广西南宁、钦州市高三数学第二次模拟考试试题理(扫描版)

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广西南宁、钦州市2017届高三数学第二次模拟考试试题理（扫描版)
2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试
数学试卷(理科)评分标准
一、选择题
1．已知集合{}|310A x x =+<，{}2|610B x x x =--≤，则=B A
A 。

11[,]32- B. Φ C. 1(,)3-∞ D.1{}3 【答案】
B 2．复数11i
a +(R)a ∈在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是 A 。

0 a B 。

10<<a C. 1>a D. 1-<a 【答案】A
3．若椭圆C ：122
22=+b
y a x (0)a b >>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 A 。

21 B 。

33 C 。

22 D 。

42 【答案】
C
正弦值4．在ABC ∆中，53cos =
B ，65==AB A
C ，，则角C 的为
A
A. 2524 B 。

2516 C. 259 D. 257 【答案】5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是
A. 31
B. 3
2 C. 1 D 。

4
3 【答案】D 6．已知向量），（01=a ，），（21=b ，向量c 在a 方向上的投影为2. 若c //b ，则c 的大小为 A 。

2 B. 5 C 。

4 D. 52 【答案】D 7．执行如图的程序框图，输出的S 的值是
A 。

28 B. 36 C 。

45 D 。

55 【答案】C
8．若以函数()0sin >=ωωx A y 的图像中相邻三个最值点为顶点的 开始 A =1，S =0
A ≤9
输出S
A=A+1
结束
S=S+A 是
否
三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为
A 。

1
B 。

2
C 。

π
D 。

π2 【答案】C
9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥ABCD P -中，四棱锥的侧棱长都为4，E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为 A 。

4
B. 3
C.12
D 。

2 【答案】A 10.定义,,min{,},>,
a a
b a b b a b ≤⎧=⎨⎩设21()=min{,}f x x x ，则由函数()f x 的图像与x 轴、直线=2x 所围成的封闭图形的面积为 A.
712 B 。

512 C 。

1+ln 23 D 。

1+ln 26
【答案】C 11．函数11()33x f x -=-是 A 。

奇函数 B 。

偶函数
C. 既是奇函数也是偶函数 D 。

既不是奇函数也不是偶函数 【答案】D
12．设实数e d c b a ,,,,同时满足关系:,8=++++e d c b a 1622222=++++e d c b a ，则实数e 的最大值为
A 。

2 B. 5
16 C. 3 D. 25【答案】B 解: 将题设条件变形为2222216,8e d c b a e d c b a -=+++-=+++，
代入由柯西不等式得如下不等式222222222(1111)(1111)()a b c d a b c d ⋅+⋅+⋅+⋅≤++++++
有)16(4)8(22e e -≤-，解这个一元二次不等式，得.5
160≤
≤e 所以，当56
====d c b a 时，实数e 取得最大值.516 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上。

13．设变量y x ,满足约束条件22344x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩
，则目标函数2z y x =-的最大值是 【答案】14
14若锐角βα,满足54sin =α,32)tan(=-βα，则=βtan ▲ ．【答案】17
6 15. 过动点M 作圆：
22221x y -+-=（）（）的切线MN ,其中N 为切点,若||||MO MN =(O 为坐标
原点),则||MN 的最小值是 ▲ 。

【答案】8
27 16．定义在R 上的函数()f x ,如果存在函数()g x ax b =+,(,a b 为常数)，使得()()f x g x ≥ 对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.给出如下命题：
①函数()2g x =-是函数ln ,0,()1,0
x x f x x >⎧=⎨≤⎩的一个承托函数;
②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数；
③若函数()g x ax =是函数()f x =e x 的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,e];
④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数。

其中正确的命题的个数为 ▲ . 【答案】2
三．解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17． (本小题满分12分）（注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:*2,2N n n n S n ∈+=。

（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ,求证：16n T <。

解：（1）第一类解法:
当n=1时，13a =..。

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1分
当2n ≥时1--=n n n S S a 。

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2分
222(1)2(1)n n n n =+----。

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..3分
21n =+。

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...4分
而13a =也满足21n a n =+。

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..5分
∴数列{}n a 的通项公式为
12+=n a n ..。

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.6分
第二类解法：
1--=n n n S S a 。

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..1分
222(1)2(1)n n n n =+----..。

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. (2)
21n =+。

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3分
∴数列{}n a 的通项公式为
12+=n a n .。

