人教版同步教参数学八年级下册-一次函数(二)：一次函数

一次函数
第 2 节 一次函数
【知识梳理】
1、一次函数的定义
一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数。

当b=0时，y kx b =+，即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

备注：
（1）由一次函数的定义可知：若函数为一次函数，则其解析式可化为y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的形式。

（2）一次函数解析式y kx b =+的结构特征：①0k ≠；②自变量x 的次数为1；③常数项b 可以为任意实数。

（3）一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数。

2、一次函数的图象及性质
直线(0)y kx b k =+≠平行于直线(0)y kx k =≠，当b>0时，把直线y kx =向上平移b 个单位长度得到直线y kx b =+；当b<0时，把直线y kx =向下平移b 个单位长度得到直线y kx b =+。

也就是说，一次函数y kx b =+的图象是经过点（0，b ）且平行于直线y kx =的一条直线。

一次函数(0)y kx b k =+≠的图象时经过（0，b ）和(,0)b k
-
两点的一条直线，因此一次函数(0)y kx b k =+≠的图象也称为y kx b =+。

一般地，一次函数(0)y kx b k =+≠具有如下性质：当k>0时，y 随x 的增大而增大；当k<0时，y 随x 的增大而减小。

备注：
（1）由函数图象的意义可知满足函数关系式(0)y kx b k =+≠的点（x ，y ）在直线y kx b =+ 上，反之，直线y kx b =+上的点的坐标（x ，y ）满足函数关系式y kx b =+。

（2）一次函数的增减性取决于k ，与y 轴交点取决于b ，一次函数所在象限取决于k ，b 。

（3）k 的大小决定直线的倾斜程度，k 越大，直线越陡，k 越小，直线越缓。

（4）几条直线互相平行时，k 的值相等，而b 的值不等。

（5）两条直线互相垂直时，k 值的积为-1。

3、一次函数所经过的象限与k ，b 之间的关系
直线(0)y kx b k =+≠的位置是由k 和b 的符号决定的，其中k 的值决定直线从左到右时上升趋势还是下降趋势，b 的值决定直线与y 轴交点的位置是在y 轴的正半轴、y 轴的负半轴，还是在原点。

k 与b 综合起来决定直线(0)y kx b k =+≠在平面直角坐标系中的位置，共有如下表所示的四种情况（正比例函数图象除外）。

4、一次函数解析式的确定
（1）待定系数法
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，
叫做待定系数法。

（2）一次函数解析式的确定
用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：
① 设出含有待定系数的函数解析式；
② 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式得到关于待定系数的方程（组）； ③ 解方程（组），求出待定系数；
④ 将求出的待定系数的值代回所设的函数解析式，即可得到所求的函数解析式。

【诊断自测】
1、函数34y x =-+，74y x =，21y x
=+，22y x =+中，一次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、下列说法正确的是（ ）
A.一次函数是正比例函数
B.一个函数不是一次函数就是正比例函数
C.正比例函数是一次函数
D.一个函数不是正比例函数就不是一次函数
3、若一次函数y kx b =+的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么对k 和b 的符号判断正确的是（ ）
A. 0,0k b >>
B. 0,0k b ><
C. 0,0k b <>
D. 0,0k b <<
4、某弹簧的自然长度为3cm ，在弹性限度内，所挂物体的质量x 每增加1kg ，弹簧的长度y 增加0.5cm ，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）
A. 0.53y x =+
B. 0.5y x =
C. 3y x =+
D. y x =
5、函数3(21)(5)n y m x
m +=-+-是一次函数的条件为（ ） A. 12m ≠且3n ≠- B. 12
m ≠且2n =- C. 2n =- D. 12
m ≠且5m ≠，2n =- 【考点突破】
类型一：判断函数是不是一次函数
例1、给出下列函数：①y x =；②4x y =；③4y x
=；④21y x =+，其中一次函数的个
数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
类型二：根据一次函数的定义求字母的值
例2、已知一次函数y=（m -1)x m +7,则m 的值为 （ ）。

Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．±１ Ｄ．２
类型三：一次函数的图象
例3、函数y=2x -1的图象大致位置是下图中的（ ）
A. B. C. D.
类型四：一次函数的性质
例4、下列函数中，y 随x 增大而减小的是 （ ）。

