福建省永安市第三高中2021届高三10月月考数学试题 Word版含解析

姓名，年级：
时间：
永安三中2020—2021学年上学期10月月考数学试
卷
一、单选题
1. 已知集合{1,0,2}A =-,{0,2,3}B =，那么A B 等于( ）
A. {1,0,2,3}-
B 。

{1,0,2}-
C 。

{0,2,3} D. {0,2} 【答案】A
【解析】
【分析】
利用并集的定义直接求解即可
【详解】解:因为集合{1,0,2}A =-，{0,2,3}B =，
所以{}1,0,2,3A B =-，
故选：A
【点睛】此题考查并集的运算，属于基础题
2. 下列函数中与y x =表示为同一函数的是（ )
A. 21x x y x -=- B 。

y = C. 2log 2x y = D 。

ln x y e =
【答案】C
【解析】
【分析】
当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数就是同一个函数，由此逐个分析判断即可
【详解】因为10x -≠，1x ≠，定义域不同，因而选项A 错误;
y x ==，对应关系不同，因而选项B 错误;
2log 2x y x ==与给定的函数为同一函数，因而选项C 符合题意；
ln (0)x y e x x ==>,定义域不同，因而选项D 错误．
故选：C
【点睛】此题考查判断两个函数是否是同一函数,判断的依据是定义域和对应关系分别相同即可,属于基础题
3. 下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是( ）
A. 3x y -=
B 。

13log y x = C. 12y x = D 。

3y x = 【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐一分析选项即可.
【详解】解：根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性可知：
A ：1
3()3
x x y -==在()0,∞+上单调递减； B ：13
log y x =在()0,∞+上单调递减； C:12y x =在()0,∞+上单调递增;
D ：3y x =在()0,∞+上单调递减；
故选：C
【点睛】本题考查指数函数、对数函数以及幂函数的单调性的判断,属于基础题.
4. 函数()lg(4)
f x x =
+-定义域是（ ）. A. ()1,4 B. (]1,4
C 。

()(),11,4-∞⋃
D 。

()(],11,4-∞
【答案】A
【解析】
【分析】
由二次根式在分母上，得被开方数大于零，同时再由对数的真数大于零，可求得函数的定义域
【详解】解：由题意得，1040x x ->⎧⎨->⎩
,解得14x <<， 所以函数的定义域为()1,4,
故选：A
【点睛】此题考查求函数的定义域，属于基础题
5。

函数2()log 2f x x x =+-的零点一定位于下列哪个区间内（ ）.
A. ()5,6
B. ()3,4
C. ()1,2
D. ()2,3
【答案】C
【解析】
【分析】
求出端点所对应的函数值,利用零点的存在性定理即可判断.
【详解】2(1)log 11210f ，2(2)log 22210f ， ()f x ∴的零点一定位于()1,2。

故选：C.
【点睛】本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题。

6. 已知 2.52a -=，2log 3b =，1
22c =，则（ ）
A. a c b <<
B. c a b <<
C. b a c <<
D.
a b c <<
【答案】A
【解析】
【分析】 根据指数函数与对数函数的性质，判断312a c b <<<
<． 【详解】 2.5 2.51212
a -==<，
22log 3log b =>3
223log 22
==，
1
221c ==>,
3
2<; 所以a c b <<．
故选:A ．
【点睛】本题考查了利用指数函数与对数函数的单调性判断函数值大小的问题，是基础题．
7. 已知扇形的周长为12cm,圆心角为4rad ,则此扇形的面积为（ ）．
A. 8cm 2
B 。

10cm 2
C 。

12cm 2
D 。

14cm 2
【答案】A
【解析】
【分析】 根据弧度制下的扇形的弧长和面积公式求解即可．
【详解】解：设扇形的半径为r cm ，
∵扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ,
∴2412r r +=，得2r
, ∴此扇形的面积21
4282S =⨯⨯=(cm 2），
故选：A ．
【点睛】本题主要考查弧度制下的扇形的弧长和面积公式,属于基础题．
8. 在ABC 中，若cos cos sin sin A B A B >,则ABC 一定为（ ）
A 。

