课件10：4.3.1 空间直角坐标系

[成功破障] 如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1 中，以正方体的3条棱所在直线为轴建立空间直 角坐标系Oxyz.
(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐 标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标； (2)在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M 的坐标．
解：(1)由题意知 P 的坐标为23，23，13，
P 关于 y 轴的对称点 P′的坐标为－23，23，－13.
(2)设线段 C1D 上一点 M 的坐标为(0，m，m)，
则有|MP|＝
－232＋m－232＋m－132
＝ 2m2－2m＋1＝
2m－122＋12.
当 m＝12时|MP|取得最小值 22，所以点 M 为0，12，12.
题型二 空间中点的对称
[例2] (1)点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的
坐标分别是________．
(2)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1
关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为
P3，则点P3的坐标为________．
答案：(1)(1,2,1)，(1，－2,1)
A. 2a
2 B. 2 a
C．a
D．12a
答案：B
空间直角坐标系的应用误区
[典例] 如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都为2， 侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．
解：取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1，可得 BO⊥AC，分别以 OB，OC，OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 因为三棱柱各棱长均为 2，所以 OA＝OC＝1，OB＝ 3，可得 A(0， －1,0)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1( 3，0,2)，C1(0,1,2)．
[活学活用] 如图所示，V-ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E，F 分别为 BC， CD 的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标 系，试分别写出各个顶点的坐标．
解：∵底面是边长为 2 的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1. ∵O 点是坐标原点，∴C(1,1,0)， 同样的方法可以确定 B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)． ∵V 在 z 轴上，∴V(0,0,3)．
[例1] 如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F 分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶ |AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F 点的坐标．
解：以 A 为坐标原点，射线 AB，AD，AA1 的方向分别为正方向建 立空间直角坐标系，如图所示．分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4， 则|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝12|AB|＝12，所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－12＝32. 所以点 E 的坐标为1，32，0，点 F 的坐标为(1,2,1)．
(2)(2，－3,1)
[活学活用]
1．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点
的坐标为( )
A．(－3,1,5)
B．(－3，－1,5)
C．(3，－1，－5)
D．(－3,1，－5)
答案：A
2．点P(－3,2，－1)关于平面xOy的对称点是_______，关于 平面yOz的对称点是________，关于x轴的对称点是______， 关于y轴的对称点是________． 答案：(－3,2,1) (3,2，－1) (－3，－2,1) (3,2,1)
4.3.1 空间直角坐标系
知识点一 空间直角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ标系的建立及坐标表示 [导入新知]
1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：从空间某一定点引3条两两垂直，且有相同单位 长度的数轴：_x_轴__、__y_轴__、__z_轴__，这样就建立了_空__间__直__角__坐__标__系__Oxyz. (2)相关概念：__点__O_叫做坐标原点，_x_轴__、__y_轴__、__z_轴__叫做坐标轴．通 过_每__两__个__坐__标__轴__的平面叫做坐标平面，分别称为_____xO__y___平面、 ____yO__z____平面、____z_O_x____平面．
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2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向____x_轴_____的正方向，食指 指向____y_轴_____的正方向，如果中指指向____z轴______的正方向，则 称这个坐标系为右手直角坐标系． 3．空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用__有__序__实__数__组__(x_，__y_，__z_)_来表示， _有__序__实__数__组__(_x_，__y_，__z_) 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 _M__(x_，__y_，__z_)．其中___x__叫点M的横坐标，__y___叫点M的纵坐标， ___z __叫点M的竖坐标．
题型三 空间中两点间的距离 [例3] 如图所示，已知正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a， M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN| 的长．
解：由题意应先建立坐标系，以 D 为原点， 建立如图所示空间直角坐标系． 因为正方体的棱长为 a，所以 B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)， D′(0,0，a)．由于 M 为 BD′的中点，取 A′C′的中点 O′， 所以 Ma2，a2，a2，O′a2，a2，a.
知识点二 空间两点间的距离公式
[导入新知]
1．点 P(x，y，z)到坐标原点 O(0,0,0)的距离|OP|＝ x2＋y2＋z2. 2．任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝
(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.
题型一 空间中点的坐标的确定
因为|A′N|＝3|NC′|，所以 N 为 A′C′的四等分点， 从而 N 为 O′C′的中点，故 Na4，34a，a. 根据空间两点间的距离公式，
可得|MN|＝
a2－a42＋a2－34a2＋a2－a2＝
6 4 a.
[活学活用]
如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体
ABCD-A1B1C1D1，A1C 的中点 E 到 AB 的中点 F 的距离为( )