A.y=x -1
B. y=-2x+3
C. y=2x -1
D. y=2
1x+1
类型五：一次函数图象的平移
例5、把直线y=2x 向右平移一个单位长度后，其直线解析式为 （ ）。

A. y=2x -2
B. y=2x -1
C. y=2x+2
D. y=2x+1
类型六：根据图象确定k ，b 的符号
例6、一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，则下列正确的是 （ ）。

A. k ＜0,b ＞0
B. k ＞0，b ＜0
C. k ＞0，b ＞0
D. k ＜0，b ＜0
类型七：根据k ，b 的符号确定图象
例7、一次函数y=5x -3的图象不经过第（ ）。

A. 一象限
B. 二象限
C. 三象限
D. 四象限
类型八：用待定系数法确定一次函数的解析式
例8、已知y与x成正比例，且当x=1时，y=2，求当x=3时，y的值。

例9、如下图所示，在直角坐标系中，已知矩形0ABC的两个顶点坐标A（3,0），B（3,2），对角线AC所在直线为L,求直线L对应的函数解析式。

类型九：一次函数的综合应用
例10、某校为了实施“大课间”活动，计划购买篮球、排球共60个，跳绳120根。

已知一个篮球70元，一个排球50元，一根跳神10元。

设购买篮球x个，购买蓝旗、排球和跳绳的总费用为y元。

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若购买上述体育用品的总费用为4700元，则篮球、排球各买多少个？
=+的图象经过A（2，4）和B（0,2）两点，且与x 例11、如下图所示，一次函数y kx b
轴相交于C点，连接AO。

（1）求此一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积。

【易错精选】
1、某一次函数的图象经过点（1,2），且y 随x 的增大而减小，则这个函数的表达式可能是 （ ）。

A. 24y x =+
B. 31y x =-
C. 31y x =-+
D. 24y x =-+
2、点P 1(x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2）是一次函数y=-4x+3的图象上的两个点，且x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是（ ）。

A.y 1＞y 2
B. y 1＞y 2＞0
C. y 1＜y 2
D. y 1=y 2
3、一个弹簧不挂物体时长6cm ，挂上重物后，所挂物体质量每增加1kg ，弹簧就伸长0.25cm ，但质量不得超过10kg ，则弹簧总长y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式是______________。

4、当m 满足___________时，函数(1)26y m x m =-+-表示一次函数且不是正比例函数。

5、已知一次函数(3)218y k x k =--+。

（1）k 为何值时，它是正比例函数？
（2）k 为何值时，它是一次函数？
【精华提炼】
1、判断函数是不是一次函数，必须同时满足两个条件：（1）k 的值不能为0；（2）x 的次数必须是1。

在满足这两个条件后，当b≠0时，是一次函数，不是正比例函数；当b=0时，既是一次函数，也是正比例函数。

2、因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，一般选取两个特殊点：直线与y 轴
的交点（0,b ），直线与x 轴的交点(,0)b k
-，但也不必一定选取这两个特殊点，例如：画112
y x =--的图象，选取（0，-1）和（2，-2）这两点也可以。

3、k ，b 的符号决定直线(0)y kx b k =+≠的位置；反过来，由直线(0)y kx b k =+≠的位置可确定k ，b 的符号。

4、在实际问题中，当自变量的取值范围收到一定的限制时，函数y kx b =+的图象就不再是一条直线。

要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等。

【本节训练】
训练【1】一次函数24y x =-的图象是由正比例函数2y x =的图象 （ ）。

A. 向左平移4个单位长度得到
B. 向右平移4个单位长度得到
C. 向上平移4个单位长度得到
D. 向下平移4个单位长度得到 训练【2】经过A （0,3）和B （2,0）的直线AB 对应的函数表达式是 （ ）。

A. 332y x =-+ B. 332y x =+ C. 233y x =-+ D. 233
y x =+
训练【3】已知一次函数23y x =-，36y x =-+，27y x =-+，2)y x =+，
(3)2y x π=-+，其中y 随x 的增大而增大的有（ ）。