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..4分
第三类解法：
113a S ==...。

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.1分； 221a S S ..。

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1分；12+=n a n ...。

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..1分,共3分
第四类解法:
由S n 22n n =+可知{}n a 等差数
列。

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2分 且
13
a =，
21
2132d
a a S S ...。

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4分 ∴
数
列
{}
n a 的通项公式为
12+=n a n ..。

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.5分 （
2
）
∵12+=n a n ,∴
111
(21)(23)
n n a a n n +=++。

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7分
111
()22123
n n =-++.。

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8分 则
1111111
[()().......()]235572123
n T n n =-+-++-++....。

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.9分
111
()2323
n =-+。

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10分
11
646
n =
-
+.。

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........11分
1
.6
<.。

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12分
18． （本小题满分12分)（注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
）
某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克)与该地当日最低气温x （单位：C ）的数据，如下表:
（1)求出y 与x 的回归方程y b x a ∧
∧
∧
=+；
(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关;若该地1月份某天的最低气温为6C ,请用所求回归方程预测该店当日的销售量；
(3)设该地1月份的日最低气温X ～2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ
近似为样本方差2s ,求(3.813.4)P X
<<。

附： ①回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 122
1
()()n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
n x ∧
==-=
-∑∑,a y b x ∧∧
=-。

2，8。

若X ~2(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P X μσμσ-<<+=。

解:【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、(2)问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】 (1)
∵
令
5n =,11357,5n i i x x n ===
=∑1145
95
n i i y y n ====∑，.。

..。

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.1分
【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 ∴
1()28757928.n
i i
i x y nx y =-=-⨯⨯=-∑ 。

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.2分
2
221
()2955750.n
i
i x
n x =-=-⨯=∑ 。

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3分 ∴28
0.5650
b ∧
-=
=- 。

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.4分
【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】 ∴
9(0.56)712.92.
a y
b x ∧
∧
=-=--⨯= （或者：
323
25
） 。

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5分 ∴
所求的回归方程是
0.5612.92y x ∧
=-+ .。

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.6分 （
2
）
由
0.560
b ∧
=-<知y 与x 之间是负相
关, 。

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.7分
【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】
将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量0.56612.929.56y ∧
=-⨯+=（千克） (或
者:
239
25
） 。

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8分 【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】
(3)由(1）知7x μ==，又由2221
[(27)5
s σ==-22(57)(87)+-+-+22(97)(117)]-+-
10,=得
3.2σ= ....。

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9分 【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】 从
而
(3.813.4)P X <<=(2)P X μσμσ-<<+ ..。

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10分
()P X μσμ=-<<(2)P X μμσ+<<+
1()2P X μσμσ=
-<<+1
(22)2
P X μσμσ+-<<+ ..。

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11分
【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】
0.8185= ..。

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12分
【说明:此处是结论分1分，必须正确才给】
19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111-D C B A ABCD 中,==1AB AD ，,3==CD CB 60BCD ∠=，31=CC . （1)若E 是线段A A 1上的点且满足AE E A 31=,
求证： 平面EBD ⊥平面BD C 1；
（2)求二面角1C C D B 的平面角的余弦值。

解
:(1） 解法（一）
:
60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB
∴90CDA ∠=,2= C A .. 。

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..1分(没有这一步扣一分） ∴以D 为原点，DA 为x 轴,DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系。

。

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2分 设
M 是BD 的中点，连接
1MC 。

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.....2分 C C 1⊥平面ABCD ， ,3==CD CB ∴11C D C B =。

M 是BD 的中
点,∴1MC ⊥BD .....。

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..3分
），（430,1E ，3(,44
M ，)33,0(1，C ,
∴13(,44MC =-,(1,0,)4
DE =. 。

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4分
13100444
MC DE =-⨯+=,∴1MC ⊥DE 。

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....5分 (证得1MC ⊥ME 或BE 也行）
DE 与BD 相交于D ， ∴1MC ⊥平面EBD 。

1
MC 在平面
BD
C 1内, ∴平面EB
D ⊥平面
BD C 1.。

..。

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.6
分 解
法(二）： 设M 是BD 的中点,连接EM 和
11,MC EC .。

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.1
分
,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC 。

EA ⊥平面ABCD ， C C 1⊥平面ABCD ,
∴
∠
1
EMC 是二面角
1
C B
D
E --的平面
角。

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.2分
60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=，1
3
,22
MA
MC ...。

