黑龙江省大庆市四校高三上学期12月联考数学试卷(理科) Word版含解析

2015-2016学年黑龙江省大庆市四校高三（上）12月联考数学试
卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合，集合N={x||2x﹣1|＜3}，则M∩N=（）
A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞2或x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}
2．已知复数z1=1﹣2i，则的虚部是（）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，S11=121，则S7等于（）
A．13 B．35 C．49 D．63
4．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）
A．2 B．C．1 D．
5．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）
A．B．C．D．
=2a n+3，则通项a n可能是（）
6．设数列{a n}中，a1=2，a n
+1
A．5﹣3n B．3•2n﹣1﹣1C．5﹣3n2D．5•2n﹣1﹣3
7．已知为锐角，则α+2β的值是（）
A．B． C．D．π
8．在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC=BC=2，点P是斜边上的一个三等分点，则
=（）
A．0 B．4 C．D．﹣
9．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
10．函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，）D．（3，+∞）
11．已知非零向量与满足且=．则△ABC
为（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若等比数列{a n}的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于．
14．已知不等式＞2对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为．
15．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）等于．
16．已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]的图象如，给出下列四个命题：
（1）方程f[g（x）]=0有且仅有6个根
（2）方程g[f（x）]=0有且仅有3个根
（3）方程f[f（x）]=0有且仅有5个根
（4）方程g[g（x）]=0有且仅有4个根
其中正确命题是．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知命题a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a ≤0，若命题“p”或“q”是假命题，求a的取值范围．
18．已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．
（1）若=，求角α的值；
（2）若•=﹣1，求的值．
19．数列{a n}满足a n
﹣a n=2，a1=2，等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a8．
+1
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．
20．设函数f（x）=，其中=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期与单调减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2．
①求A；
②若b=1，△ABC的面积为，求的值．
21．设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．
22．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实数）．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值及相应的x值；
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．
2015-2016学年黑龙江省大庆市四校高三（上）12月联考
数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合，集合N={x||2x﹣1|＜3}，则M∩N=（）
A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞2或x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}【考点】交集及其运算；绝对值不等式的解法．
【分析】解分式不等式化简集合M，解绝对值不等式化简集合N，借助数轴求出交集．
【解答】解：={x|}={x|x＞1}
N={x||2x﹣1|＜3}={x|﹣1＜x＜2}
故M∩N={x|1＜x＜2}
故选项为B
2．已知复数z1=1﹣2i，则的虚部是（）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简，依据复数的虚部的定义求出其虚部．
【解答】解：∵复数z1=1﹣2i，则====1+i，
虚部等于1，
故选C．
3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，S11=121，则S7等于（）
A．13 B．35 C．49 D．63
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
则，
解得，
∴S7=7a1+d=49，
故选：C．
4．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）
A．2 B．C．1 D．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值
【解答】解：∵a x=b y=3，
∴x=log a3=，y=log b3=，
∴
当且仅当a=b时取等号
故选项为C
5．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）
A．B．C．D．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．
【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]
所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，
故选A．
=2a n+3，则通项a n可能是（）
6．设数列{a n}中，a1=2，a n
+1
A．5﹣3n B．3•2n﹣1﹣1C．5﹣3n2D．5•2n﹣1﹣3
【考点】数列递推式．
+3=2（a n+3），数列{a n+3}是以5为首项，以2为公比的等比数列，【分析】由已知可得，a n
+1
结合等比数列的通项可求a n+1，进而可求a n
=2a n+3，
【解答】解：∵a1=2，a n
+1
∴a n
+3=2（a n+3），
+1
∴数列{a n +3}是以5为首项，以2为公比的等比数列，
∴
∴
故选D
7．已知为锐角，则α+2β的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．π
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】根据tan α和tan β的值都小于1且α，β均为锐角，得到α和β度数都为大于0小
于
进而求出α+2β的范围，然后利用二倍角的正切函数公式由tan β的值求出tan2β的值，