等边三角形
B 。

钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 直角
三角形
【答案】B
【解析】 分析：将条件的原式移项，结合三角和差公式即可得出结论.
详解：由题可知:cos cos sin sin cos()0A B A B A B >⇒+>，故A B +为锐角，由三角形的内角和为180°可知C 为钝角，故三角形为钝角三角形，所以选B. 点睛：考查三角和差公式的应用，结合三角形的内角和结论即可，属于基础题.
二、多选题
9. 若0a b >>，则（ ) A. 11a b > B 。

ln ln a b > C 。

ln ln a a b b < D. a b a b e e -<-
【答案】BD
【解析】
【分析】 利用函数1y x
=在区间()0,∞+上的单调性可判断A 选项；利用对数函数ln y x =在区间()0,∞+上的单调性可判断B 选项;利用特殊值法可判断C 选项；利用函数x y e x =-在区间()0,∞+上的单调性可判断D 选项.
【详解】对于A 选项,函数1y x
=在区间()0,∞+上单调递减,由于0a b >>，则11a b <，A 选项错误; 对于B 选项,函数ln y x =在区间()0,∞+上单调递增，由于0a b >>，则ln ln a b >，B 选项正确；
对于C 选项，取2a e =，b e =，则0a b >>,则222ln 2e e e =，ln e e e =，即ln ln a a b b <不成立，故C 选项错误；
对于D 选项，取函数x y e x =-，当0x >时，10x y e '=->，
所以，函数x y e x =-在区间()0,+∞上单调递增，
由于0a b >>可得a b e a e b ->-，即a b a b e e -<-，D 选项正确.
故选：BD 。

【点睛】本题考查利用函数的单调性判断不等式的正误，考查了导数的应用,属于中等题.
10. 将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后,得到函数()y g x =的图象，则（ ）
A. 函数()g x 的图象关于直线12x π=
对称 B. 函数()g x 的图象关于点(6π
,0）对称
C. 函数()g x 在区间(512π-，6
π-）上单调递增 D. 函数()g x 在区间(0，76π)上有两个零点 【答案】ACD
【解析】
【分析】 先由已知求出()sin(2)3
g x x π=+，然后利用三角函数的图像和性质逐个判断即
可 【详解】可得()sin(2)3g x x π=+，当12x π=，232
x ππ+=，故A 正确； 当6x π=,2233
x ππ+=
，故B 错误； 当x ∈(512π-，6
π-），23x π+∈(2π-,0)，故C 正确； 当x ∈(0,76π)，23x π+∈(3π,83π），故D 正确． 故选：ACD ．
【点睛】此题考查三角函数的平移变换，考查三角函数的图像和性质的应用，属于基础题
11. 下图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0||x ϕ<<）的部分图象，下列结论正确的是( ）
A. 函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的图象关于原点对称 B 。

函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭
对称 C 。

函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增 D 。

方程()1f x =在区间23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的所有实根之和为83π 【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据函数图象求出()f x 的解析式，根据正弦型函数的性质判断选项正误。

【详解】由已知，2A =,
2543124
T πππ=-=，因此T π=， ∴22πωπ==，
所以()2sin(2)f x x ϕ=+，过点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 因此43232
k ππϕπ+=+，k ∈Z ，又0||ϕπ<<， 所以6π=ϕ，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， 对A ，2sin 212y f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝
⎭图象关于原点对称，故A 正确； 对B ，当12x π=-时，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 对C ,由222262k x k πππππ-≤+≤+，有36
k x k ππ
ππ-≤≤+，k ∈Z 故C 不正确; 对D ，当231212x ππ-≤≤时，2[0,4]6
x ππ+∈，所以1y =与函数()y f x =有4个交点令横坐标为1x ，2x ,3x ，4x ，12317822663x x x x πππ+++=⨯+⨯=,故D 正确. 故选:ABD 。

