2线性相关性的结论、极大线性无关组-文档资料
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两式相减，得.
0 ( k l ) ( k l ) ( k l ) , 1 1 1 2 2 2 m m m
线性无关. , , , 1 2 m
( k l ) ( k l ) ( k l ) 0 , 1 1 2 2 m1 22 m m
可 由 , , , 唯 一 线 性 表 示 . 1 2 m
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
, , , 线性表示，则 推论1 若向量 可由 1 2 m , , , 表示式唯一的充要条件是 线性无关. 1 2 m
证明： （反证法） （必要性）
线性相关. 假 设 , , , 1 2 m 则存在不全为零的数
k k 0 .( 1 ) 使k 1 1 2 2 m m
k ,k , ,k 1 2 m
, , , 线性表示. 向量 可由 1 2 m
有 l l l , ( 2 ) 1 1 2 2 m m
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
( 1 ) ( 2 )
一、线性相关性的结论 二、极大线性无关组
三、向量组的线性表示与等价
一、线性相关性的结论
, , , 线性无关，而向量组 定理1 若向量组 1 2 m
, , , , 线性相关，则 1 2 m
12
可由向量组
, , , 唯一线性表示. 1 2 m
证明：
m
则 秩 ( , ,, ) = m ; , ,, 线 性 无 关 ，
这与已知相矛盾！ 所以假设不成立.
线性无关. , , , 1 2 m
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
推论2
设有向量 与向量组
( , , , , ) R ( , , , ) m 1) 当R 时， 1 2 m 1 2 m
, , , ，则 1 2 m
向量 可由 1, 2, 3 唯一线性表示.
2 . 0 , R (, ,3 ,) R (, ,3 )1 3 ; 12 12
向量 可由 1, 2, 3 线性表示，但不唯一.
3 . 3 , R (, ,3 ,)3 R (, ,3 )2 . 12 12
( k l ) ( k l ) ( k l ) 1 1 1 2 2 2 m m m
又 k , k , , k 是不全为零的数 . 1 2 m
不 妨 令 k 0 ,于 是 有 kl + l , 1 1 1 1
则 由 , , , 线 性 表 示 不 唯 一 ， 1 2 m
又 ,2 , ,m , 线性相关， 1
12
m
则 秩 ( ,,, , ) < m 1 ; 1 2 m
于是有 m = 秩 ( , , , ) 秩 ( , , , , ) < m 1 ; 1 2 m 1 2 m
秩 ( , , , , ) = m 秩 ( , , ,; ) 1 2 m 1 2 m
T ( 0 , , 2) , 问当 取何值时，
i)向量 可由 1, 2, 3 唯一线性表示. ii)向量 可由 1, 2, 3 线性表示，但不唯一. iii)向量 不可由 1, 2, 3 线性表示.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
解：
1 1 1 0 因为 ( 1 1 ,2 ,3 , ) 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 r r 1 3 1 1 1 1 1 1 0
2 11 1 2 0 2 2 3 0 2 r r 1 ) 2 1( r r 1 ) 3 1(
, , , 唯一线性表示. 向量 可由 1 2 m
( , , , , ) R ( , , , ) m 2) 当 R 时， 1 2 m 1 2 m
, , , 1 2 m线性表示.