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
训练【4】对于函数(3)3y k x k =-++（k 为常数），当k________时，它是正比例函数；
当k________时，它是一次函数。

训练【5】若一次函数y kx b =+，当x 的值减少1，y 的值就减少2，则k=_______。

训练【6】已知梯形的高是10，下底长比上底长多4，如果设上底长x ，则梯形面积y 与x
的函数关系式是___________，其中自变量x 的取值范围是_____________。

基础巩固
1、一次函数23y x =-+的图象不经过的象限是（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2、若直线y kx b =+与直线22016y x =+平行，且与y 轴交于点M （0,4），则其函数关系式是（ ）
A. 24y x =--
B. 24y x =+
C. 24y x =-+
D. 24y x =-
3、已知直线l 经过点A （1,0），且与直线y=x 垂直，则直线l 的解析式为（ ）
A. 1y x =-+
B. 1y x =--
C. 1y x =+
D. 1y x =-
4、若一次函数y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A. 0ab >
B. 0a b ->
C. 2
0a b +> D. 0a b +>
5、若实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则函数y ax c =+的图象可能是 （ ）。

A. B. C. D.
6、一次函数26y x =-的图象与x 轴交于点_______,与y 轴交于点_______。

7、当m 满足_____时，一次函数(2)6y m x =-+中，y 随x 的增大而增大。

8、将正比例函数3y x =的图象向上平移2个单位后，得到的图象解析式是_______。

9、若一次函数46y x m =+-的图象经过第一，三，四象限，则m 的取值范围是_____。

10、一辆汽车在行驶过程中，路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系如图所示，当01x ≤≤时，y 关于x 的函数解析式为60y x =；那么当12x ≤≤时，y 关于x 的函数解析式为___________。

11、已知一次函数36y x =+
（1）在直角坐标系中画出它的图象；
（2）写出它与两坐标轴的交点坐标；
（2）求出这条直线与坐标轴围成的三角形面积。

巅峰突破
1、已知直线26y x =-+上点A 的横坐标为2，直线y kx b =+经过点A 且与x 轴相交于点
1(,0)2
B ，求直线AB 的解析式。

2、将一次函数1y kx =-的图象向上平移k 个单位后恰好经过点(3,2)A k +。

（1）求k 的值；
（2）若一条直线与函数1y kx =-的图象平行，且与两个坐标轴所围成的三角形的面积为
12
，求该直线的函数关系式。

3、有一辆汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是60千米/时。

（1）求汽车离天津的路程s （千米）与行驶时间t （时）的函数解析式，并写出自变量的取
值范围；
（2）判断s 是t 的什么函数；
（3）汽车行驶多长时间后距离天津30千米？
4、已知一次函数y kx b =+中自变量x 的取值范围是38x -≤≤，相应函数值的取值范围是119y -≤≤，求此函数关系式。

5、如下图所示，直线1L ：y=kx+4与两坐标轴交于A,B 两点，且A 点的坐标为（2,0）。

（1）求k 的值；
（2）求直线1L 关于y 轴对称的直线2L 的解析式；
（3）直线2L 上是否存在点P ，使△POA 的面积为3？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，
请说明理由。

参考答案
【诊断自测】
1、答案：B
解析：由题意知，34y x =-+和74y x =
是一次函数，故选B 。

2、答案：C
解析：正比例函数是特殊的一次函数。

3、答案：D
解析：∵一次函数y kx b =+的函数值y 随x 的增大而减小，∴0k < 又∵图象与y 轴的负半轴相交，∴0b <。

故选D 。

4、答案：A
解析：∵所挂物体的质量x 每增加1kg ，弹簧的长度y 增加0.5cm ，∴k=0.5. 又∵弹簧的自然长度为3cm ，∴0.53y x =+，故选A
5、答案：B
解析：∵函数3(21)(5)n y m x m +=-+-是一次函数，
∴21031m n -≠⎧⎨+=⎩，故122
m n ⎧≠⎪⎨⎪=-⎩，选B 。

【易错精选】
1、答案：D
解析：设一次函数的关系式为y=kx+b ，∵图象经过点（1,2），∴k+b=2，∵y 随x 增大而减小，∴k ＜0，即k 取负数且满足k+b=2的k ，b 的取值都可以。