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..。

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...。

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.。

.3分（正确计算出才给这1分)
AE E A 31=，31=CC ，∴142
EM C M =
=………………4分（至少算出一个）
14
C E =
.。

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..。

...。

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...。

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...。

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.....。

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..。

...。

.........。

.5分
∴22211C E C M EM =+,即1C E ⊥EM .∴二面角1C BD E --的平面角为直角. ∴
平面EBD ⊥平面
BD C 1.。

...。

..。

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...........。

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.....。

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.....。

6分 解法（三)：
60BCD ∠=，,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=，2= C A 。

以D 为原点，DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. 。

.....。

...。

.1分
设M 是BD 的中点，连接EM 和11,MC EC 。

.
,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共
线. 。

..。

.。

....。

....。

.。

...。

.。

..。

..。

.。

.。

2分
EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴BD ⊥ME ，BD ⊥1MC 。

∴
∠
1
EMC 是二面角
1
C B
D
E --的平面
角。

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....。

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3分
则），（430,1E ，)33,0(1，C
，3(,44
M .。

.。

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...。

..。

.。

.。

..4分(至少正确写出
一个点的坐标）
∴1(,)444ME =-
，13(,44MC =-.
∴113()(044444
ME MC •=
⨯-+-⨯+=。

..。

.。

.。

...。

.。

.。

.。

..。

.。

..5分
∴ME ⊥1MC ,∠190EMC =，
二面角
1
C B
D
E --的平面角为直角,平面EBD ⊥平面
BD C 1。

.。

...。

.。

...。

..。

.。

..。

..。

..。

.。

..。

6分
图.
解法四： 连结AC ，11A C ,11B D ，交点为O 和N ，如
60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB
∴90CDA ∠=，2= C A 。

以O 为原点,OB 为x 轴,OC 为y 轴，ON 为z
轴,建立空间直角坐标系。

。

.。

.。

.。

.。

...。

.1分
则O 是BD 的中点。

C C 1⊥平面ABC
D ， ,3==CD CB O 是BD 的中点，
∴11C D C B =。

O 是BD 的中点,∴1OC ⊥BD .。

.。

...。

..。

3分
1,24E -（0，）
，,00)2B ，
，13(0,2C
∴13(0,2OC =
,1(,,)224BE =--.
13310()02224
OC BE =-
+⨯-+=,∴1OC ⊥BE .。

....。

...。

.。

.。

.。

.。

.。

.。

.。

5分
BE 与BD 相交于O ， ∴1OC ⊥平面EBD .
1
OC 在平面
BD
C 1内， ∴平面EB
D ⊥平面
BD C 1。

..。

.。

.。

..。

.。

.。

.。

....。

...。

..。

...。

.。

..。

.。

...。

.6
分
(2) 解法一： （若第1问已经建系）
(1,0,0)A ，DA ⊥平面1C
DC ，∴(1,0,0)DA =是平面1C DC 的一个法向量。

....。

.8分
3,
22B （,1C
, 3(,22
DB =,1DC = 设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z
=，则10,0
m DB m DC ⎧
=⎪⎨=⎪⎩，302
x
y ⎧=⎪⎨+=， 取1,x =
得y z ==。

平面
BD
C 1的法量
(1,m =-.。

.。

.....。

.。

.。

.。

.。

.。

...。

.。

..10分
【另解:由（
1）知当13A E
AE =时，ME ⊥平面BD C 1，则平面BD C 1的法向量是
ME =1(,444
-
】 cos ,||||
DA m
DA m DA m •<>=
⨯。

.。

..。

.。

.。

.。

...。

.。

.。

....。

.。

.。

..。

.。

.。

..。

..。

........。

.。

....。

11分
=∴
由图可知二面角
1C C D B
的平面角的余弦值为
7
....。

..。

.。

....。

.。

.。

.。

.。

.。

.。

12分 解法二： （第1问未建系)
60BCD ∠=，,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=,2= C A
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. 。

.。

.。

.。

.。

.。

7分
(1,0,0)A ，DA ⊥平面1C DC ， ∴
(1,0,0)DA =是平面
1C DC
的法向
量..。

..。

.。

..。

....。

.。

...。

...。

.。

..。

....。

...。

....。

.。

.。

.。

..。

.。

.....。

.。

.。

.8分
32B （
，1C ，
3(2DB =
，1(0,DC =, 设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z =，则10,0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，3022
x y ⎧+=⎪+=, 取1,x
=
得y z ==。

