【走向高考】高考数学总复习 2-1函数及其表示 课件 北师大版
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1．知识点的考查情况 (1)函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算； (2)定义域、值域、解析式是考查的重点，而且较稳定，有 时结合其他知识点 (以本单元内容为背景 )， 分段函数较多、 花样 翻新； (3)函数单调性在历年考试中久考不衰， 且比例有上升趋势， 和导数联系较多；
(4)函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数 等综合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多； (5)反函数出现在选择、填空中，考反函数概念运算可能性 较大，若出现在解答题中，则必定与单调性、奇偶性、不等式、 导数等知识综合，难度较大；
知识梳理 1．函数的基本概念 (1)函数定义 设 A，B 是非空的 数集 ，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 任何 一个数 x，在集合 B 中都有 唯一
确定 的数 f(x)和它对应，那么就称 f： A→ B 为从集合 A 到集
合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A
(2)函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)， x∈ A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 函数值的集合{f(x)| x∈ A}叫做函数的 值域． 显然，值域是集 合 B 的子集．
(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则． (4)相等函数：如果两个函数的 定义域 和 对应法则 完全 一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的表示法 表示函数的常用方法有： 解析法 、 图像法 、列表法． 3．映射的概念 两个集合 A 与 B 间存在着对应关系 f，而且对于 A 中的每 一个元素 x，B 中总有 唯一 的一个元素 y 与它对应， 就称这 种对应为从 A 到 B 的 映射 ，记作 f： A→ B.
(6)由于分段函数自身所具有的特殊性，比其他函数形式具 有更重要的功能，更能全面地考查学生的素质和能力，所以在 2013 年高考试题中，分段函数应该是函数命题的热点内容，一 般会以选择题和填空题的形式进行考查， 如果出现在解答题中， 会和方程、不等式的知识联系起来，综合考查各种能力．
2．常考题型及分值情况 函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有考题，所占 分值在 20 分以上，占全卷的 15%以上，在高考中占有重要地 位．
3．求函数解析式根据实际问题建立函数关系，或根据题中 所给条件利用待定系数法解题，或对于 f[g(x)]＝ h(x)求 f(x)的问 题可以用换元法解题，或若式中含有
1 f(－ x)， f 等，常根据已 x
知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求解．
4．利用函数的基本性质解题时要充分挖掘函数的单调性、 周期性、奇偶性、对称性等，但要注意函数的基本性质只能在 函数的定义域内讨论． 5．在研究函数的性质时要注意结合图像，在解方程和不等 式时，有时利用数形结合能得到十分快捷的效果．研究函数与 方程的问题时，尤其要用好图像．恒成立问题，区间解问题都 可得到较好的解决．
基 础 自 测
－ x， x≤ 0 1.(2011· 浙江理，1)设函数 f(x)＝ 2 x ， x>0
，若 f(α)＝ 4，
则实数 α＝(
) B. － 4 或 2 D．－ 2 或 2
A. － 4 或－2 C．－ 2 或 4
[答案] B
[解析] 本题主要考查分段函数求函数值等基础知识． 当 α≤ 0 时， f(α)＝－ α＝ 4，∴ α＝－ 4； 当 α>0 时，f(α)＝ α2＝ 4，∴ α＝2. 综之： α＝－4 或 2，选 B.
3． (教材改编题)下列是映射的是 (
)
A． (1)(2)(3) C． (1)(3)(5)
B． (1)(2)(5) D． (1)(2)(3)(5)
[答案] A
[解析] (4)中元素 c 没有象与之对应； (5)中元素 a 有两个 象与之对应；(1)(2)(3)都是映射．
4 ． (文 )下列函数中与函数 y＝ x(x≥ 0)是同一个函数的是 ( ) A． y＝ ( x)2 C． y＝ x3 3 x2 B ． y＝ x D． y＝ x2
第 一 节
函数及其表示
考纲解读 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值 域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如 图像法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
考向预测 1．函数概念及其定义域、解析式、函数值、分段函数的考 查是热点． 2．多以小题的形式出现，属低、中档题，常与几个基本初 等函数的图像、性质综合命题．
1．函数的基本概念在应用时要把重点放在它的三要素上， 复习函数的定义域除了要注意使解析式有意义的自变量的取值 范围外，还要根据题中的实际意义来确定它的取值范围． 2．求值域时要熟悉几种基本的解题方法，通常化归为求函 数的最值问题，要注意利用均值不等式、二次函数及函数的单 调性在确定函数最值中的作用，还要注意对应法则，特别是定 义域的制约作用．
[答案] A
[解析] 当两个函数的解数．同时满足这两个条件的只有 A，B 中 x≠ 0， C 中 x∈ R， D 中 x∈ R.
4．映射与函数的关系 由映射的定义可以看出，映射是 函数 概念的推广，函数 是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合 A，B 必须是
非空数集．
5．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应法则 不同而 分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段 函数虽由几个部分组成，但它表示的是 一个 函数 .