利用两角和的正切函数公式表示出tan （α+2β），将各自的值代入即可求出值，根据求出的α+2β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+2β的值．
【解答】解：∵tan α=＜1，tan β=＜1， 且α、β均为锐角，
∴0＜α＜
，0＜β＜
．
∴0＜α+2β＜
．
又tan2β==，
∴tan （α+2β）==1
∴α+2β=．
故选：A ．
8．在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC=BC=2，点P 是斜边上的一个三等分点，则
=（ ）
A ．0
B ．4
C ．
D ．﹣
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意，将所求等式变形，用直角三角形的两条直角边对应的向量表示，展开计算即可．
【解答】解：直角三角形ABC中，角C为直角，且AC=BC=2，点P是斜边上的一个三等分点，
则=
=（）（）
=（）（）
=（））
=
==4；
故选B．
9．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣
）到y=cos2x的路线，确定选项．
【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）
=
cos[2（x﹣）]，
∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．
故选B．
10．函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，）D．（3，+∞）
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】由题意可得可得a＞1，且a﹣3＞0，由此求得a的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，而函数t=ax﹣3在[1，3]上单调递增，
根据复合函数的单调性可得a＞1，且a﹣3＞0，求得a＞3，
故选：D．
11．已知非零向量与满足且=．则△ABC
为（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状．
【解答】解：因为，
所以∠BAC的平分线与BC垂直，三角形是等腰三角形．
又因为，所以∠BAC=60°，
所以三角形是正三角形．
故选A．
12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），
则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵e x f（x）＞e x+3，
∴g（x）＞3，
又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0
故选：A．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若等比数列{a n}的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于3．
【考点】等比数列；定积分．
【分析】先计算定积分得到a4，因为等比数列的首项为，然后根据等比数列的通项公式列
出关于q的方程，求出即可．
【解答】解：由已知得：a4=∫14（1+2x）dx=x+x2|14=18．
又因为等比数列的首项为，设公比为q根据等比数列的通项公式a n=a1q n﹣1，
令n=4得：a4=×q3=18，解得q3==27，所以q=3．
故答案为3．
14．已知不等式＞2对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为[2，10）．【考点】函数恒成立问题．
【分析】将不等式＞2转化为（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0．分k=2和k≠2两种
情况讨论，对于后者利用一元二次不等式的性质可知，解不
等式组即可确定k的取值范围．
【解答】解：∵x2+x+2＞0，
∴不等式＞2可转化为：
kx2+kx+6＞2（x2+x+2）．
即（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0．
当k=2时，不等式恒成立．
当k≠2时，不等式（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0恒成立，
等价于，
解得2＜k＜10，
∴实数k的取值范围是[2，10），
故答案为：[2，10）．
15．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）等于18．
【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的值．
【分析】对函数f（=x）求导的导函数，利用导函数与极值的关系进行求解．
【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，∴或
当时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值；
当时，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）
∴x∈（，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴适合
∴f（2）=8+16﹣22+16=18．
故答案为18．
16．已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]的图象如，给出下列四个命题：
（1）方程f[g（x）]=0有且仅有6个根
（2）方程g[f（x）]=0有且仅有3个根
（3）方程f[f（x）]=0有且仅有5个根
（4）方程g[g（x）]=0有且仅有4个根
其中正确命题是（1）（3）（4）．
【考点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断．
【分析】把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．
【解答】解：∵在y为[﹣2，﹣1]时，g（x）有两个自变量满足，在y=0，y为[1，2]时，g（x）同样都是两个自变量满足
∴（1）正确
∵f（x）值域在[﹣1，2]上都是一一对应，而在值域[0，1]上都对应3个原像，
∴（2）错误
同理可知（3）（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知命题a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a ≤0，若命题“p”或“q”是假命题，求a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】对方程a2x2+ax﹣2=0进行因式分解是解决该题的关键，得出方程的根（用a表示出）．利用根在[﹣1，1]上，得出关于a的不等式，求出命题p为真的a的范围，利用x2+2ax+2a ≤0相应的二次方程的判别式等于0得出关于a的方程，求出a，再根据“p或q”是假命题得出a的范围．
【解答】解：由题意a≠0．
若p正确，a2x2+ax﹣2=（ax+2）（ax﹣1）=0的解为或…
若方程在[﹣1，1]上有解，只需满足||≤1或|﹣|≤1
∴a≥1或a≤﹣1…
即a∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）…
若q正确，即只有一个实数x满足x2+2ax+2a≤0，
则有△=4a2﹣8a=0，即a=0或2 …
若p或q是假命题，则p和q都是假命题，…
有
所以a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）…
18．已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．
（1）若=，求角α的值；
（2）若•=﹣1，求的值．