【点睛】本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质，属于基础题.
12。

已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--,则（ )
A 。

()f x 是周期为2的函数
B 。

()()201920201f f +=-
C. ()f x 的值域为［—1，1]
D. ()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对于A,由()f x 为R 上的奇函数,()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A ；
对于B,由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==， ()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜,又由()f x 为R 上的
奇函数，则[)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ．
【详解】根据题意，
对于A,()f x 为R 上奇函数,()1f x +为偶函数，
所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=-
即(4)(2)()f x f x f x +=-+=
则()f x 是周期为4的周期函数,A 错误；
对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =,
()f x 是周期为4的周期函数,则()()202000f f ==；
当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--,则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，
则()()201920201f f +=-;故B 正确．
对于C,当(]01x ∈，时,()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜， 又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜, (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．
故C 正确． 对于D ，
(0)0f =,且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--,
[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--, [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，
()f x 是奇函数,[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4,[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，
[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---, [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，
设()()cos g x f x x =-，
当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-， ()22sin g x x x '=-++,
设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，
()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，
且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，
0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，
0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，
所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点， 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[]24x ∈，
时,,()()2cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--， 则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-， 则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，
上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，
所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，
，,使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，
()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增， 又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-,
所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，
上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，时,()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，，
当[]46x ∈，
时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>， ()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，
所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点,故D 正确； 故选：BCD ．
【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.
三、填空题
13. 命题“x R ∃∈，22390x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是________．
【答案】-⎡⎣
【解析】 【分析】
由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知0∆≥，解不等式求得结果.
【详解】若原命题为假命题，则其否定“x R ∀∈，22390x ax -+≥”为真命题
29720a ∴∆=-≤,解得：a -≤≤
a ∴的取值范围为-⎡⎣
故答案为：-⎡⎣
【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题. 14。

已知“220x x -->”是“20x p +>"的必要条件,则实数p 的取值范围是______。

【答案】(],4-∞- 【解析】 【分析】
解出220x x -->，通过必要条件得出集合间的包含关系,利用包含关系列不等式求解即可．
【详解】由已知不等式220x x -->的解集为(,1)(2,)-∞-+∞， 因为220x x -->是20x p +>的必要条件,
(,)2p
∴-
+∞⊆(,1)(2,)-∞-+∞， 则22
p
-≥，
得4p ≤-，
故答案为：
4]-∞-（， 【点睛】本题通过必要非充分条件，考查集合间的包含关系，有时不要遗漏空集的情况，是基础题．
15. 已知()()sin 2cos 30πθπθ-++-=,则
sin cos sin cos θθ
θθ
+=-______。

【答案】1
3
【解析】 【分析】
先利用诱导公式对()()sin 2cos 30πθπθ-++-=化简，可得sin 2cos θθ=-，代入
sin cos sin cos θθ
θθ
+-中化简可得结果
【详解】解：由()()sin 2cos 30πθπθ-++-=,得sin 2cos 0θθ--=，
sin 2cos θθ=-，
所以
sin cos 2cos cos cos 1
sin cos 2cos cos 3cos 3
θθθθθθθθθθ+-+-===----，
故答案为:1
3
【点睛】此题考查诱导公式的应用,属于基础题
16. 如图,是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，tan α=___．
【答案】3
4
【解析】 【分析】
求出大正方形的边长、小正方形的边长，结合图形得出210cos 10sin αα=-，再由22cos sin 1αα+=，解得cos α和sin α，进而得到tan α值． 【详解】由题意得,大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2, 所以210cos 10sin αα=-,
即1
cos sin 5
αα-=①．
由于α为锐角,两边同时平方得：()2
1
cos sin 25
αα-=
， 即22
1
cos sin 2sin cos 25
αααα+-=
， 又因为22cos sin 1αα+=， 所以242sin cos 25
αα=
， ()
22
224cos sin 2sin 49cos si cos 12n 255
αααααα++=+
=+=， 所以7
cos sin 5
αα+=
②， 由①②得：4
cos 5α=,3sin 5
α=， 3
tan 4
α∴=,
故答案为:3
4
．
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，结合图形得出
210cos 10sin αα=-，是解题的关键．
四、解答题
17。