平面
BD
C 1的法
量
(1,m =-..。

.。

.。

....。

.。

.。

.。

.。

.。

...。

.。

10分
cos ,||||
DA m
DA m DA m •<>=
⨯。

.。

.。

.。

...。

..。

..。

.。

.。

..。

..。

...。

..。

...。

.。

.。

.....。

.。

.。

.。

....。

..。

..。

..。

(11)
7
=.∴由图可知二面角1C
C D B 的平面角的余弦值为
7。

.。

.。

..。

.。

........。

..。

.。

.。

.12分 解法三： (几何法） 设
N 是CD 的中点，过N 作
NF ⊥D C 1于
F ，连接FB ,如
图。

.。

..。

.。

..。

..。

.。

..。

.。

.。

.。

.。

..。

.。

.7分
60BCD ∠=,,3==CD CB ∴ NB ⊥CD 。

分
侧面D C 1⊥底面ABCD ， ∴ NB ⊥侧面D C 1...。

..。

.8
NF ⊥D C 1,∴BF ⊥D C 1
∴
∠BFN 是二面角
1C C D B
的平面
角。

..。

..。

...。

...。

.9分
依题意可得
NB =
3
2, NF
=4
,BF
=
4。

...。

..。

.。

..。

.11分 ∴cos ∠BFN =
NF
BF
∴二面角1C C D B。

..。

..。

...。

12分
20。

(本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
) 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ，1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点,过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点(其中点A 在第四象限内）。

(1)若||4||MB AM =,求直线l 的方程；
(2）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上,直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值。

解
:
（
1
）
解
法
一
：
由
题
意
得
抛
物
线
方
程
为
24y x =..。

......。

.....。

.。

..。

...。

.。

.。

.。

..。

..。

....。

.。

....。

.。

..。

..。

(1)
分 设
直
线
l
的方程为
4x my =+。

..。

...。

.。

.。

.。

.。

...。

.....。

.。

..。

..。

...。

.。

.。

....。

.。

.....。

.。

..。

..。

..。

..。

.。

.。

.。

....2分
令
2
11(,),4y A y 22
2(,),4
y B y 其中
10
y <.由||4||MB AM =，得
214y y =-..。

....。

....。

.。

..。

.。

.。

...。

.。

3分
联立24,4,y x x my ⎧=⎨=+⎩可得24160y my --=,12211
216,
4,4y y y y y y m
=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩解得12y =-,28y =,..。

.。

.。

..。

..。

4分
∴3
2
m =
.。

.。

..。

.。

.........。

.。

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...。

.。

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....。

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..。

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...。

......。

.。

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..。

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.。

.。

......。

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....。

.....。

.。

....。

..。

5分
∴
直线l 的方程为
2380x y --=.。

...。

..。

.....。

.。

.。

..。

.。

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.。

..。

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..。

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.。

....。

.。

...。

..。

..。

6分 解
法
二
:
由
题
意
得
抛
物
线
方
程
为
24y x =..。

...。

.。

.。

.。

...。

....。

.。

.。

.。

...。

.。

..。

......。

.。

.。

....。

.。

.。

.。

..。

1分 设
直
线
l
的方程为
(4)y k x =-。

.。

..。

.。

.。

..。

.。

.。

..。

.。

..。

...。

.。

..。

.....。

....。

.。

.。

..。

..。

.。

.。

.。

..。

.2分 令
2
11(,),4
y A y 22
2(,),4
y B y 其中
10
y <。

由||4||MB AM =,得
214y y =-.。

.....。

..。

....。

..。

.。

..。

..。

.。

.。

3分
联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得24160ky y k --=，1221124,
4,16
y y k y y y y ⎧
+=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩
解得12y =-，28y =,。

