠ CAE=∠ B， ∴∠ AFD=∠B， ∵AD 平分 ∠BAE， ∴∠ BAD=∠FAD，
在△ ABD 与 △AFD中，
，∴△ ABD≌△ AFD，∴ BD=FD， ∴AC=BD；
（2）解：由（ 1）证得 △ABD≌△ AFD，△DEF≌△ CEA，∴AB=AF，
∵AE=x， ∴AF=2AE=2x， ∴AB=2x，
∵BD=3，AD=5， ∴在△ ABD 中， ∴x 的取值范围是 1＜x＜4．
在△ ADF 与△ ADC 中
∵
，∴△ ADF≌△ ADC（SAS）∴∠ C=∠ AFD=∠ BAE．
8．（ 1）解： ∵∠ B=60°，∠ BDA=∠BAD， ∴∠ BAD=∠BDA=60 ，°∴AB=AD， ∵CD=AB， ∴CD=AD， ∴∠ DAC=∠C，∴∠ BDA=∠DAC+∠C=2∠ C， ∵∠ BAD=60，°∴∠ C=30 ；°
2．证明：如图，过点 D 作 DG∥AE，交 BC于点 G；
3．证明：
4．解：（1）如图 2 中，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE．
在△ BED 和△ CAD 中，
，∴△ BED≌△CAD（SAS）．
（2）∵△ BED≌△ CAD，∴BE=AC=5， ∵AB=7，∴2＜ AE＜ 12， ∴2＜2AD＜ 12， ∴ 1＜ AD＜ 6． 解决问题：如图 3 中，
15．已知在 △ABC 中， AD 是 BC边上的中线，分别以 AB 边、 AC 边为直角边各向外作等腰直角 三
角形，如图，求证： EF=2AD．
1.解：如图，延长 AD 至 E，使 DE=AD， ∵AD 是 △ABC 的中线， ∴BD=CD， 在△ ABD 和 △ECD中，， ∴△ ABD≌△ ECD（SAS），∴AB=CE， ∵AD=7，∴ AE=7+7=14， ∵14+5=19，14﹣5=9，∴9＜CE＜19，
，∴△ ABF≌△ CDA， ∴AC=AF，
10．证明：取 AC的中点 F，连接 BF； ∵B 为 AE的中点， ∴BF 为△ AEC 的中位线， ∴EC=2BF；
在△ ABF 与△ACD中，
， ∴△ ABF≌△ ACD（ SAS），∴ CD=BF， ∴CE=2CD．
11．证明：过 T 作 TF⊥AB 于 F，
∴AD 是 ∠EAC 的平分线．
9．证明：延长 AE至 F，使 AE=EF，连接 BF，
在△ ADE 与 △BFE中，
，∴△ AED≌△ FEB，
∴BF=DA，∠FBE=∠ADE， ∵∠ ABF=∠ ABD+∠FBE，∴∠ ABF=∠ ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ ADC，
在△ ABF 与△ADC 中， ∵AF=2AE， ∴AC=2AE．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在正方形 ABCD中，E 为 AB边的中点， G、F 分别为 AD，BC边上的点，若 AG=2，BF=4，
∠GEF=90 °，求 GF的长．
5．已知：在 △ ABC 中， AD 是 BC边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE交 AC于 F， 求证： AF=EF．
7．证明：延长 AE到 F，使 EF=AE，连接 DF，∵AE 是△ABD 的中线 ∴BE=ED， 在△ ABE 与△ FDE中
∵
，∴△ ABE≌△ FDE（SAS）， ∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，
∵∠ADB 是 △ADC 的外角， ∴∠ DAC+∠ACD=∠ ADB=∠BAD， ∴∠ BAE+∠ EAD=∠ BAD，∠ BAE=∠ EFD， ∴∠ EFD+∠ EAD=∠ DAC+∠ACD， ∴∠ ADF=∠ADC， ∵AB=DC， ∴DF=DC，
∴△ ADC≌△ GDB（SAS），
6．证明：如图，延长 FE到 G，使 EG=EF，连接 CG．在 △DEF和 △CEG 中，
∵
，∴△DEF≌△CEG． ∴DF=GC， ∠DFE=∠G．
