高考数学总复习 7.4圆及直线与圆的位置关系课件 人教版

a＋rcos θ b＋rsin θ
，(θ 为参数)，特别地，以原点为圆心的
x＝rcos θ 圆的参数方程为 y＝rsin θ
，(θ 为参数)．
注意：
x＝a＋rcos θ 圆的参数方程不是唯一的，参数方程 y＝b＋rsin θ
，
(θ为参数)是常用的一种．圆的参数方程不同，参数的几何 意义也会改变．求最值问题常用圆的参数方程，转化为三 角函数问题．
何性质的结合，使解题方法更加灵活．
(3)在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F＝0，则 D E 它表示一个点(－ 2 ，－ 2 )；若D2＋E2－4F<0，则它不表示 任何图形．
三、圆的参数方程 以 C(a ， b) 为 圆 心 ， r 为 半 径 的 圆 的 参 数 方 程 为
x＝ y＝
均在第二象限内，则a的取值范围为(
A．(－∞，－2) C．(1，＋∞)
)
B．(－∞，－1) D．(2，＋∞)
解析：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝(x＋a)2＋(y－2a)2－4 ＝0，
－a<0， 2a>0， 由题意得 |－a|>2， |2a|>2，
答案：D
解得a>2，故选D.
→ → → 解析：如图：设|P1C1|＝y，|C1P2|＝x，|C1C2|＝l， 又圆C1的半径R＝3，圆C2的半径r＝1， x－l r 1 3 由平面几何性质可得 x ＝R＝3⇒x＝2l， l－y r 1 3 y ＝R＝3⇒y＝4l， 3 l 4 y 1 λ＝－x＝－3 ＝－2. 2l
1 答案：－ 2
考纲要求 1.能根据给定直线 与圆的方程，判断 直线与圆的位置关 系 2.能用直线和圆的 方程解决一些简单 问题 1.能由给定的两个 圆的方程，判断两 圆的位置关系 2.理解由代数方法 处理几何问题的思 想
考查角度 1.方程中有参数 的直线与圆的位 置关系的判断 2.利用相切、相 交的条件求切线 长、弦长、参数 的取值范围
圆的 方程
圆的 参数 方程
圆的参 数方程 的形式
1.已知参数方程化为 1.掌握圆的参数方程 标准方程(求轨迹方 2.掌握圆的参数方程与圆 程) 2.参数方程与三角函 的一般方程的互化 数知识综合求最值
考点 直线与圆的三 种位置关系、 直线与 弦长、圆的切 圆的位 线方程求解、 置关系 中点弦、切线 长 两圆位置关系 圆与圆 判断，两圆相 的位置 交弦的方程、 关系 弦长、弧长与 面积
2．直线与圆的位置关系的判定有两种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离 d与半径r的大小来判断 (如图)： 当 d<r 时，直线与圆相交； 当 d＝r 时，直线与圆相切； 当 d>r 时，直线与圆相离．
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据 解的个数来判断： 若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交； 若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则直线与圆相切； 若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离．
求过点A(2，－3)，B(－2，－5)且圆心在直线x－2y－
3＝0上的圆的方程．
【自主解答】解法一：设所求的圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2－a2＋－3－b2＝r2 2 2 2 由条件知－2－a ＋－5－b ＝r a－2b－3＝0 ③ ① ②
②－①得2a＋b＋4＝0 由③，④得a＝－1，b＝－2， 所以r2＝10， 即所求的圆的方程为 x＋12＋y＋22＝10.
于大圆半径与小圆半径之差，则两圆内切；若圆心距小于大
圆半径与小圆半径之差，则两圆内含．
1．方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是(
)
x>0 解析：由xy<0，即 y<0
x<0 或 y>0
，故选C.
