2019-2020学年浙江省杭州市上城区八年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年浙江省杭州市上城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.
1．已知两条线段a＝2cm，b＝3.5cm，下列能和a、b构成三角形的是（）A．5.5cm B．3.5cm C．1.3cm D．1.5cm
2．下列图形为轴对称图形的为（）
A．B．
C．D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝10，则CD的长为（）
A．5B．6C．8D．10
4．表示实数a与1的和不大于10的不等式是（）
A．a+1＞10B．a+1≥10C．a+1＜10D．a+1≤10
5．已知△ABC为直角坐标系中任意的一个三角形，现将△ABC的各顶点横坐标乘以﹣1，得到△A1B1C1，则它与△ABC的位置关系是（）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称
6．一次函数y＝﹣2x﹣1的图象大致是（）
A．B．
C．D．
7．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（）
A．4人B．5人C．6人D．5人或6人8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC ＝4，AC＝8，则S△PBC为（）
A．3B．3.3C．4D．4.5
9．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（）A．5＜m＜6B．5＜m≤6C．5≤m≤6D．6＜m≤7 10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，则AO的长度为（）
A．10B．9C．D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．已知一次函数y＝﹣2x+3，当y＝﹣1时，x＝．
12．命题“如果a+b＞0，则a＞0，b＞0”的逆命题是．
13．已知等腰三角形的一个外角的度数为108°，则顶角的度数为．
14．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A、B，其中A的位置可以表示成
（60°，6），那么B可以表示为，A与B的距离为．
15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝30°，把△ADC沿着直线AD翻折，点C落在点E的位置，如果BC＝2，那么线段BE的长度为．
16．已知△ABC是边长为6的等边三角形，过点B作AC的垂线l，垂足为D，点P为直线l上的点，作点A关于CP的对称点Q，当△ABQ是等腰三角形时，PD的长度为．三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答题要有文字说明、证明或演算过程）17．解不等式（组）：
（1）2（x+1）﹣1＞x；
（2）．
18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，4），B（1，1），（3，2）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，并判断三角形的形状（不写理由）；
（2）平移△ABC，使点A与点O重合，写出点B、点C平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．
19．在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②AE＝AD；③OB＝OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情况，写出证明过程．
20．已知3m+n＝1，且m≥n，
（1）求m的取值范围．
（2）设y＝3m+4n，求y的最大值．
21．大伟老师购买了一辆轿车，加满油后，经过一段时间的试驾，得到了一组行驶里程与剩余油量的数据，行驶里程x（km）和剩余油量y（L）的部分关系如表：
x100200300350400
y43362925.522（1）求y与x的关系式；
（2）大伟老师到4158公里外的拉萨，在途中至少需要加几次油？
22．已知一次函数的表达式是y＝（m﹣4）x+12﹣4m（m为常数，且m≠4）．（1）当图象与x轴交于点（2，0）时，求m的值；
（2）当图象与y轴交点位于原点下方时，判定函数值y随着x的增大而变化的趋势；
（3）在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围．
23．已知△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，连接AB'，交直线l于点D（点D与点C不重合）．
（1）如图1，若∠ACB＝40°，∠1＝30°，求∠2的度数；
（2）若∠ACB＝40°，且0°＜∠BCD＜110°，求∠2的度数；
（3）如图2，若∠ACB＝60°，0°＜∠BCD＜120°，求证：BD＝AD+CD．
参考答案
一、选择题
1．已知两条线段a＝2cm，b＝3.5cm，下列能和a、b构成三角形的是（）A．5.5cm B．3.5cm C．1.3cm D．1.5cm
解：第三边c的范围是：3.5cm﹣2cm＜c＜3.5cm+2cm．即1.5cm＜c＜5.5cm．符合条件的只有3.5cm．
故选：B．
2．下列图形为轴对称图形的为（）
A．B．
C．D．
解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝10，则CD的长为（）
A．5B．6C．8D．10
解：∵∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝AB＝5，
故选：A．
4．表示实数a与1的和不大于10的不等式是（）
A．a+1＞10B．a+1≥10C．a+1＜10D．a+1≤10
解：表示实数a与1的和不大于10的不等式是a+1≤10，
故选：D．
5．已知△ABC为直角坐标系中任意的一个三角形，现将△ABC的各顶点横坐标乘以﹣1，得到△A1B1C1，则它与△ABC的位置关系是（）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称