∵DF∥AB， ∴∠ DFE=∠BAE．
∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠ G=∠ CAE．∴∠ BAE=∠CAE．即 AE平分 ∠BAC．
， ∴△ EAF≌△ BAG（ SAS）， ∴EF=AG， ∵AG=2AD， ∴EF=2AD．
13．解：延长 FE，截取 EH=EG，连接 CH， ∵E 是 BC中点， ∴BE=CE， ∴∠BEG=∠CEH，
在△ BEG 和△ CEH中，
，∴△ BEG≌△ CEH（SAS），
∴∠ BGE=∠ H，∴∠ BGE=∠FGA=∠ H，∴BG=CH， ∵CF=BG，∴CH=CF，∴∠ F=∠H=∠FGA， ∵EF∥AD， ∴∠ F=∠CAD，∠ BAD=∠FGA，∴∠ CAD=∠BAD， ∴AD 平分 ∠BAC．
求证： ∠C=∠BAE．
8．如图，已知 D 是△ABC 的边 BC上的一点， CD=AB，∠ BDA=∠ BAD，AE是△ ABD 的中线． （1）若 ∠B=60 ，°求 ∠C 的值； （2）求证： AD 是∠ EAC 的平分线．
9．如图，已知： CD=AB， ∠BAD=∠BDA，AE 是△ABD 的中线，求证： AC=2AE．
并证明你的结论； (图 3 是原题的第 2 问 )
13．如图，在 △ABC 中， AD 交 BC于点 D，点 E 是 BC的中点， EF∥AD 交 CA的延长线于点 F， 交 EF与于点 G．若 BG=CF，求证： AD 为△ABC 的角平分线．
14．如图，已知在 △ABC 中， ∠CAE=∠B，点 E 是 CD的中点，若 AD 平分 ∠BAE． （1）求证： AC=BD； （2）若 BD=3，AD=5，AE=x，求 x 的取值范围．
，解得： 1＜ x＜4，
15 证明：延长 AD 至点 G，使得 AD=DG，连接 BG，CG， ∵AD=DG， BD=CD， ∴四边形 ABGC是平行四边形， ∴AC=AF=BG，AB=AE=CG，∠ BAC+∠ ABG=180，° ∵∠ EAF+∠ BAC=180 ，° ∴∠ EAF=∠ ABG， 在△ EAF和△ BAG中，
（2）证明：延长 AE到 M ，使 EM=AE，连接 DM，
在△ ABE 和△ MDE 中，
， ∴△ ABE≌△ MDE，
∴∠ B=∠MDE，AB=DM， ∵∠ ADC=∠B+∠BAD=∠ MDE+∠BDA=∠ADM ，
在△ MAD 与△CAD，
，∴△ MAD≌△ CAD， ∴∠ MAD=∠ CAD，
做法是：如图 2，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE，构造 △BED≌△ CAD，经过推理和计算使 问题得到解决．
请回答：（1）小明证明 △BED≌△ CAD 用到的判定定理是：
（用字母表示）
（2）AD 的Biblioteka 值范围是 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
解：延长 GE交 CB的延长线于 M ． ∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD∥ CM， ∴∠ AGE=∠ M，
在△ AEG和 △BEM 中，
，∴△ AEG≌△ BEM， ∴GE=EM，AG=BM=2，
∵EF⊥MG， ∴FG=FM， ∵BF=4，∴ MF=BF+BM=2+4=6，∴GF=FM=6．
A
F
B
D
C
E
1．如图，在 △ ABC 中， AC=5，中线 AD=7，则 AB 边的取值范围是（
）
A．1＜AB＜ 29 B． 4＜ AB＜24 C． 5＜ AB＜19 D．9＜AB＜ 19 2．如图， △ABC 中， AB=AC，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC的延长线上， DE交 BC于 F，且 DF=EF， 求证： BD=CE．
在△ CDE和△ TFB 中，
，
∴△ CDE≌△ TFB（ AAS），
∴CE=TB，∴CE﹣TE=TB﹣ TE，即 CT=BE．
