2017-2018学年度高中数学人教A版必修四同步训练题库课下能力提升十七及解析

课下能力提升(十七) [学业水平达标练]
题组1 用基底表示向量
1.已知e 1,e 2是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中,不能作为一组基底的是( )
A.e 1,e 1＋e 2
B.e 1－2e 2,e 2－2e 1
C.e 1－2e 2,4e 2－2e 1
D.e 1＋e 2,e 1－e 2
A.23b ＋13c
B.53c －23b
C.23b －13c
D.13b ＋23
c 3.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,且AD ＝1
3BC ,E ,F 分别为线段AD 与BC 的中
点.
试以a ,b 为基底表示向量
题组2 向量的夹角问题
4.若向量a 与b 的夹角为60°,则向量－a 与－b 的夹角是( ) A.60° B.120° C.30° D.150°
5.已知非零向量a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＝0,向量a ,b 的夹角为120°,且|b |＝2|a |,则向量a 与c 的夹角为________.
题组3 平面向量基本定理的应用
7.设向量e 1与e 2不共线,若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2,则实数x ,y 的值分别为( )
A.0,0
B.1,1
C.3,0
D.3,4
8.在▱ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点.若,其中λ,μ∈
R ,则λ＋μ的值为________.
9.设e 1,e 2是平面内一组基向量,且a ＝e 1＋2e 2,b ＝－e 1＋e 2,则向量e 1＋e 2可以表示为以
a ,
b 为基向量的线性组合,即e 1＋e 2＝________.
10.设e 1,e 2是不共线的非零向量,且a ＝e 1－2e 2,b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ,b 可以作为一组基底;
(2)以a ,b 为基底,求向量c ＝3e 1－e 2的分解式; (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ,求λ,μ的值.
[能力提升综合练]
1.以下说法中正确的是( )
A.若a 与b 共线,则存在实数λ,使得a ＝λb
B.设e 1和e 2为一组基底,a ＝λ1e 1＋λ2e 2,若a ＝0,则λ1＝λ2＝0
C.λa 的长度为λ|a |
D.如果两个向量的方向恰好相反,则这两个向量是相反向量 2.A ,B ,O 是平面内不共线的三个定点,且,点P 关于点A 的对称点为Q ,
点Q 关于点B 的对称点为R ,则
等于( )
A.a －b
B.2(b －a )
C.2(a －b )
D.b －a
3.已知e 1,e 2不共线,且a ＝k e 1－e 2,b ＝e 2－e 1,若a ,b 不能作为基底,则k 等于________.
4.如图,在△ABC 中,AB ＝2,BC ＝3,∠ABC ＝60°,AH ⊥BC 于点H ,M 为AH 的中点.若
则λ＋μ＝________.
5.如图所示,在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,P 是以A 为圆心,AB 为半径的圆弧BD ︵
上的任意一点,设∠P AB ＝θ,向量
(λ,μ∈R ),若μ－λ＝1,则θ＝________.
6.如图所示,平行四边形ABCD 中,M 为DC 的中点,N 是BC 的中点,
(1)试以b ,d 为基底表示
;
(2)试以m,n为基底表示.
7.如图所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且,BN与CM相交于点E,设
＝a,＝b,试用基底a,b表示向量.
答案
[学业水平达标练]
1.解析：选C因为4e2－2e1＝－2(e1－2e2),从而e1－2e2与4e2－2e1共线.
2.
3.
4.解析：选A平移向量a,b使它们有公共起点O,如图所示,则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°.
5.解析：由题意可画出图形,如图所示.
在△OAB中,
因为∠OAB＝60°,|b|＝2|a|,
所以∠ABO＝30°,OA⊥OB,
即向量a 与c 的夹角为90°. 答案：90°
6.解：如图,以OA ,OB 所在射线为邻边,OC 为对角线作平行四边形ODCE ,
在Rt △OCD 中,
即λ＝4,μ＝2,∴λ＋μ＝6.
7.解析：选D ∵向量e 1与e 2不共线,
∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y －7，10－y ＝2x ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4. 8.
答案：43
9.解析：设e 1＋e 2＝m a ＋n b (m ,n ∈R ), ∵a ＝e 1＋2e 2,b ＝－e 1＋e 2, ∴e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2) ＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2. ∵e 1与e 2不共线,
∴⎩
⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，∴⎩⎨⎧
m ＝23
，
n ＝－13.
∴e 1＋e 2＝23a －1
3
b .
答案：23a －13
b
10.解：(1)证明：若a ,b 共线,则存在λ∈R ,使a ＝λb , 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2).
由e 1,e 2不共线,得⎩⎪⎨⎪
⎧λ＝1，3λ＝－2，⇒⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝1，
λ＝－23
.
∴λ不存在,故a 与b 不共线,可以作为一组基底. (2)设c ＝m a ＋n b (m 、n ∈R ),则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，
n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ,得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1. 故所求λ,μ的值分别为3和1.
[能力提升综合练]
1.解析：选B A 错,a ≠0,b ＝0时,λ不存在. C 错,λ＜0时不成立.
D 错,相反向量的模相等,故选B . 2.
3.解析：向量a ,b 不能作为基底,则向量a ,b 共线,可设a ＝λb ,则⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－λ，－1＝λ，则k ＝1.
答案：1
4.解析：因为AB ＝2,BC ＝3,∠ABC ＝60°,AH ⊥BC , 所以BH ＝1,BH ＝1
3BC .
因为点M 为AH 的中点,
即λ＝12,μ＝16,
所以λ＋μ＝23.
答案：23
5.
所以－λ＋μsin θ＝1,μsin θ＝1＋λ＝μ, 所以sin θ＝1,θ＝90°. 答案：90° 6.
7.
解得⎩
⎨⎧m ＝35，
n ＝4
5
，所以AE ―→＝25a ＋1
5b .。