故选D 。

2、答案：A
解析：根据一次函数y=kx+b （k≠0，k ，b 为常数），当k ＜0时，y 随x 的增大而减小解答即可。

根据题意，k=-4＜0，y 随x 的增大而减小，因为x 1＜x 2，所以y 1＞y 2。

故选A 。

3、答案：0.256(10)y x x =+≤
解析：∵所挂物体质量每增加1kg ，弹簧就伸长0.25cm ，∴k=0.25 又∵弹簧不挂物体时长6cm ，∴0.256y x =+，且10x ≤
4、答案：13m m ≠≠且
解析：∵函数(1)26y m x m =-+-表示一次函数且不是正比例函数，∴10260
m m -≠⎧⎨
-≠⎩ ∴13m m ≠≠且
5、答案：（1）9k =；（2）3k ≠ 解析：（1）由题意得302180k k -≠⎧⎨-+=⎩
，解得9k = （2）由题意得30k -≠，解得3k ≠
【本节训练】
训练【1】答案：D
解析：在一次函数y=kx+b 上：上加下减，左加右减。

向下平移四个单位。

训练【2】答案：A
解析：设直线AB 对应的函数表达式是y=kx+b ，把A （0，3），B （2，0）代入， 得⎩
⎨⎧+==b k 20b 3，
故直线AB 对应的函数表达式是y=-
x 2
3+3。

故选A 。

训练【3】答案：A
解析：一次函数y=kx+b （k≠0）的性质：当k ＞时，y 的值随x 的增大而增大，当
k ＜0时，y 的值随x 的增大而减小.
∵k=2＞0，∴一次函数y ＝2x －3的y 随x 的增大而增大，
∵k=-3＜0，k=-2x ＜0，k=2-2＜0，k=3-π＜0，
∴一次函数y ＝－3x ＋6，y=-2x+7，y=（2-2）x+2，y ＝（3－π）x ＋2
的y 随x 的增大而减小.
故选A.
训练【4】答案：3k =-；3k ≠
解析：当函数为正比例函数时，30k +=，解得 3k =-；
当函数为一次函数时，30k -≠，解得3k ≠。

训练【5】答案：2
解析：∵当x 的值减少1，y 的值就减少2，∴2(1)y k x b kx k b -=-+=-+， ∴2y kx k b =-++。

∴2kx b kx k b +=-++，∴2k =
训练【6】答案：1020y x =+；0x >
解析：由题意得1(4)105(24)10202
y x x x x =++⨯⨯=+=+，其中0x > 基础巩固
1、答案：C
解析：由题意得，20k =-<，30b =>，所以函数经过第一、二、四象限。

故选C.
2、答案：B
解析：∵直线y kx b =+与直线22016y x =+平行，∴2k =；
又∵图象与y 轴交于点M （0,4），∴4b =。

∴函数解析式为24y x =+，故选B 。

3、答案：A
解析：∵直线l 与直线y=x 垂直，∴k=-1。

故设直线解析式为y x b =-+
又∵直线l 经过点A （1,0），∴01b =-+，1b =。

∴直线l 的解析式为1y x =-+
4、答案：C
解析：∵一次函数y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，
∴0,0a b <>，
∴0ab <，故A 错误，0a b -<，故B 错误，2
0a b +>，故C 正确， a b +不一定大于0，故D 错误．故选C
5、答案：A
解析：∵0a b c ++=，且a b c <<，
∴a ＜0，c ＞0，（b 的正负情况不能确定），
0a <，则函数y ax c =+图象经过第二四象限，
0c >，则函数y ax c =+的图象与y 轴正半轴相交，
纵观各选项，只有A 选项符合．
故选A ．
6、答案：（3,0），（0，-6）。

解析：（1）一次函数26y x =-的图象与x 轴的交点,则026x =-，得3x =
（2）与y 轴的交点,则066y =-=-
∴一次函数26y x =-的图象与x 轴交于点（3,0）,与y 轴交于点（0,-6）。

7、答案：m ＞2
解析：∵y 随x 的增大而增大，∴x 前面的系数大于0，
∴20m ->，∴2m >
8、答案：32y x =+
解析：由“上加下减”的原则可知，将函数3y x =的图象向上平移2个单位所得函数
的解析式为32y x =+。