12．解：（ 1 ） AB=AF+ CF．
如图 2，分别延长 DC、AE，交于 G 点， 根据图①得 △ABE≌△ GCE，∴AB=CG， 又 AB∥DC，∴∠ BAE=∠G 而∠ BAE=∠ EAF， ∴∠ G=∠EAF， ∴AF=GF， ∴AB=CG=G+FCF=AF+CF；
6．已知：如图， △ABC（AB≠AC）中，D、E 在 BC上，且 DE=EC，过 D 作 DF∥ BA交 AE于点 F， DF=AC．求证： AE 平分∠BAC．
7-10,换汤不换药 (多题一解 )
7．如图， D 是△ ABC 的 BC边上一点且 CD=AB，∠ BDA=∠BAD，AE是△ ABD 的中线．
初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全
基础模型 : △ABC中 , AD 是 BC边中线
A
B
C
D
思路 1： 延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE
A
B
C
D
E 思路 2：间接倍长 ,延长 MD到 N，使 DN=MD，连接 CN
A
M B
D
C
N
思路 3, 作 CF⊥AD于 F，作 BE⊥AD的延长线于 E
5．证明：如图，延长 AD 到点 G，使得 AD=DG，连接 BG． ∵AD 是 BC边上的中线（已知） ，∴DC=DB，
在△ ADC 和 △GDB 中，
∴∠ CAD=∠G，BG=AC 又∵ BE=AC，∴ BE=BG， ∴∠ BED=∠G， ∵∠ BED=∠ AEF，∴∠ AEF=∠ CAD， 即： ∠AEF=∠FAE，∴AF=EF．
10．已知，如图， AB=AC=B，E CD为 △ABC 中 AB 边上的中线，求证： CE=2CD．
11．已知：如图， △ABC 中， ∠C=90°， CM⊥ AB 于 M， AT平分 ∠BAC 交 CM 于 D，交 BC于 T， 过 D 作 DE∥AB 交 BC于 E，求证： CT=BE．
12．如图①，点 O 为线段 MN 的中点， PQ 与 MN 相交于点 O，且 PM∥ NQ，可证 △PMO≌△ QNO．根据上述结论完成下列探究活动：如图②，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，E 为 BC 边的中 点， ∠BAE=∠EAF，AF 与 DC的延长线相交于点 F．试探究线段 AB 与 AF、CF之间的数量关系，
3．如图，在 △ ABC 中， AD 为中线，求证： AB+AC＞ 2AD．
4．小明遇到这样一个问题，如图 1，△ABC 中， AB=7，AC=5，点 D 为 BC的中点，求 AD 的取 值范围．
小明发现老师讲过的 “倍长中线法 ”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线
延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的
14．（1）证明：延长 AE到 F，使 EF=EA，连接 DF， ∵点 E 是 CD的中点， ∴EC=ED，
在△ DEF与△ CEA 中，
，∴△ DEF≌△ CEA，∴AC=FD，∴∠ AFD=∠ CAE，
∵∠ CAE=∠ B， ∴∠ AFD=∠B， ∵AD 平分 ∠BAE， ∴∠ BAD=∠FAD，
在△ ABD 与 △AFD中，
，∴△ ABD≌△ AFD，∴ BD=FD， ∴AC=BD；
（2）解：由（ 1）证得 △ABD≌△ AFD，△DEF≌△ CEA，∴AB=AF，
∵AE=x， ∴AF=2AE=2x， ∴AB=2x，
∵BD=3，AD=5， ∴在△ ABD 中， ∴x 的取值范围是 1＜x＜4．
在△ ADF 与△ ADC 中
∵
，∴△ ADF≌△ ADC（SAS）∴∠ C=∠ AFD=∠ BAE．
8．（ 1）解： ∵∠ B=60°，∠ BDA=∠BAD， ∴∠ BAD=∠BDA=60 ，°∴AB=AD， ∵CD=AB， ∴CD=AD， ∴∠ DAC=∠C，∴∠ BDA=∠DAC+∠C=2∠ C， ∵∠ BAD=60，°∴∠ C=30 ；°