人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件

x OA
作三角函数线的步骤: 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
(1)以圆点为圆心画出单位圆，作出角的终边;
(2) 设α的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M，则：
有向线段MP是正弦线, 有向线段OM是余弦线;
(3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线,
与角α的终边(或其反向延长线)交于点T，则：
α的
y
终边 P
MO
A(1,0)
x
T
(Ⅱ)
AT y tan, 有向线段AT叫角α的正切线
x
特别注意：正切线必须是： 以A为始点、T为终点
y
T
M
A(1,0)
O
x
α的 P
可以看出：正切线在第一三象限为正，第二四终边象限(Ⅲ为)负.
y T α的
终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
PT
α的
1
Ax
y=－1
T
4
题型四：利用三角函数线解三角不等式 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
例
写出满足条件
1 2
≤cosα＜
3 2
的角α的集合.
|2k
6
＜α≤
2k 2 ，或
3
2k 4 ≤α＜ 2k 11 ，k Z
3
6
x1 x 3
2
2
2
y
3
1
6
-1 O
4
-1
3
1
x
11
6
(2k
6
,2k
不查表，比较大小。
（２）cos 2
3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
2π 3 4π 5
y 1
o 1x
题型五：利用三角函数线比较三角函数值的大小
不查表，比较大小。
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
2π 3 4π 5
y 1
tan 2π < tan 4π
3
5
(D)以上答案都不对
解析：在 0～2π 之间；由三角函数线的定义可知，α＝π4时，正弦线与余弦线长度相等，
符号均为正，α＝54π 时，长度相等，符号均为负，故选 C.
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题型四：利用三角函数线解三角不等式 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件 例1 解下列不等式:
解析：终边相同的角的三角函数值相等，同名三角函数值相等，角不一定相等， 终边不相同，它们的同名三角函数值也可能相等，故只有①正确．
达 标
4．在[0,2π]上满足 sin α≥12的 α 的取值范围是( B )
训 练
(A)[0，π6] (B)[π6，56π]
(C)[π6，23π] (D)[56π，π]
第四步：根据不等式的范围，写出角的取值范围.
“三角函数线法”是解三角不等式最好的方法，需牢固掌握.
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题型四：利用三角函数线解三角不等式 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
例2 解下列不等式:
1cos 1
2
2k
3
,
2k
5
3
k
Z
2 cos 1 (2k , 2k )k Z
(2)如图(2)．
∵∴[－函2π3c＋o数s 定2xk－解 ∵ ∴π义，1域： 2函≥π3co为(数＋01s，)定x2如∴k－义π图1c](o域≥(k1s∈为)0x．，≥Z[－)∴12．.π3c＋os2xk≥π∵ ∴ ∴，123－ 函.π3－＋数243定2s<ikns义πi2nx](域>xk0<∈为，2Z3∴).．sin2x<34，
α>－
3， 3
则不等式的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴ {α|k π－π6 <α<kπ＋π2 ，k∈ Z}．
2sin x> 2，
(2)原不等式组可化为 cos
x≤1. 2
sin 即
x>
2， 2
cos x≤12.
则不等式组的解的 集合如图(阴 影部分)所示，
∴ {x|2kπ＋π3 ≤ x<2k π＋34π，k∈ Z}．
且在Rt△OPM中，锐角∠POM＝1> π4>∠OPM，
∴MP>OM，故得sin 1>cos 1，答案选A.
答案：A
题型五：利用三角函数线比较三角函数值的大小
不查表，比较大小。
⑴ sin 2
3
和
sin 4
5
解：由图形得到
sin 2π > sin 4π
3
5
2
y
4
31
5
o 1x
题型五：利用三角函数线比较三角函数值的大小
O Ax
y
M O Ax
第一象限角
T
第二象限角
P
第三象限角
PT
第四象限角
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练习 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
1．角 α 的正弦线与余弦线长度相等，且符号相同，那么 α(0<α<2π)的值为( CC )
π (A)4
5 (B)4π
(C)π4和54π
ox
关于正弦线、余弦线的进一步理解 设任意角α与单位圆交于点p(x , y)，则r = |op| = 1.