答案：C
2 ．若曲线C：x2 ＋y2＋ 2ax － 4ay＋ 5a2 － 4＝0 上所有的点
解析：圆半径r＝2，半弦长＝ 距离为d，则d2＝22－3＝1. |a－2＋3| ∴ ＝1，解之可得a＝0. 2 a ＋1
答案：0
3 ，而令圆心到直线的
5．已知圆C1：x2＋y2＝9，圆C2：(x－4)2＋(y－6)2＝1， → 两圆的外公切线交于P2点，内公切线交于P1点，若 P1C1 ＝ → λC1P2，则λ等于________．
|PC|>r
点与圆的位置关系，考查了点到圆心的距离与圆的半径 的大小关系．若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半 径，则点在圆内；若距离大于半径，则点在圆外．
五、直线与圆的位置关系 1．直线与圆有三种位置关系 (1)直线与圆相离，没有公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相交，有两个公共点．
将圆的方程化为(x－2)2＋y2＝3， ∴圆心的坐标为(2,0)，半径为 3 ，圆心到直线 3 x＋y 2 3 ＝0的距离为d＝ ＝ 3＝圆的半径，∴直线和圆相切． 2
答案：A
4．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于 A、B两点，且弦AB的长为2 3，则a＝________.
第四讲 圆及直线与圆的位置关系
考点 圆的标 准方程 与一般 方程
考纲要求 1.掌握确定圆的几何要素 ；掌握圆的标准方程与 一般方程 2.能由所给的条件运用待 定系数法求圆的方程； 掌握圆的标准方程与一 般方程的互化
考查角度 1.待定系数法求圆的 方程 2.与向量结合求圆的 标准方程、弧长、圆 面积等 3.圆中最值问题
四、点与圆的位置关系
设点P(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点P与圆C 的位置关系如下表：
位置关系
点P在圆内 点P 在圆上 点P在圆外
几何法
|PC|<r |PC|＝r
代数法
(x0－a)2＋(y0－b)2<r2 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
求，但注意应有两条切线．
(3) 解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心
距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式，
这就是通常所说的“几何法”和“代数法”．
六、圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为 R、r，R>r，圆心距为d，两圆的
位置关系可用下表来表示：
位置
关系
几何 特征
外离
外切
相交
内切
内含
d>R＋r d＝R＋r R－r<d<R＋r d＝R－r d<R－r
代数特征Leabharlann 无实数解一组实
数解
两组实数解
一组实
数解
无实
数解
判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入 手，若圆心距大于两圆半径之和，则两圆外离；若圆心距等 于两圆半径之和，则两圆外切；若圆心距大于大圆半径与小 圆半径之差而小于两圆半径之和，则两圆相交；若圆心距等
③
1 ＝ [9－3(x1＋x2)＋x1· x2]， 4 m＋12 将③代入得y1· y2＝ 5 . 将③④代入①知，m＝3. 代入方程②检验Δ>0成立． ∴m＝3. ④
解法二：将3＝x＋2y代入圆的方程，得 1 m x ＋y ＋3(x＋2y)(x－6y)＋ 9 (x＋2y)2＝0，
2 2
整理得(12＋m)x2＋4(m－3)xy＋(4m－27)y2＝0. 由于x≠0， y2 y ∴(4m－27)· ( ) ＋4(m－3)·＋12＋m＝0， x x ∴kOP，kOQ是上面方程的两根． 12＋m 由kOP· kOQ＝－1，知 ＝－1， 4m－27 解得m＝3，检验知m＝3为所求．
④
解法二：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0由
2 2 2 ＋ － 3 ＋2D－3E＋F＝0 －22＋－52－2D－5E＋F＝0 条件知 E D － －2－ 2 －3＝0 2
解得D＝2，E＝4，F＝－5， 则所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0. 解法三：由已知条件知圆心为AB的中垂线与x－2y－3 1 ＝0的交点，且kAB＝ ，AB中点为(0，－4)， 2 所以AB中垂线方程为2x＋y＋4＝0.
