点的运动学

lim α α
PP
第5节 自然坐标系
密切面与自然轴系
由密切面得到的几点结论
空间曲线上的任意点都存在密切面，而且 是唯一的
空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段 弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。
曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的 曲率，用1/ 表示。
曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称 为第二曲率。
t 瞬时: 速度 v(t)
t＋ t 瞬时:速度 v(t ＋ t )
v´
或v(t)＋ v(t)
t 时间间隔内速度的改变量
v(t)＝ v (t ＋ t )－ v(t)
y 点在 t 瞬时的加速度：
x
a lim v d v v t0 t dt
a d 2 r r dt 2
第3节 速度与加速度的矢径表示法
对于直线坐标，位于坐标轴 的正向；
对于直角坐标系，位于坐 标系的第一象限。
第4节 速度与加速度的直角坐标表示法
例题
几点讨论
2、关于P点运动的性质：何时 作加速度运动？何时作减速度 运动？
第5节 速度与加速度的弧坐标表示法 弧坐标要素与运动方程
如果点沿着已知的轨迹运动， 则点的运动方程，可用点在已 知轨迹上所走过的弧长随时间 变化的规律描述。
点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于 点的相应坐标对时间的一阶导数。
第4节 速度与加速度的直角坐标表示法
加速度
a v xi y j zk ax i ay j az k
ax x , ay y , az z
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影 等于点的相应坐标对时间的二阶导数。
第4节 速度与加速度的直角坐标表示法
其中
dt ds dt
d r lim r 1 ds t0 s d r 的方向与P点的切线方向一致 ds
所以
d r＝τ
而
ds
ddst＝s＝vτ
第6节 速度与加速度的自然坐标表示法
速度
弧坐标中的速度表示
v d r d r ds dt ds dt
d r＝τ
ds
ddst＝s＝vτ
v vτ τ
第6节 速度与加速度的自然坐标表示法
加速度
弧坐标中的加速度表示
a vτ τ vττ τ ?
τ dτ dτ d ds dt d ds dt
dτ ? n 1
d ρ
s vτ
第6节 速度与加速度的自然坐标表示法
加速度
弧坐标中的加速度表示
a vτ τ vττ
τ dτ dτ d ds v n dt d ds dt
刚 体的运动形式
一般运动－刚体最一般的运动。
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
平 移－刚体运动过程中，其上之任意直线 始终平行于这一直线的初始位置。
定轴转动－刚体运动过程中，有一直线始终 保持不动。
平面运动－刚体运动过程中，其上各点到某 一固定平面的距离始终保持不变。
定点运动－刚体运动过程中，其上某一点始 终保持不动。
第5节 自然坐标系
密切面与自然轴系
自然轴系
自然轴系P－TNB
B(副法线) N(主法线) s +
sP
T(切线)
P－空间曲线上的动点；
T－ 过动点P的密切面内 的切线，其正向指向 弧坐标正向；
N－ 密切面内垂直于切线 的直线，其正向指向 曲率中心；
B－ 过动点P垂直于切线 和主法线的直线，其 正向由B＝T N确定。
方向。
第6节 速度与加速度的自然坐标表示法
加速度
弧坐标中的加速度表示
根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式
a v , v vττ
a vτ τ vττ
τ ?
第6节 速度与加速度的自然坐标表示法
加速度
弧坐标中的加速度表示
a vττ vττ τ ?