...。

..。

.。

....。

∴2
3
k =。

.....。

.。

.。

...。

........。

...。

.。

....。

.。

...。

......。

..。

.。

.。

.....。

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..。

...。

.。

.。

.。

..。

..。

...。

.。

...。

.....。

..。

..。

.。

..。

5分
∴
直线l 的方程为
2380x y --=.。

....。

..。

..。

.。

.。

...。

.。

..。

.。

.。

.。

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.。

...。

.。

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...。

..。

.。

.。

.。

.。

6分 解
法
三
:
由
题
意
得
抛
物
线
方
程
为
24y x =。

..。

...。

.。

.。

...。

..。

.......。

.。

...。

.。

.。

.。

.。

...。

.。

....。

.。

.。

.。

..。

..1分 设
直
线
l
的方程为
(4)y k x =-..。

.。

.。

....。

...。

.。

..。

.。

.。

.。

...。

.....。

..。

...。

...........。

..。

..。

.。

.。

.。

..。

.。

.。

..。

2分 令11(,),A x y 22(,),B x y 其中2140,x x >>>由||4||MB AM =, 得21204,0x x k =->。

.。

.。

..。

...。

.3分
联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得2222
(84)160k x k x k -++=，2122211284
,204,16
k x x k x x x x ⎧++=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩
解得
11x =,216x =,.。

...。

......。

.。

.。

...。

........。

.。

..。

.。

.。

.。

.。

..。

.....。

..。

.。

.。

..。

.。

......。

.。

..。

..。

..。

.4分
∴2
.3
k =。

..。

....。

...。

....。

.。

......。

.。

..。

.。

.。

....。

.。

...。

.。

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...。

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.。

...。

..。

.。

.。

.。

..。

..。

..。

.。

.。

.。

∴
直线l 的方程为
2380x y --=.。

.。

.。

.。

..。

.。

....。

..。

...。

..。

.。

.。

.。

.。

..。

.。

.。

.。

..。

.。

...。

...。

6分 第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。

(2）设出直线l 方程，得1分
（3）求出A ，B 两点横纵标关系（12420x x -=)或纵坐标关系(214y y =-），得1分 (4）联立方程组，求出纵坐标（12y =-,28y =）或横坐标(11x =216x =)，得1分 (5）求出待定的字母,得1分
(6）下结论，写对直线l 方程，得1分。

（若学生得两种结果，不得分） （2)设00(,)P x y ，直线:4,
l x my =+点P 在抛物线2C 上，
∴直线l 的斜率存在，0.m ≠…………………………………7分
,O P 关于直线:4l x my =+对称,所以00004,2
211,x y m y m x ⎧=⨯+⎪⎪⎨
⎪⨯=-⎪⎩
.解得0202
8,18,1x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.。

.。

...。

.。

..8分
故22
88(,)11m P m m
-++代入抛物线2C ：2
4y x =,可得11,m =21m =- .。

.。

...。

.....9分 直线l 的方程为4x y =+或
4x y =-+..。

....。

..。

.........。

..。

..。

....。

...。

.。

.。

..。

.。

....。

....。

.10分
设椭圆为2
2
11x y λλ+
=-，(1)λ>. 联立直线和椭圆，消去x 整理得 22(21)8(1)17160y y λλλλ-±--+-=0,∆≥
∴
2264(1)4(21)(1716)0.λλλλ-+--+≥解得
17
2
λ≥....。

...。

..。

..。

..。

....。

.。

...。

....。

.。

..。

..11分
则
217,2
a ≥
即2
a ≥
.∴椭圆
1
C 的长轴长的最小值为。

.。

.。

.。

...。

...。

.。

..。

..。

..。

.。

.。

..。

.。

.12分
第二问得分点分析：
（1)点P 坐标算对，得2分，若点P 坐标不对，有过程,过程无论对错，得1分 （2）利用对称关系，得到点P 坐标与待定字母之间关系，得1分。

、 （3）将点P 坐标代入抛物线方程，求出待定字母,得1分。

(4）写出直线方程，得1分。

（5）由直线与椭圆有公共点，得椭圆方程中待定字母的范围，得1分 (6)求出长轴长的最小值，得1分
(另外:若设直线方程为(4)y k x =-,则222
88(,)11k k
P k k
-++代入抛物线2C ：24y x =,得1,k =±直线l 的方程为(4)y x =±-。

也对应给分）
21。

(本小题满分12分）(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数ax x x f -=ln )(，a x
x g +=
1
)(。

(1)讨论函数)()()(x g x f x F -=的单调性；
（2)若0)()(≤⋅x g x f 在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）a x
ax x x g x f x F --
-=-=1
ln )()()(，(0)x 。

