二阶系统的时域分析

n
n
112 2 (阻尼 (阻振 尼荡 振)频 荡率 )频率
n
n
d
d
则 s1 、 2j d 此时
C (s) 1 s (s s )2 2 (s )2 2
d
d
精选课件
14
所 其1中以 cco1(setβ)所 t=12ζ1即以 seβci=1t(neac tr)cotdtc21sodsts ζsei n (iβt nc称c dodo t为 s se阻dtt 尼sc 角io ns d)dts ei n t si ns i dn t( )
2
C n ;C n ;C 1
1 (s s)s 2 (s s)s 3
1 21
1 22
而s1，s2是ζ和ωn的函数，显然c(t)只与ζ ，ωn有关，即ζ ，ωn决
定着c(t)的形式。分别讨论如下：
精选课件
11
① ζ ＞1时，（过阻尼） s1 ，s2 为一对不等的负实数根。
j
j
s1、s2
0
0
t
9
二阶系统的闭环极点分布
特征根： s1,2 nn 21
j
j
j
n 1 2
n 1 2
n
0
n 12
0
0
n 1 2
n
0 1
1
1 0
j
s1 s2
n
0
1
j
n
0
n
精选课件0
j
0
1 10
2 二阶系统的单位阶跃响应
当r(t) = 1 时 或R(s)=1/s 时， 有：
C (s) (s)R (s)s2 2 n 2s 21 s
第三章 时域分析法
第三节 二阶系统时域分析
精选课件
1
第三节 二阶系统的时域分析
项目
内容
教学目的
掌握二阶系统的数学模型和时域响应的特点。
能够计算欠阻尼时域性能指标。
教学重点
欠阻尼时域性能指标的计算。阻尼系数和自 然频率对系统输出的影响。
教学难点
阻尼系数和自然频率对系统输出的影响。
及 其 处 理 MATLAB作图、对比、总结。
精选课件
2
• 定义：以二阶微分方程作为运动方程的控 制系统，称为二阶系统。
• 重要性：二阶系统是最常见的一种系统， 很多高阶系统可简化为二阶系统，在控制 理论中更具有代表性；它的动态性能指标 和系统参数之间的关系非常简明，分析和 设计比较容易。
精选课件
3
一、二阶系统的数学模型
微分方程: 闭环传函: 开环传函
4） σ ≠0, N≠0 即存在超调和振荡；
5）令 （衰减系数） n
nσ即1令 s1，2s2的nd实部。(阻 亦（即尼 衰 闭环振 减 极荡 点系到)频 数 虚轴率 ） 的距离；
dd 2c t(2t)2 ndc d (tt)n 2c(t)n 2r(t) 标准
(s)1 G G (s()s)s22 n 2 nsn 2
形式
结构图
G(s) （ s s2n2n）
R(s) -
n2
C(s)
s(s 2n )
：阻尼系数
n ：自然频率(无阻尼振荡频率)
Hale Waihona Puke 精选课件4• 开环传函模拟电路
i） 二阶系统正常工作的基本条件是 ζ＞0 ；而ζ＜0系统不稳定； ii） 当ζ≥1时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）；
iii） 当0＜ζ＜1时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。
精选课件
13
3.欠阻尼即0＜ζ＜1时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析
设r(t)=1，即 R(s) 1 s
机械力学系统的传递函数
(s)
ms2
1 fsk
精选课件
6
比如：RLC振荡电路的微分模型为
Ld C 2 u C (t) Rd C C (tu ) u(t) u(t)
d2 t
dt C
r
一般化 T 2d 2 u C (t) 2T dC (tu ) u(t) u(t)
d2 t
dt C
r
其中 T LC -----二阶系统时间常数 / 秒
n
n
有：
s1 、 2
n
n
21（S1 ，S2二阶系统的闭环极点）
对应于ζ 的不同取值，可以得到 s1 ， s2 在[s]平面上不同的分布。
二阶系统的时间响应取决于 和 两n 个参数，其中阻尼系数 决定了
系统的阻尼程度， n 决定了系统的响应速度。可以根据
和
的变化情况
n
来研究二阶系统的时间响应。
精选课件
n
n
故
c ( t) L 1 s 2 2n n 2 sn 21 s L 1 (s s 1 )n 2 s (s 2 )1 s
其中
L 1 (sC 1 s 1 ) (sC 2 s 2 ) C s 3 C 1 e S 1 t C 2 e S 2 t C 3
2
② ζ = 1时，（临界阻尼） s1 ，s2 为一对相等的负实数根。
③ 0＜ ζ ＜1时，（欠阻尼） s1 ，s2 为一对具有负实部的共轭复根。
精选课件
12
④ 当ζ =0时，（无阻尼，零阻尼） s1 ，s2 为一对幅值相等的虚根。
⑤ 当ζ ＜0时，（负阻尼） s1 ，s2 为一对不等的正实部根。
小结：
R1
R(s)
R1
比例 环节
R2
R3 + +
G(s) n2 s(s2n)
积分 环节
惯性 环节
C1
R5
C2
R4
+
C(s)
+
+
+
精选课件
5
举例
(s)s22n2nsn2
两级滤波电路网络的传递函数 (s) R 1 C 1 R 2 C 2 s2 (R 1 C 1 1 R 2 C 2 R 1 C 2 )s 1
R C -----二阶系统阻尼比或相对阻尼系数 / (无量纲)
2L
精选课件
7
一般式拉氏变换
1 (S)
T2s2 2Ts1
二阶系统标准式
2
(s)
n
s22 s2
n
n
精选课件
8
二.二阶系统的闭环极点与单位阶跃响应
1. 二阶系统的闭环极点
由闭环特征式： D (s) s2 2 s2
n
n
得： 系统的闭环特征方程 D ( s ) s 2 2s 2 0
L L 11 [[((ss a sa ) )22 a 22]] ee aa ttscin os tt
则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：
C(s) (s) R(s)
2 n
1
s2 2nsn2 s
(sn)2n2n2(1(s22)n 2n )2 1s n 2 (1n 2 (12)2)1 s
令 令（衰 （减 衰系 减数 系） 数）
分析：
1 )因为 e (t) r (t) 误 c (t) 差 1 e t 2 sid tn 由此可见，它为一振荡衰减过程（指数衰减），振荡频率为
ωd 。图示如下：
e(t)
c(t)
1
1
0
t
0
精选课件
t
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2） e(t) 及c(t)的衰减速度取决于ζ ωn的大小； 3） t → ∞时， e(∞)=0 则c(∞)=1；