正弦线:sin MP y y
OP r
余弦线:cos OM x x
OP r
因此，p(x , y)坐标也表示为p(cosα , sinα).
y
p(x , y)
α
oM x
达
基础达标
标 1．若角 α 的终边经过点(0,2)，则下列各式中，无意义的是( C )
练习 1.下列表示sin 1与cos 1的大小关系中，表述正确的是( )
A．sin 1>cos 1
B．sin 1＝cos 1
C．sin 1<cos 1
D．不能确定
解析： ∵ π <1< π ，过单位圆与角1终边的交点P，作PM⊥x轴，
4
2
垂足为M，则由三角函数线的定义得MP＝sin 1，OM＝cos 1，
特别注意：正弦线必须是： 以M为始点、P为终点
M O
α的终P
边
(Ⅲ)
A(1,0)
x
可以看出：正弦线在第一二象限为正，第三四象限为负.
y
α的终
边
P
A(1,0)
OM
x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
P
(Ⅳ)
α的终 边
二、单位圆中的三角函数线：余弦线
当角α的终边不在坐标轴上时, 以O为始点、M为终点,规定: ①当线段OM与x轴同向 时,OM的 方向为正向,且有正值x; ②当线段OM与x轴反向时,OM的 方向为负向,且有负值x.
余弦线的起点在原点，余弦线在x轴上； 正切线的起点在点A(1,0)，正切线与y轴平行. 3.当正弦线、余弦线、正切线的方向与x轴或y轴的正方向相同时，对应的三角 函数值为正值；
当正弦线、余弦线、正切线的方向与x轴或y轴的正方向相反时，对应的三角函 数值为负值.
y
y
PT
P
y
P
T
M
O M A x MO A x
我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角α的正弦线、
余弦线、正切线，统称为三角函数线．
sin y MP MP (正弦线)
r OP
y 1 P(x,y) T
cos x OM OM(余弦线)
r OP
α1
-1
O MA x
tan y AT AT(正切线)
-1
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2
规律方法：
3
3
-1
利用三角函数线解三角不等式的步骤：
第一步：在直角坐标系内，以原点为圆心作出单位圆；
第二步：作出三角函数值对应的三角函数线；
第三步：作出三角函数线对应的两个角；
第四步：根据不等式的范围，写出角的取值范围.
“三角函数线法”是解三角不等式最好的方法，需牢固掌握.
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x1 2
y
1
3
1
O
x
5
-1 3
3
题型四：利用三角函数线解三角不等式 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
例 解下列不等式:
1 tan
1
k
3
4
, k
3
2
)k Z
3
4
y
21
k
4
,
k
2
)
k
Z
-1
O
2 tan 1
(k , k ]k Z
2
4
-1
2
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练
习 4. 求函数 y＝ cos x·tan x的定义域．
解：要使函数有意义，
cos x≥0，
需 tan x≥0，
cos x≤0，
或 tan x≤0，
x≠2π＋k π，
x≠2π＋k π，
∴ x∈[2kπ，π2＋2kπ)∪(π2＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，
即定义域为 [2kπ，π2＋ 2kπ)∪(π2 ＋ 2k π， π＋ 2kπ]，k∈ Z.
(－π3＋2kπ，π3＋2kπ)∪(23π＋2kπ，43π＋2kπ)(k∈Z)， 即(－π3＋kπ，π3＋kπ)(k∈Z)．
练 3. 利用单位圆解不等式(组)
习 (1)3tan α＋ 3>0；(2)2sin x－ 2>0 . 2cos x≤1
解：(1)原不等式可化为 3tan α>－ 3，
即
tan
(Ⅳ) 终边
二、单位圆中的三角函数线 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件 带方向的线段称为有向线段。
规定：有向线段与坐标轴同向时数量为 正，反向时数量为负。
如图，单位圆与角α的终边交于点P(x,y)，与x轴交于点A；
，过P点作PM⊥x轴，垂足为M；
注意：正弦线、余弦线、正切线
过A点作AT⊥x轴，与OP的延长线交于点T。 都是有向线段，有正负之分.