已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的图象过点1,24⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（1)求a 的值；
(2）计算12
lg lg5a a --+的值。

【答案】(1）1
2
；1。

【解析】 【分析】
（1）根据题意将点1,24⎛⎫
⎪⎝⎭
代入解析式利用指数与对数的互化即可求解。

（2）由(1）根据指数与对数的运算性质即可求解。

【详解】（1)
()()log 0,1a f x x a a =>≠的图像过点1,24⎛⎫
⎪⎝⎭
,
1log 24a
∴=，214a ∴=，得12
a =。

（2)由(1)知，1
2
a =，
112
2
11
lg lg5lg lg5lg 2lg5122
a
a -
-⎛⎫
∴-+=-+=+= ⎪
⎝⎭。

【点睛】本题考查了指数与对数的互化以及指数与对数的运算性质,属于基础题。

18。

已知集合，|2162x
A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，{|3221}B x a x a =-<<+。

（1）当0a =时，求A B ；
（2）若A B =∅，求a 的取值范围.
【答案】(1）1|12A B x x ⎧⎫
⋂=-<<⎨⎬⎩⎭
；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.
【解析】 【分析】
（1）求解指数不等式，解得集合A ；根据集合交运算即可容易求得结果；
（2）分集合B 是否为空集,根据题意，列出不等式，即可容易求得参数范围。

【详解】(1)1|42A x x ⎧⎫
=-<<⎨⎬⎩⎭,0a =时,{|21}B x x =-<<，
∴1|12A B x x ⎧⎫
⋂=-<<⎨
⎬⎩⎭
（2）∵A B φ⋂=，
∴当B φ=时,3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意;
当B φ≠时，即3a <时，只需1212
a +≤-或324a ->即可.
解得3
4
a ≤-或23a ≤<，
综上,a 的取值范围为3,[2,)4⎛
⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝
⎦。

【点睛】本题考查集合的交运算,以及由集合交集得结果求参数范围，涉及指数不等式的求解,属综合基础题.
19。

已知αβ，为锐角,4sin ,cos()5ααβ=+=。

（1）求cos 2α的值; (2）求sin β的值．
【答案】（1）725
-；（2）。

【解析】 【分析】
（1)由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；
（2）先由题意求出3cos 5α==，sin()αβ+== 根据()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，由两角差的正弦公式，即可求出结果. 【详解】（1)因为4sin 5
α
，所以2
327cos 212sin 12525αα=-=-=-；
（2）因为αβ，为锐角,所以0αβ<+<π，02
π
α<<
，
又4sin ,cos()5ααβ=+=，所以3cos 5α==,
sin()5αβ+=, 所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦
3455=
=
【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型。

20。

已知函数()32
391f x x x x =+-+.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当[]4,4x ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值。

【答案】(1）()f x 的递增区间是(),3-∞-和()1,+∞；递减区间是()3,1-，(2）最大值是77，最小值是4- 【解析】 【分析】
(1)先求导,再解()0f x '>，()0f x '<的解集即可得解;
(2）由函数的单调性,先求极值，再求端点值，再比较大小求值域即可。

【详解】解:（1）()()()()22
369323331f x x x x x x x '=+-=+-=+-
当(),3x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增; 当()3,1x ∈-时,()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；
所以()f x 的递增区间是(),3-∞-和()1,+∞；递减区间是()3,1- ；
(2）由（1）知，()f x 在[]4,3--，[]1,4上单调递增，在区间[]3,1-上单调递减，
所以()f x 的极大值为()328f -=,极小值为()14f =-， 又因为()421f -=，()477f =,
所以()f x 的最大值是77,最小值是4-。

