谈不定积分分部积分法中数学思想方法的探讨

谈不定积分分部积分法中数学思想方法的探讨
【摘要】在分部积分法教学中，u与dv 的选择作为教学难点,学生对其预见性往往难以把握, 本文从数学思想指导数学方法的层面，探讨了如何确定分部积分法中的u 与dv。

【关键词】不定积分分部积分法数学思想方法化归
在分部积分法教学中，u 与dv 的选择作为教学难点,初学者往往对u 与dv 的选择的预见性难以把握, 为了突破这一难点，许多具有多年教学实践的教师结合学情，总结出很多关于选择u与dv 的口诀或规律, 帮助学生快速掌握分部积分法。

但这种掌握仅仅停留在对公式或口诀的机械套用上，学生只会按部就班，而不知道为什么要这样做。

现代教学观认为：“数学应该是做出来的数学———作为活动，它是动态的、可创作的，结论或操作程序是未知的”。

学习的目的是理解其意义，寻求在合适水平上的合理解答。

因此，在分部积分的教学中，教学过程不能简单地停留在把积分公式和u 与dv 的选择口诀或规律直接交给学生这个高度，而应该让学生知道公式是在解决什么问题的时候联想到的，口诀是如何总结出来的，以及口诀背后的内涵。

一、公式产生的原因和推导在引导分步积分法的公式时，教学模式一般都是直接由设函数u=ux；v=vx 具有连续导数,根据函数乘积的微分运算法则有:duv=vdu+udv，移项得udv=duvvdu，两边积分得乙udv=uv- 乙vdu 继而给出选择u、v 的口诀，最后通过大量习题的演练从而达到熟练应用。

在这个过程中，分步积分法公式的到来和方法、口诀的出现，既突然又神秘。

数学方法的出现，总是人们在实践生活中解决问题时，在一定数学思想的指导下产生的，那么分部积分法是在解决什么问题时产生的呢？分部积分法是在解决诸如乙xn ex dx、乙xn cosxdx 等积分问题时出现的，显然被积函数既不能用直接积分法求得原函数，也不能用换元法来代换后再积分，因此只能回过头再来观察被积函数xex。

如果被积函数只是ex，它的原函数就是ex+c。

但如何将xex转变成ex=1·ex？也就是将x 如何转变为1？显然学生会立刻想到刚刚学习的最熟悉的导数可以将x 如何转变为1，也就是要把x 导一次而ex 不导，被积函数就可以转变为ex 了，也就是“前导后不导”，这样，学生自然而然联想到了函数乘积的导数问题，即乙uv 乙′＝u′v+uv′。

但是积分与微分互为逆运算，因此又联想到了函数乘积的微分运算法则，即duv=vdu+udv移项得udv=duv-vdu，两边积分得乙udv=uv- 乙vdu，用这个公式就可以实现将x 转变为1 的愿望，只需要让x 扮演公式中u的角色，而exdx 转变为dex 就知道v 的角色是ex 扮演了。

这样，乙xexdx 的积分问题也就迎刃而解了。

回头想一想，指导问题解决的数学思想方法其实就是化归的思想方法，也就是无法用直接积分法和换元积分法积分的积分问题，可以将被积函数导一次，转化为被积函数可以用直接积分法或换元法求原函数的问题。

二、运用化归的数学思想方法解决有关分部积分的不定积分问题例1：求乙x cos xdx分析:被积函数是幂函数与三角函数的乘积，用直接积分法和换元法都不能求解，但cosx 的原函数是sinx，因此需要把被积函数x cos x 转化为cos x，也就是x 将一阶导转化为1，故x 就是u 的角色，即解:设u=x，dv=cos dx=d sin x，故v=sin x 由分部积分法的公式，有乙xcos xdx= 乙xd sin x=x sin x- 乙sin xdx=x sin x+cos x+c总结：被积函数是幂函数与三角函数的乘积时，将幂函数设为u，通过导数将幂函数转化为1。