的；
(3)在解决直线与圆相切时，要注意圆心与切点的连线与 切线垂直这一结论；当直线与圆相交时，要注意圆心与弦的 中点的连线垂直于弦这一结论．
【活学活用】 1.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2 ＋y2－12x＋32＝0 的圆心为 Q，过点 P(0,2)且斜率为 k 的直 线与圆 Q 相交于不同的两点 A，B. (1)求 k 的取值范围； (2)是否存在常数 k，使得向量OA＋OB与PQ共线？如果 存在，求 k 的值；如果不存在，请说明理由．
【题后总结】(1)直线与圆相交必须满足直线与圆的方程
联立方程组有两组解，即消去一个变元的二次方程有两个不
等实根，利用韦达定理所求的参数 m 须检验对应方程判别式 是否满足大于0； (2) 解题中，解法一是结合韦达定理运用整体思想建立 m 的关系式求解的，体现了设点而不求点的处理技巧．解法二
是运用方程的思想依据条件构造关于 kOP 与 kOQ 的方程来解决
3．直线x＋ 3 y＝0绕原点按顺时针方向旋转30° 所得直 线与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是( )
A．直线与圆相切 B．直线与圆相交但不过圆心 C．直线与圆相离 D．直线过圆心
解析：∵直线x＋ 3y＝0的倾斜角为150° ， ∴顺时针方向旋转30° 后的倾斜角为120° ， ∴旋转后的直线方程为 3x＋y＝0.
(3)若直线(斜率为k)与圆相交，则直线被圆截得的弦长 |AB|＝ 1＋k2 |x1－x2|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] .其中x1，x2 为两交点的横坐标． (4)以圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)为切点的切线方程为 x0x＋y0y＝r2.
注意：
(1)在直线与圆的位置关系中，直线与圆相切时求切线和 相交时研究与弦长有关的问题是两个重点内容． (2)求切线时，若知道切点，则可直接利用公式；若过圆 外一点求切线，一般运用圆心到直线之间的距离等于半径来
2x＋y＋4＝0 由 x－2y－3＝0
x＝－1 ，得 y＝－2
.
所以圆心为(－1，－2)．所以r＝ 2＋12＋－3＋22 ＝ 10， 所以所求的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
【题后总结】无论是圆的标准方程还是圆的一般方程， 都有三个待定系数，因此求圆的方程，应用三个条件来求， 一般地，已知圆心或半径的条件，选用圆的标准方程，否则 用一般方程．
另外，还有几何法可以用来求圆的方程，要充分利用圆
的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线 上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”等.
已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于 P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
【自主解答】解法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由OP⊥OQ，得kOP· kOQ＝－1， y1 y2 即 · ＝－1， x1 x2 即x1x2＋y1y2＝0， 另一方面(x1，y1)，(x2，y2)是方程组 ①
x＋2y－3＝0， 2 2 x ＋ y ＋x－6y＋m＝0
的实数解， ②
即x1，x2是5x2＋10x＋4m－27＝0 的两个实数根． 4m－27 ∴x1＋x2＝－2，x1· x2＝ 5 . 又P、Q在直线x＋2y－3＝0上， 1 1 ∴y1· y2＝2(3－x1)· 2(3－x2)
两圆相交弦长、 公共弦方程、综 合应用
一、圆的标准方程 以C(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y
－b)2 ＝r2.特别地，以坐标原点为圆心的圆的标准方程为 x2 ＋
y2＝r2. 圆的标准方程显现了圆的几何性质： (x－a)2＋(y－b)2＝r2⇔圆心为C(a，b)，半径为r.根据圆的 标准方程的特点，确定圆的方程的关键是求圆心坐标和半
径．
二、圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示
1 2 2 D E D ＋ E －4F (－ ，－ ) 2 2 2 为圆心， 以
圆．
为半径的
注意：
(1)圆的一般方程突出了圆的代数形式上的特点，其特点
是：①x2，y2的系数相同且均为1(不为1的可化为1)；②不含xy 项． (2)求圆的一般方程通常使用待定系数法，有时候通过配 方转化为标准方程再求解，这样可以实现代数运算与圆的几