解：∵△ABC各顶点的横坐标乘以﹣1，得到△A1B1C1，
∴△ABC与△A1B1C1的各顶点纵坐标相同，横坐标互为相反数，
∴△A1B1C1与△ABC的位置关系是关于y轴对称．
故选：B．
6．一次函数y＝﹣2x﹣1的图象大致是（）
A．B．
C．D．
解：在y＝﹣2x﹣1中，
∵﹣2＜0，﹣1＜0，
∴此函数的图象经过二、三、四象限，
故选：D．
7．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（）
A．4人B．5人C．6人D．5人或6人
解：假设共有学生x人，根据题意得出：
5（x﹣1）+3＞3x+8≥5（x﹣1），
解得：5＜x≤6.5．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC ＝4，AC＝8，则S△PBC为（）
A．3B．3.3C．4D．4.5
解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，
解得，BD＝5，
∴CD＝8﹣5＝3，
∴△BCD的面积＝×CD×BC＝×3×4＝6，
∵P是BD的中点，
∴S△PBC＝S△BCD＝3，
故选：A．
9．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（）A．5＜m＜6B．5＜m≤6C．5≤m≤6D．6＜m≤7
解：解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，
解不等式7﹣2x≤1，得：x≥3，
则不等式组的解集为3≤x＜m，
∵不等式组的整数解有3个，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
则5＜m≤6．
故选：B．
10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，则AO的长度为（）
A．10B．9C．D．
解：连接AO，OB，OC，
∵O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，
∴O在∠BAC的角平分线上，
∵AB＝AC，
∴AO过D，且AD⊥BC，
∵BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝8，
即BD＝8，
设OD＝x，则OE＝OF＝4x，
∵S△ABC+S△OBC＝S△ABO+S△ACO，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，
∴＝+，
∴＝，
解得：x＝，
即OD＝，
∴AO＝AD+OD＝8+＝，
故选：D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．已知一次函数y＝﹣2x+3，当y＝﹣1时，x＝2．
解：当y＝﹣1时，﹣2x+3＝﹣1，
解得：x＝2．
故答案为：2．
12．命题“如果a+b＞0，则a＞0，b＞0”的逆命题是如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0．解：命题“如果a+b＞0，则a＞0，b＞0”的逆命题是：如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0，故答案为：如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0．
13．已知等腰三角形的一个外角的度数为108°，则顶角的度数为72°或36°．解：∵一个外角为108°，
∴三角形的一个内角为72°，
当72°为顶角时，其他两角都为54°、54°，
当72°为底角时，其他两角为72°、36°，
所以等腰三角形的顶角为72°或36°．
故答案为：72°或36°．
14．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A、B，其中A的位置可以表示成（60°，6），那么B可以表示为（150°，4），A与B的距离为2．
解：B可以表示为（150°，4），
由题意可得：＝2．
故答案为：（150°，4），2．
15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝30°，把△ADC沿着直线AD翻折，点C落在点E的位置，如果BC＝2，那么线段BE的长度为．
解：如图，过D作DF⊥BE于F，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝1，
由折叠可得，DE＝DC＝1，∠CDE＝2∠CDA＝60°，
∴BD＝ED，∠BDE＝120°，
∴BE＝2BF，∠DBE＝30°，
∴Rt△BDF中，DF＝BD＝，
∴BF＝＝，
∴BE＝2BF＝，
故答案为：．
16．已知△ABC是边长为6的等边三角形，过点B作AC的垂线l，垂足为D，点P为直线l上的点，作点A关于CP的对称点Q，当△ABQ是等腰三角形时，PD的长度为3或6﹣3或或3+6．
解：如图1中，达不到点与B重合时，△ABQ是等腰三角形，此时PD＝AB•sin60°＝6×＝3．
如图2中，当点Q落在线段AB的垂直平分线上时，QA＝QB，△ABQ是等腰三角形，此时∠PCD＝∠PCQ＝15°，
在CD上取一点J，使得JC＝PJ，则∠JPC＝∠JCP＝15°，
∴∠PJD＝∠JPC+∠JCP＝30°，设PD＝x，则DJ＝x．PJ＝CP＝2x，
∴x+2x＝3，
∴x＝6﹣3，
∴PD＝6﹣3．
如图3中，当点Q落在直线BD上时，△ABQ是等腰三角形，此时PD＝CD•tan30°＝．
如图4中，当点Q落在线段AB的垂直平分线上时，∠DCP∠PCQ＝75°，可得∠CPJ
＝15°，
在PD上取一点J，使得JC＝JP，同法可得∠DJC＝30°，DJ＝3，CJ＝JP＝6，∴PD＝DJ+JP＝3+6，
综上所述，满足条件的PD的值为3或6﹣3或或3+6．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答题要有文字说明、证明或演算过程）17．解不等式（组）：
（1）2（x+1）﹣1＞x；
（2）．
解：（1）2（x+1）﹣1＞x，
2x+2﹣1＞x，
2x﹣x＞﹣2+1，
x＞﹣1；
（2），
解不等式①得：x＜﹣2，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为x＜﹣2．