例2：求乙x2exdx分析：被积函数是幂函数与指数函数的乘积,指数函数是不能通过导数转化为1 的，因此只能将幂函数通过导数转化为1，这里的幂函数是x2，因而要导两次，即解：设u=x2，dv=exdx=dex 故v=ex由分部积分法的公式可得到:
乙x2exdx= 乙x2dex =x2ex- 乙exdx2=x2ex- 乙2xexdx=x2ex- 2 乙xexdx对等式右边的不定积分是很熟悉的，只要再次用分部积分法求之，即再设有u=x，dv=exdx=dex，故v=ex，有乙x2 ex dx= 乙x2 dex=x2 ex - 乙ex dx2=x2 ex- 乙2xex dx=x2 ex -2 乙xex dx=x2 ex - 2 乙xdex=x2 ex -2(xex - 乙ex dx)=x2 ex - 2xex +ex +c例3：求乙xlnxdx分析:被积函数是幂函数与对数函数的乘积，如果按上面的思维模式，将x 通过导数转化为1，那样被积函数就转化为lnx，但是lnx 的原函数却不知道是什么，直接积分和换
元积分法也无法解决，因此需要转化的是lnx 而不是x，也就是通过导数将lnx 转化成我们可以知道它的原函数的函数。

可以吗？显然可以，因为lnx 的导数是1x，即解：设lnx=u，dv=xdx=d12x2，故v=12x2
由分部积分的公式，有乙xlnxdx= 乙lnxd12x2=12x2 lnx-乙12x2 dlnx=12x2 lnx-12乙x2·1xdx=12x2 lnx-12乙xdx=12x2 lnx-14x2 +c例4：求乙ex sin xdx分析:被积函数是指数函数与三解函数的乘积, sin x 和ex 通过导数都不能转化为1,第一感觉是不能用分部积分法解决问题，但是也不能用直接积分法和换元积分法求解，还是回到分部积分法上，发现sin x 的二次导数是- sin x，而ex 的导数是本身，等式的右端也出现了式子乙ex sin xdx，即解：设u=sin x，dv=exdx=dex，故v=ex由分部积分法的公式，有乙ex sin xdx= 乙sin xdex =ex sin x-乙ex d sin x=ex sin x- 乙cos xex dx对等式右边不定积分再次用分部积分法,即设u=cos x，dv=exdx=dex，故v=ex，于是乙ex sin xdx=ex sin x- 乙cos xex dx=ex sin x- 乙cos xdex=ex sin x-（excos x- 乙exdcos x）=ex sin xex cos x- 乙sin xex dx移项、整理得乙ex sin xdx=ex sin x-ex cos x+c例5：求乙x arctan xdx分析: 被积函数是幂函数与反三角函数乘积，若把被积函数中的x 转化为1，被积函数arctan x 的原函数是不知道的，所以需要把arctan x 通过导数转化为能够求解原函数的被积函数，即解: 设u=arctan x,dv=xdx=d12x2 ，故v=12x2由分部积分法的公式可得乙xarctan xdx = 乙arctan xd 12x 2 =12x2 arctan x- 乙12x2 d arctan x=12x2 arctan x-12乙x21+x2 dx=12x2arctan x-12乙（1- 11+x2）dx=12arctan x-12x+12arctan x+c三、分部积分法解决不定积分问题的指导思想显然，运用分部积分法解决有关不定积分的问题时，不需要机械的记忆口诀或规律，关键是理解在被积函数中，总是把乘积中的不想要的或不知道原函数的被积函数，通过导数转化为1 或知道原函数的被积函数，该函数即为，同时，剩余的部分要能够凑dv 出来。

【参考文献】
[1]刘贵濂. 高等数学[M].北京:机械工业出版社，2006
[2]樊映川.高等数学讲义：上册[M].北京:人民出版社，1964
[3]钱佩玲.数学思想方法与中学数学[M].北京:北京师范大学出版社，2008。