'211
()
F x a x x
...。

.。

...。

.。

.....。

.。

.....。

.。

.。

.。

..。

...。

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..。

..。

...。

.。

...。

.。

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.。

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....。

..。

.。

...。

.。

...。

...。

1分 ①若0≤a 时，0)(>'x F ，则)()()(x g x f x F -=在），（∞+0上是增函数。

.....。

..2分 ②
若
>a 时，则)
()()(x g x f x F -=在），
（a
a
24110++上是增函
数。

..。

.。

.。

...。

..。

.....3分
)()()(x g x f x F -=在
）
，（∞+++a
a 2411上是减函
数。

..。

.。

.。

.。

....。

....。

.。

.。

.。

..。

..。

.。

..。

.。

..。

4分 (说明:(1）)(),(x g x f 分别求导正确没有作差也给1分求导分， （2）忘记讨论0=a 且0<a 单调性正确，不扣分，这1分也给。

） （2）若0)()(≤⋅x g x f 在定义域内恒成立,考虑以下情形: ①当0)(≤x f ，0)(≥x g 同时恒成立时， 由
x
x
a ax x x f ln 0ln )(≥
≤-=，恒成
立。

....。

.。

..。

.。

.。

.。

.。

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...。

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....。

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....。

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.。

..5分 得:1
e
a
...。

...。

....。

..。

.....。

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..。

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..。

..。

..。

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.....。

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...。

.......。

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..。

.。

..。

..。

..。

.。

...。

...。

...。

6分 ∵由
1
,0)(≥+≥a x
x g 恒成立得：0≥a 。

∴1
e
a .。

.。

..。

..。

.。

.。

.。

..。

.。

.。

..。

...。

.。

.。

.。

.。

..7分 ②
当
)(≥x f ,0)(≤x g 同时恒成立时，a 不存
在；.。

.。

...。

......。

.。

.。

.。

....。

..。

.。

...。

.。

..。

8分 ③当
<a 时，∵ax x x f -=ln )(为增函数，a x
x g +=
1
)(为减函
数， 。

.。

......。

.。

.。

.。

.。

.。

..。

9分 若
它
们
有
共
同
零
点
,
则
)()(≤⋅x g x f 恒成
立。

..。

.。

.。

...。

.。

..。

....。

.。

..。

.。

..。

....。

...。

...。

..。

..。

.。

.。

..10分 由
0ln )(=-=ax x x f ，01
)(=+=
a x
x g ，联立方程组解得：
e a
.。

.。

..。

.。

.。

...。

..。

.。

.。

....11分
综
上：1e
a
或
e a
..。

.。

.。

.。

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..。

....。

...。

...。

.。

..。

.。

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..。

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..。

....。

..。

..。

.。

..。

..。

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....。

.。

.。

.。

12分 22. (本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
已知圆E 的极坐标方程为θρsin 4=，以极点为原点、极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0,[0,2))θπ∈。

若倾斜角为34
π
且经过坐标原点的直线l 与圆E 相交于点A （A 点不是原点）.（1)求点A 的极坐标;
(2）设直线m 过线段OA 的中点M ，且直线m 交圆E 于B ,C 两点，求||||||MB MC -的最大值. 解： (1) （解法一）直线l 的倾斜角为34π，∴点A 的极角34
π
θ=。

..。

...。

.。

.。

.。

.。

.。

.。

1分
代入圆E 的极坐标方程得
ρ=。

.。

.。

.。

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......。

..。

.。

..。

..。

.。

..。

....。

.。

...。

..。

.。

.。

..。

.。

...。

..2分
∴点A 的极坐标
3
)4
π
.。

..。

.....。

.。

..。

....。

..。

.。

.。

.。

........。

.。

.。

.。

.。

..。

.。

.。

.....。

....。

.。

.。

.3分 (解法二）由已知得直线的l 的直角方程为y x =-①,
圆E 的直角坐标方程为
2240x y y +-=②。

.。

..。

..。

.。

...。

.。

...。

...。

..。

...。

.。

..。

..1
分
（写对其中一个方程均给1分) 联立①②得A 点直角坐标为(—2，
2)，。

.。

...。

.。

...。

..。

.。

.。

...。

.....。

...。

.....。

.。

....。

.。

2分
由tan y x ρθ==
得A 点极坐标A 34π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
..。