, , , 线性表示但不唯一. 向量 可由 1 2 m
向量 不可由 1, 2, 3 线性表示.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
, , , 线性表示. 向量 可由 1 2 m
（再证唯一性） 假设有两个不同的线性表示，即
k k k , 1 1 2 2 mm l l l , 1 1 2 2 mm
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
2 11 1 r r 2 3 2 0 2 00 ( 3 ) ( 1 2 )
所以
1 . 1 a n d 3 , R (, ,3 ,) R (, ,3 ) 3 , 12 12
3) 当
R ( , , ,, )( R , , ,) 时， 1 2 m 1 2 m
向量 不能由
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
T T T ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 ) , 例 1. 设 1 2 3
0 ( k l ) ( k l ) ( k l ) , 1 1 1 2 2 2 m m m
线性无关. , , , 1 2 m
( k l ) ( k l ) ( k l ) 0 , 1 1 2 2 m1 22 m m
可 由 , , , 唯 一 线 性 表 示 . 1 2 m
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
, , , 线性表示，则 推论1 若向量 可由 1 2 m , , , 表示式唯一的充要条件是 线性无关. 1 2 m
证明： （反证法） （必要性）
线性相关. 假 设 , , , 1 2 m 则存在不全为零的数
k k 0 .( 1 ) 使k 1 1 2 2 m m
k ,k , ,k 1 2 m
, , , 线性表示. 向量 可由 1 2 m
有 l l l , ( 2 ) 1 1 2 2 m m
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
( 1 ) ( 2 )
一、线性相关性的结论 二、极大线性无关组
三、向量组的线性表示与等价
一、线性相关性的结论
, , , 线性无关，而向量组 定理1 若向量组 1 2 m
, , , , 线性相关，则 1 2 m
12
可由向量组
, , , 唯一线性表示. 1 2 m
证明：
m
则 秩 ( , ,, ) = m ; , ,, 线 性 无 关 ，
这与已知相矛盾！ 所以假设不成立.
线性无关. , , , 1 2 m
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
推论2
设有向量 与向量组
( , , , , ) R ( , , , ) m 1) 当R 时， 1 2 m 1 2 m
, , , ，则 1 2 m
向量 可由 1, 2, 3 唯一线性表示.
2 . 0 , R (, ,3 ,) R (, ,3 )1 3 ; 12 12
向量 可由 1, 2, 3 线性表示，但不唯一.
3 . 3 , R (, ,3 ,)3 R (, ,3 )2 . 12 12
( k l ) ( k l ) ( k l ) 1 1 1 2 2 2 m m m
又 k , k , , k 是不全为零的数 . 1 2 m
不 妨 令 k 0 ,于 是 有 kl + l , 1 1 1 1
则 由 , , , 线 性 表 示 不 唯 一 ， 1 2 m
又 ,2 , ,m , 线性相关， 1
12
m
则 秩 ( ,,, , ) < m 1 ; 1 2 m
于是有 m = 秩 ( , , , ) 秩 ( , , , , ) < m 1 ; 1 2 m 1 2 m
秩 ( , , , , ) = m 秩 ( , , ,; ) 1 2 m 1 2 m
T ( 0 , , 2) , 问当 取何值时，
i)向量 可由 1, 2, 3 唯一线性表示. ii)向量 可由 1, 2, 3 线性表示，但不唯一. iii)向量 不可由 1, 2, 3 线性表示.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
解：
1 1 1 0 因为 ( 1 1 ,2 ,3 , ) 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 r r 1 3 1 1 1 1 1 1 0
2 11 1 2 0 2 2 3 0 2 r r 1 ) 2 1( r r 1 ) 3 1(
, , , 唯一线性表示. 向量 可由 1 2 m
( , , , , ) R ( , , , ) m 2) 当 R 时， 1 2 m 1 2 m
, , , 1 2 m线性表示.
, , , 线性表示但不唯一. 向量 可由 1 2 m
向量 不可由 1, 2, 3 线性表示.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
, , , 线性表示. 向量 可由 1 2 m
（再证唯一性） 假设有两个不同的线性表示，即
k k k , 1 1 2 2 mm l l l , 1 1 2 2 mm
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
2 11 1 r r 2 3 2 0 2 00 ( 3 ) ( 1 2 )
所以
1 . 1 a n d 3 , R (, ,3 ,) R (, ,3 ) 3 , 12 12
3) 当
R ( , , ,, )( R , , ,) 时， 1 2 m 1 2 m
向量 不能由
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
T T T ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 ) , 例 1. 设 1 2 3