OM=x=cosα，有向线段OM叫角 α的余弦线
α的
y
终边 P
MO
A(1,0)
x
(Ⅱ)
y
特别注意：余弦线必须是： 以O为始点、M为终点
M
A(1,0)
O
x
α的 P
终边 (Ⅲ)
可以看出：余弦线在第一四象限为正，第二三象限为负.
y
α的
终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
P
α的
(Ⅳ) 终边
1.2.1 三角函数线
知识准备
1.有向线段 * 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定: 有向线段的方向与坐标系同向时,数量为正;反向时,数量为负.
2.单位圆 * 半径为1的圆，称为单位圆. * 研究三角函数线，需把单位圆放在坐标系中，且以原点为圆心，如图. y
5 7
6
1 sin 1
2
(2k , 2k 5 )k Z
6
6
6
-1
2 sin 1
2
[2k 7 , 2k ]k Z
6
6
y
1
6
y
1
2
O 1x
-1
规律方法：
利用三角函数线解三角不等式的步骤：
第一步：在直角坐标系内，以原点为圆心作出单位圆；
第二步：作出三角函数值对应的三角函数线；
第三步：作出三角函数线对应的两个角；
2
3
2k
4
3
,2k
11
6
)k
Z
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练习 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件 1.解下列不等式
(1) sin 3 ;
2
(2)2 cos 2 0;
(3) 3 sin cos 0;
(4) 3 sin 2 ；
2
2
(5) 3 tan 3;
1
1
-1 O
x
-1
二、单位圆中的三角函数线：正弦线
α的终 y
边P
当角α的终边不在坐标轴上时, 以M为始点、P为终点,规定:
MO
A(1,0)
x
①当线段MP与y轴同向 时,MP的
方向为正向,且有正值y;
②当线段MP与y轴反向时,MP的
(Ⅱ)
方向为负向,且有负值y.
y
MP=y=sinα，有向线段MP叫角α 的正弦线
二、单位圆中的三角函数线：正切线
tan MP AT AT y
OM OA
x
过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与α的终边或其反 向延长线相交于点T.
当角α的终边不在坐标轴上时, 以A为始点、T为终点,规定: ①当线段AT与y轴同向 时,AT的 方向为正向,且有正值y; ②当线段AT与y轴反向时,AT的 方向为负向,且有负值y.
3
(6) sin x cos x.
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练 习 2. 求下列函数的定义域：
(1)y＝ 2cos x－1； (2)y＝lg(3－4sin2 x)
解：(1)如图(1)． ∵2cos x－1≥0，∴cos x≥12. ∴函数定义域为[－π3＋2kπ，π3＋2
解：(1)如图(1)．
a2＋4a2＝
5|a|，得 cos β＝
a ＝± 5|a|
55，
故选 A.
达 标
3．有下列命题，其中正确的个数是( B )
训 ①终边相同的角的三角函数值相等
练 ②同名三角函数的值相等的角也相等
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等
④不相等的角，同名三角函数值也不相等
(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个
有向线段AT是正切线.
y
y
正弦线
PT
P
余弦线
y
P
T
M
O
Ax
P
第三象限角 y
O MAx
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第一象限角
MO
正切线 Ax
T
第二象限角
第四象 限角
M
O
Ax
PT
注意： 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
1.正弦线、余弦线、正切线解释了正弦函数、余弦函数、正切函数的几何意义； 2.正弦线的起点在x轴上，正弦线与y轴平行；
训 (A)sin α (B)cos α
练 (C)tan α (D)sin α＋cos α
解析：由正切函数的定边经过点 P(a,2a)(a≠0)，则 cos β 等于( A ) (A)±55 (B)2 5 5 (C)±2 5 5 (D)－2 5 5
解析：由 r＝