.。

.。

.。

...。

.。

..。

.。

3分
（不写公式不扣分）
(2)（解法一，第一（1)问用极坐标做的）由(1）得线段OA 的中点M 的极坐标是3)4
π
， ∴
M 的直角坐标为
(1,1)-。

...。

.。

.。

.。

.。

....。

...。

..。

..。

.。

.。

....。

.....。

....。

...。

.。

.。

.。

..。

.。

.。

.。

..。

4分 圆E 的极坐标方程为θρsin 4=，
∴
圆E 的直角坐标方程为
2240x y y +-=。

.。

...。

.。

.。

.。

..。

...。

.。

..。

.。

..。

.。

..。

..。

.。

..。

.....。

...。

5分 设
直
线
m
的参数方程为
1cos ,
1sin ,
x t y t αα=-+⎧⎨
=+⎩(t 为参
数).。

...........。

.。

....。

..。

..。

....。

....。

.。

......。

6分 代入2240x y y +-=得22(sin cos )20t t αα-+-=.24(sin cos )80αα∆=++>
,
设
,B C
的参数依次为
12
,t t ，则
122(sin cos )t t αα+=+。

.。

.。

.。

..。

.。

.。

..。

.。

.。

..。

...。

...。

.。

.。

...。

.。

7分
∴||||||MB MC -12||||||t t =-12||t t =+。

..。

...。

.。

.。

.。

..。

.。

.。

.。

.。

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(8)
2|sin cos |αα=+sin()|4πα=+。

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..9分
∴
||||||MB MC -的最大值为|(此时直线m 的倾斜角为
4
π
).。

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..。

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..。

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...。

10分 （解法二）由（1）知A （2，—2),则M(1，-1)………………1分 222+=+=ME MB man …………………………3分 222-=-=ME MC mIn ……………………………5分 22min max =-≤-MC MB MC MB ………………6分
（解法三）由（1)A 点直角坐标为（-2,2)，M 是OA 中点，所以M 点坐标为（—1,1）...。

.4分
圆E 的极坐标方程为θρsin 4=，
∴
圆E 的直角坐标方程为
2240x y y +-=.。

.....。

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...。

.5
分
当BC⊥x 轴时，直线BC 方程为1x =-.。

..。

....。

..。

..。

...6分(会分类就给1分）
{
{
2
2
1
402x x x y y y ==-⇒+-==+
{
2x y ==-
不妨设(1,2(1,2B C ---+
||||||2121112MB MC -=---+=
---=.。

.。

.......。

.。

.。

7分
当BC 与x 轴不垂直时，设直线BC 方程为1(1)y k x -=+，1122(,),(,)B x y C x y
{
22
1(1)
40
y k x x y y -=++-=消y 得()()222121230k x k k x k k ++-+--= ()212122
22123,
,11k k k k x x x x k k ---+=-
=++
.。

..。

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..。

.8分
设1122(,
),(,)B x y C x y ,121,
1
MB MC =+=+
12||||||11MB MC -=++。

....。

..。

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..。

...。

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.......。

......。

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.。

9分
1212||||||11
2
MB MC x x -=+-+=++ （若会用两点间距离公式给1分）
=()()22211221121k
k k k k k ++=++--
+…………………8分 =k k
k
k 121212122
+≥++
………………………9分 =22 ……………………10分
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）解不等式4|3||1|<+++x x ；
(2）若b a ,满足（1）中不等式，求证：2|||22|a b ab a b -<++. 解:(1)当3x <-时|1||3|x x +++13244x x x =----=--<, 解得4x >-.所以43x -<<-。

当31x -≤<-时|1||3|x x +++1324x x =--++=<， 解得31x -≤<-
当1x ≥-时|1||3|13x x x x +++=+++244x =+< 解
得
x <所以
10x -≤<.....。

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4分
(分类标准对统一给1分，每个不等式去掉绝对值正确各给1分） 不
等
式
4
|3||1|<+++x x 的解集为
{}04|<<-x x ；.。

..。

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6分
（2）证明:（解法一)()()2
2224b a ab b a ++--……………………7分
=ab ab b a b a 16442222+++…………………8分
=())4(4++a b ab >0………………………………9分
∴ ()()2
2
224b a ab b a ++--
∴
b a ab b a 222++<-……………………10分
(解法二）
40,40a b -<<-<<...。

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..7分 则
ab a b a -<<+4,0)4(,b a ab b a 2222---<-.。

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..8分 同
理
b a b a ab 2222-<++，。

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9分
所以-<++....。

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a b ab a b
2|||22|。

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10分
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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