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的
单调性，重点考查了利用函数的单调性求函数的值域，属基础题。

21.
已知函数2
()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭。

（1）求()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 的单调增区间； （3）求函数
()f x 在区间20,3π⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的取值范围。

【答案】（1）T π=；（2）,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3)3()0,2f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦．
【解析】 【分析】
（1）根据二倍角公式和诱导公式，结合辅助角公式可求得()f x 解析式，从而
利用周期公式求周期；(2）利用整体代换即可求单调增区间；(3)由20,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
得72,666x π
ππ⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦
，从而可得()f x 的取值范围。

【
详解】(1）
2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 212sin 2262x x x π-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭ 所以T π=． （2）由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，得 ,6
3
k x k k Z ππ
ππ-+≤≤
+∈，
所以函数()f x 的单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦。

（3）由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛
⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦， 所以3()0,2f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
．
【点睛】本题考查三角函数的性质，考查利用整体的思想结合图象解决给定范围下的三角函数的范围，属基础题. 22。

已知函数()ln 2f x x x =+。

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数()y f x ax =+在区间(),e +∞上单调递增，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ)设函数2
()g x x x
=-，其中0x >。

证明：()g x 的图象在()f x 图象的下方。

【答案】（1) 10x y -+=。

（2) 2a ≥-. （3)证明见解析。

【解析】
分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算()1f 和()'1f 的值，点斜式求出切线方程即可。

(Ⅱ)设()()12F x f x ax x nx ax =+=++,并求导.将问题转化为在区间
(),e +∞上，()'0F x ≥恒成立，或者()'0F x ≤恒成立，通过特殊值()1,a e e +∈+∞，且()
1'110a F e a a +=+++>，确定()'0F x ≥恒成立，通过参数分离，求得实数a 的取值范围；
(Ⅲ）设()()()h x f x g x =-，将问题转化为证明()0h x >，利用函数的导数确定函数最小值()0h x 在区间()1,e ，并证明()00h x >. 即()g x 的图象在()f x 图象的下方.
详解:解:(Ⅰ)求导,得()'11f x nx =+，
又因为()()1 2.'1 1.f f ==
所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为10.x y -+=
（Ⅱ）设函数()()12F x f x ax x nx ax =+=++，
求导，得()'11F x nx a =++，
因为函数()()F x f x ax =+在区间(),e +∞上为单调函数，
所以在区间(),e +∞上,()'0F x ≥恒成立，或者()'0F x ≤恒成立, 又因为()1,a e e +∈+∞，且()
1'110a F e a a +=+++>， 所以在区间(),e +∞,只能是()'0F x ≥恒成立,即11a nx ≥--恒成立.
又因为函数11y nx =--在在区间(),e +∞上单调递减，()()y 2x y e <=-， 所以2a ≥-.
（Ⅲ）证明：设()()()212,0h x f x g x x nx x x x
=-=+-+>。

求导，得()22'1h x nx x
=-. 设()()22'1m x h x nx x ==-，则()314'0m x x x
=+>（其中0x >）. 所以当()0,x ∈+∞时，()m x （即()'h x ）为增函数.
又因为()()22'120,'10h h e e
=-=-， 所以，存在唯一的()01,x e ∈，使得()00202'10.h x nx x =-
= 且()'h x 与()h x 在区间()0,+∞上的情况如下:
所以，函数()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，
所以()h x ≥ ()0h x .
又因为()01,x e ∈，()00202'10h x nx x =-
=， 所以()000000024412220h x x nx x x e x x e
=+-+=-+>-+>， 所以()0h x >,即()g x 的图象在()f x 图象的下方.
点睛：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，函数的单调性与导数的关系，考查了恒成立问题的参数分离方法。

将()g x 的图象在()f x 图象的下方，通过构造新函数()()()h x f x g x =-，转化()0h x >恒成立是解题关键.。