2．已知函数 A． 4 C．－4
log3x x>0 f(x)＝ x x≤ 0 2
1 ，则 f(f( ))＝ ( 9
)
1 B. 4 1 D．－ 4
[答案] B
[解析 ] 本题主要考查基本初等函数中的对数函数和指数 函数及分段函数知识． 1 1 1 1 －2 ∵ f( )＝ log3 ＝－ 2<0，∴f(f( ))＝ f(－ 2)＝ 2 ＝ . 9 9 9 4
(4)函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数 等综合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多； (5)反函数出现在选择、填空中，考反函数概念运算可能性 较大，若出现在解答题中，则必定与单调性、奇偶性、不等式、 导数等知识综合，难度较大；
知识梳理 1．函数的基本概念 (1)函数定义 设 A，B 是非空的 数集 ，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 任何 一个数 x，在集合 B 中都有 唯一
确定 的数 f(x)和它对应，那么就称 f： A→ B 为从集合 A 到集
合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A
(2)函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)， x∈ A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 函数值的集合{f(x)| x∈ A}叫做函数的 值域． 显然，值域是集 合 B 的子集．
(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则． (4)相等函数：如果两个函数的 定义域 和 对应法则 完全 一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的表示法 表示函数的常用方法有： 解析法 、 图像法 、列表法． 3．映射的概念 两个集合 A 与 B 间存在着对应关系 f，而且对于 A 中的每 一个元素 x，B 中总有 唯一 的一个元素 y 与它对应， 就称这 种对应为从 A 到 B 的 映射 ，记作 f： A→ B.
(6)由于分段函数自身所具有的特殊性，比其他函数形式具 有更重要的功能，更能全面地考查学生的素质和能力，所以在 2013 年高考试题中，分段函数应该是函数命题的热点内容，一 般会以选择题和填空题的形式进行考查， 如果出现在解答题中， 会和方程、不等式的知识联系起来，综合考查各种能力．
2．常考题型及分值情况 函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有考题，所占 分值在 20 分以上，占全卷的 15%以上，在高考中占有重要地 位．
3．求函数解析式根据实际问题建立函数关系，或根据题中 所给条件利用待定系数法解题，或对于 f[g(x)]＝ h(x)求 f(x)的问 题可以用换元法解题，或若式中含有
1 f(－ x)， f 等，常根据已 x
知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求解．
4．利用函数的基本性质解题时要充分挖掘函数的单调性、 周期性、奇偶性、对称性等，但要注意函数的基本性质只能在 函数的定义域内讨论． 5．在研究函数的性质时要注意结合图像，在解方程和不等 式时，有时利用数形结合能得到十分快捷的效果．研究函数与 方程的问题时，尤其要用好图像．恒成立问题，区间解问题都 可得到较好的解决．
基 础 自 测
－ x， x≤ 0 1.(2011· 浙江理，1)设函数 f(x)＝ 2 x ， x>0
，若 f(α)＝ 4，
则实数 α＝(
) B. － 4 或 2 D．－ 2 或 2
A. － 4 或－2 C．－ 2 或 4
[答案] B
[解析] 本题主要考查分段函数求函数值等基础知识． 当 α≤ 0 时， f(α)＝－ α＝ 4，∴ α＝－ 4； 当 α>0 时，f(α)＝ α2＝ 4，∴ α＝2. 综之： α＝－4 或 2，选 B.
3． (教材改编题)下列是映射的是 (
)
A． (1)(2)(3) C． (1)(3)(5)
B． (1)(2)(5) D． (1)(2)(3)(5)
[答案] A
[解析] (4)中元素 c 没有象与之对应； (5)中元素 a 有两个 象与之对应；(1)(2)(3)都是映射．
4 ． (文 )下列函数中与函数 y＝ x(x≥ 0)是同一个函数的是 ( ) A． y＝ ( x)2 C． y＝ x3 3 x2 B ． y＝ x D． y＝ x2
第 一 节
函数及其表示
考纲解读 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值 域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如 图像法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
考向预测 1．函数概念及其定义域、解析式、函数值、分段函数的考 查是热点． 2．多以小题的形式出现，属低、中档题，常与几个基本初 等函数的图像、性质综合命题．
1．函数的基本概念在应用时要把重点放在它的三要素上， 复习函数的定义域除了要注意使解析式有意义的自变量的取值 范围外，还要根据题中的实际意义来确定它的取值范围． 2．求值域时要熟悉几种基本的解题方法，通常化归为求函 数的最值问题，要注意利用均值不等式、二次函数及函数的单 调性在确定函数最值中的作用，还要注意对应法则，特别是定 义域的制约作用．
[答案] A
[解析] 当两个函数的解数．同时满足这两个条件的只有 A，B 中 x≠ 0， C 中 x∈ R， D 中 x∈ R.
4．映射与函数的关系 由映射的定义可以看出，映射是 函数 概念的推广，函数 是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合 A，B 必须是
非空数集．
5．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应法则 不同而 分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段 函数虽由几个部分组成，但它表示的是 一个 函数 .
2．已知函数 A． 4 C．－4
log3x x>0 f(x)＝ x x≤ 0 2
1 ，则 f(f( ))＝ ( 9
)
1 B. 4 1 D．－ 4
[答案] B
[解析 ] 本题主要考查基本初等函数中的对数函数和指数 函数及分段函数知识． 1 1 1 1 －2 ∵ f( )＝ log3 ＝－ 2<0，∴f(f( ))＝ f(－ 2)＝ 2 ＝ . 9 9 9 4