18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，4），B（1，1），（3，2）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，并判断三角形的形状（不写理由）；
（2）平移△ABC，使点A与点O重合，写出点B、点C平移后的所得点的坐标，并描
述这个平移过程．
解：（1）如图，△ABC即为所求，△ABC等腰直角三角形．
（2）平移后的△OB′C′即为所求，B′（﹣1，﹣3），C′（1，﹣2），△ABC向下平移4个单位，向左平移2个单位得到△OB′C′．
19．在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②AE＝AD；③OB＝OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情况，写出证明过程．
解：（1）由①②或①③可以判定△ABC是等腰三角形；
（2）①③判定△ABC是等腰三角形；
理由如下：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
又∵∠EBO＝∠DCO，
∴∠OBC+∠EBO＝∠OCB+∠DCO，
即：∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形；
①②判定△ABC是等腰三角形；
理由如下：
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形；
20．已知3m+n＝1，且m≥n，
（1）求m的取值范围．
（2）设y＝3m+4n，求y的最大值．
解：（1）∵3m+n＝1，
∴n＝﹣3m+1，
又∵m≥n，
∴m≥﹣3m+1，
∴m≥．
（2）y＝3m+4n＝3m+4（﹣3m+1）＝﹣9m+4．
∵﹣9＜0，
∴y值随x值的增大而减小，
∴当m＝时，y取得最大值，最大值＝﹣9×+4＝．
21．大伟老师购买了一辆轿车，加满油后，经过一段时间的试驾，得到了一组行驶里程与剩余油量的数据，行驶里程x（km）和剩余油量y（L）的部分关系如表：x100200300350400
y43362925.522（1）求y与x的关系式；
（2）大伟老师到4158公里外的拉萨，在途中至少需要加几次油？
解：（1）根据表格中的变化规律可知：y与x成一次函数，
设y与x的关系式为y＝kx+b，
将x＝100时y＝43，x＝200时y＝36代入关系式得，
解得，
∴y＝﹣0.07x+50（x≥0）；
（2）当y＝0时，﹣0.07x+50＝0，
解得x＝，
4158÷≈5.8，
答：大伟老师到4158公里外的拉萨，在途中至少需要加9次油．
22．已知一次函数的表达式是y＝（m﹣4）x+12﹣4m（m为常数，且m≠4）．（1）当图象与x轴交于点（2，0）时，求m的值；
（2）当图象与y轴交点位于原点下方时，判定函数值y随着x的增大而变化的趋势；
（3）在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围．
解：（1）将（2，0）代入y＝（m﹣4）x+12﹣4m中，得
2（m﹣4）+12﹣4m＝0，
解得，m＝2；
（2）∵图象与y轴交点位于原点下方，
∴12﹣4m＜0，
∴m＞3，
∴当3＜m＜4时，有m﹣4＜0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而减小，
当m＞4时，有m﹣4＞0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而增大；
（3）设3＜m1＜m2＜4，则两直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2分别与y轴的交点坐标为M1（0，12﹣4m1）和M2（0，12﹣4m2），
∴M1M2＝4（m2﹣m1），
∵直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2的交点坐标为N（4，﹣4），
∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，任意两条直线与y轴围成的三角形面积的为：
S＝，
∵3＜m1＜m2＜4，
∴0＜m2﹣m1＜1，
∴0＜S＜8，
∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，其中任意两条直线与y 轴围成的三角形面积的取值范围0＜S＜8．
23．已知△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，连接AB'，交直线l于点D（点D与点C不重合）．
（1）如图1，若∠ACB＝40°，∠1＝30°，求∠2的度数；
（2）若∠ACB＝40°，且0°＜∠BCD＜110°，求∠2的度数；
（3）如图2，若∠ACB＝60°，0°＜∠BCD＜120°，求证：BD＝AD+CD．
解：（1）∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，
∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，
∴∠1＝∠CB'D＝30°，
∴∠ACB'＝120°，
∵∠ACB＝40°，
∴∠BCB'＝80°，
∴∠BCD＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝70°；
（2）∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，
∴∠1＝∠CB'D＝＝70°﹣∠BCD，
∴∠2＝∠CB'D+∠DCB'＝70°；
（3）如图2，在BD上截取DH＝CD，连接CH，
∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，
∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，
∴∠1＝∠CB'D＝＝60°﹣∠BCD，
∴∠2＝∠CB'D+∠DCB'＝60°，
又∵CD＝DH，
∴△CDH是等边三角形，
∴CH＝CD，
∵∠BCA＝∠HCD＝60°，
∴∠BCH＝∠ACD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（SAS），∴AD＝BH，
∴BD＝BH+DH＝AD+CD．。