【考点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tanα的值，根据α的范围求得α．
（2）根据向量的基本运算根据求得sinα和cosα的关系式，然后同角和与差的
关系可得到，再由
可确定答案．
【解答】解：（1）∵，
∴化简得tanα=1
∵．
∴．
（2）∵，
∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=﹣1，
∴
∴，
∴．
19．数列{a n}满足a n
﹣a n=2，a1=2，等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a8．
+1
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质．
【分析】（I）由已知条件知数列{a n}为等差数列，由此能求出数列{a n}的通项公式；由等比数列{b n}满足b1=a1=2，b4=a8=16，利用等差数列和等比数列的通项公式能求出数列{b n}的通项公式．
（II）由题意知，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n．
﹣a n=2，a1=2，
【解答】解：（I）∵a n
+1
∴数列{a n}为等差数列，
∴a n=2+（n﹣1）2=2n，
∵等比数列{b n}满足b1=a1=2，b4=a8=16，
∴，
则．
（II）∵a n=2n，b n=2n，
∴，
则，
，
两式相减得，
整理得．
20．设函数f（x）=，其中=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期与单调减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2．
①求A；
②若b=1，△ABC的面积为，求的值．
【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算，表示出函数的解析式，第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，后两项提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，
（1）找出ω的值，代入周期公式T=中，即可求出函数的最小正周期，再由余弦函数
的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]列出关于x的不等式，求出不等式的解集可得出函数的递减区间；
（2）①由f（A）=2，将x=A代入得到cos（2A﹣）的值，由A为三角形的内角，得到
A的范围，进而确定出2A﹣的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
②由三角形的面积公式可求c，利用余弦定理可求a，利用正弦定理，比例的性质即可得解．
【解答】解：∵=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），
∴f（x）==2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+2（cos2x+sin2x）=1+2cos（2x﹣），
（1）∵ω=2，∴T==π，
令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
则函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；
（2）①∵f（A）=2，
∴1+2cos（2A﹣）=2，
∴cos（2A﹣）=，
∵A∈（0，π），
∴2A﹣∈（﹣，），
∴2A﹣=，
则A=．
②∵b=1，△ABC的面积为=bcsinA=，
∴c=2，
∴a===，
∴===2．
21．设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f'（0）=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y+1=0相互垂直”，则有f'（1）=2，从而求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0，因为还有
参数k，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△=4﹣4k＜0，函数g（x）在R上为增函数，（2）当△=4﹣4k=0，g（x）在R上为增函数（3）△=4﹣4k＞0，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b
又f（x）在x=0处取得极值，故f'（x）=0，
从而b=0，
由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2，即f'（1）=2，有2a=2，从而a=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
、
令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0
（1）当△=4﹣4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数
（2）当△=4﹣4k=0，即当k=1时，，K=1时，g（x）在
R上为增函数
（3）△=4﹣4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根
当是g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数
当时，g'（x）＜0，故g（x）在上为减函数
当时，g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数
22．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实数）．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值及相应的x值；
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x成立，即a（x﹣lnx）≥x2﹣2x，构造函数g
（x）=（x∈[1，e]），可将问题转化为一个函数成立问题，由此求出函数的最小值，
即可得到结论．
【解答】（Ⅰ）解：f（x）=alnx+x2的定义域为（0，+∞），
f′（x）=+2x=，
当x∈[1，e]时，2x2∈[2，2e2]，
若a≥﹣2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=﹣1时，f′（x）=0），
故f（x）在[1，e]上单调递增，此时f（x）min=f（1）=1；
若﹣2e2＜a＜﹣2，令f′（x）＜0，解得1≤x＜，此时f（x）单调递减；
令f′（x）＞0，解得＜x≤e，此时f（x）单调递增，
∴f（x）min=f（）=；
若a≤﹣2e2，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f′（x）=0），
故f（x）在[1，e]上单调递减，此时f（x）min=f（e）=a+e2，
综上所述，得a≥﹣2时，f（x）min=1，相应的x=1；
当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）min=，相应的x=；
当a≤﹣2e2时，f（x）min=a+e2，相应的x=e；
（Ⅱ）解：不等式f（x）≤（a+2）x可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，
因而a≥，x∈[1，e]，令g（x）=（x∈[1，e]），
则g′（x）=，
当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），∴g（x）在[1，e]上是增函数，
故g（x）min=g（1）=﹣1，
∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．
2016年12月9日。