9、答案：6m <
解析：∵一次函数46y x m =+-的图象经过第一，三，四象限
∴60m -<，∴6m <
10、答案：10040y x =-
解析：由图象可知在01x ≤≤时，y 和x 为正比例函数，然后求出横坐标是1时的纵坐
标，然后设当12x ≤≤时，y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．
解：∵当时01x ≤≤，y 关于x 的函数解析式为60y x =，
∴当1x =时，60y =．
又∵当2x =时，160y =，
当12x ≤≤时，
将（1，60），（2，160）分别代入解析式y kx b =+
得602160k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：10040
k b =⎧⎨=-⎩ ∴y 关于x 的函数解析式10040y x =-
11、答案：（1）图象如下图所示：
（2）直线与x 轴的交点坐标为（-2，0），与y 轴的交点坐标为（0，6）。

（3）直线与坐标轴围成的三角形的面积12662=
⨯⨯=。

解析：令0x =，则6y =，
令0y =，则360x +=，解得2x =-，
所以，直线与x 轴的交点坐标为（-2，0），与y 轴的交点坐标为（0，6）。

得知三角形底为2，高为6，故三角形面积12662
S =⨯⨯=。

巅峰突破
1、答案：4233
y x =
- 解析：∵直线26y x =-+上点A 的横坐标为2， ∴将2x =代入26y x =-+中得2262y =-⨯+=，∴(2,2)A
又∵直线y kx b =+经过点A 且与x 轴相交于点1
(,0)2
B ， ∴22102k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：4323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，∴直线AB 的解析式为4233y x =- 2、答案：（1）1k =；（2）
解析：（1）将一次函数1y kx =-的图象向上平移k 个单位后得到直线1y kx k =-+ ∵1y kx k =-+过点(3,2)A k +，∴231k k k +=-+，解得1k =
（2）∵直线与函数1y x =-的图象平行，∴设该直线解析式为y x m =+ 该直线与坐标轴交于点(0,),(,0)m m -，∴21122
S m =
=，解得1m =± ∴该直线解析式为1y x =+
3、答案：（1）60120s t =-+，02t ≤≤；（2）s 是t 的一次函数；（3）1.5小时后。

解析：（1）由题意得：1206060120s t t =-=-+，02t ≤≤
（2）s 是t 的一次函数
（3）由题意得3060120t =-+，解得 1.5t =
4、解析：当0k >时，由-3≤x≤8得-3k+b≤kx+b≤8k+b ，即-3k+b≤y≤8k+b 。

∵-11≤y≤9，∴⎩⎨⎧=+=+。

，9b 8k -11b 3k - 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==。

，1161b 1120k ∴此函数关系式为20611111
y x =-。

当0k <时，由-3≤x≤8得8k+b≤kx+b≤-3k+b ，即8k+b≤y≤-3k+b 。

∵-11≤y≤9，∴⎩⎨⎧=+=+，，9b k 3-11-b k 8 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=，，1139b 1120k ∴此函数关系式为2039-
+1111
y x =。

综上可知函数关系式为20611111y x =-或2039-+1111y x =。

5、答案：（1）∵y1=kx+4与两坐标轴交于A 、B 两点，且A 点的坐标为（2，0），
∴0=2k+4，解得：k=-2；
（2）∵直线L1关于y轴对称的直线L2的解析式，∴A点关于y轴对称点为：（-2，0）。

∴设
24
y ax
=+，则0=-2a+4。

解得：a=2。

∴直线L2的解析式为：
224
y x
=+
（3）∵△POA的面积为3，
224
y x
=+与x轴交于点A′（-2，0），直线
1
l与x轴的交点为A（2，0）。

∴P到x轴距离为3，
解析：（1）将A点的坐标（2，0）代入y=kx+4求出k的值即可；
（2）利用A点关于y轴堆成的为（-2,0），设2
L：y=ax+4，进而代入求出a值即可；
（3）利用三角形的面积公式以及图象与x轴交点坐标得出AO的长，进而利用P点纵坐标为±3求出即可。