τ dτ dτ d ds
dt d ds dt
速度
弧坐标中的速度表示
v vτ τ
vτ
ds dt
s
点的速度在切线轴上的投影等于 弧坐标对时间的一阶导数。
第6节 速度与加速度的自然坐标表示法 几点讨论
速度
v vτ τ
若 s 0 ,则 vτ 0 ，即点沿着s+的方向运动；
反之点沿着s－的方向运动；
v vτ τ 中 v 和 分别表示速度的大小与
P´
t 瞬时: 矢径 r(t)
t＋t 瞬时: 矢径 r (t ＋ t )
r(t) r (t ＋ t )
或r(t)＋r(t)
t 时间间隔内矢径的改变量
r(t)＝ r (t ＋t )－ r(t)
y 点在 t 瞬时的速度
x
v lim r d r r t0 t dt
第3节 速度与加速度的矢径表示法
第2节 决定点运动的基本方法 点的运动方程
描述点运动的变矢量法
运动方程－变矢量法中，运动方程用点 在任意瞬时t的位置矢量r(t)表示。 r(t)简 称为位矢。
运动方程
zP
P´
r r´ r P
y
r = r (t)
x
第3节 速度与加速度的矢径表示法 速度
第3节 速度与加速度的矢径表示法
速度
zP
v
第5节 自然坐标系 弧坐标要素与运动方程
弧坐标具有以下要素： 1、有坐标原点(一般在轨迹上 任选一参考点作为坐标原点)； 2、有正、负方向(一般以点的 运动方向作为正向)； 3、有相应的坐标系(自然轴系)。
第5节 自然坐标系 密切面
密切面与自然轴系
第5节 自然坐标系 密切面
密切面与自然轴系
当P´点无限接近于 P点时，过这两点的切 线所组成的平面，称为 P点的密切面。
例题
椭圆规机构
ω ＝ ＝常数， OA AB AC l , BP d
求：P点的运动方程、速度、加速度。
第4节 速度与加速度的直角坐标表示法
例题
椭圆规机构
ω ＝ ＝常数， OA AB AC l , BP d
求：P点的运动方程、速度、加速度。
第4节 速度与加速度的直角坐标表示法
例题
椭圆规机构
P点的Байду номын сангаас动方程：
x (2l d )cos (2l d )cosωt y dsin dsin ωt
从中消去t得到P点的轨迹方程
x
2
y
2
1
2l d d
第4节 速度与加速度的直角坐标表示法
例题
P点的运动方程：
x (2l d )cos (2l d )cosωt y dsin dsin ωt
第二篇 运动学 第7章 点的运动学
第1节 运动学的基本概念
运动学的主要内容
运动学所涉及的研究内容包括： 建立物体的运动方程 分析物体运动的速度、加速度、 角速度、角加速度等 研究物体运动的分解与合成规律
运动学与机构运动分析
机构的运动学设计
运动学与机构运动分析
机构的运动学设计
运动学与机构运动分析
ω ＝ ＝常数， OA AB AC l , BP d
求：P点的运动方程、速度、加速度。
1、建立固定参考系Oxy； 2、将所考察的点置于坐 标系中的一般位置；
3、根据已知的约束条件 列写点的运动方程。
第4节 速度与加速度的直角坐标表示法
例题
1、建立固定参考系Oxy； 2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置； 3、根据已知的约束条件列写点的运动方程。
一般运动－刚体最一般的运动。
结论与讨论
几点结论
运动学的两种模型－点与刚体 刚体运动的5种形式
平 移； 定轴转动； 平面运动； 定点运动； 一般运动。 变矢量对时间导数的含义及其与参考 系的相关
结论与讨论
讨论
分析、比较物理学与工程力学中运动学 的研究对象与研究内容的相同点与不同 点。
结论与讨论
讨论 列举生活中和工程中有关平移、 定轴转动和平面运动的实例。
P点的速度：
vx x ω (2l d )sin ωt vy y ωd cosω t
P点的加速度：
ax x ω 2 (2l d )cosωt ay y ω 2dsin ωt
第4节 速度与加速度的直角坐标表示法
例题
几点讨论
1、 建立运动方程时，一定要 将所考察的点置于坐标系中的 一般位置：
曲柄－滑块机构的动力均衡问题
运动学模型及其运动形式
运动学模型 点和刚体的运动形式
运动学模型及其运动形式
工程运动学模型
点 刚体
运动学模型及其运动形式
工程运动学模型
接触轨道之前， 保龄球可以看作一 个点；
接触轨道之后， 保龄球在摩擦力 作用下发生滚动， 这时保龄球不再 是一点，而必须 看作刚体。
运动学模型及其运动形式
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
平面运动－刚体运动过程中，其上各 点到某一固定平面的距离始终保持不变。
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
平面运动－刚体运动过程中，其上各 点到某一固定 平面的距离始终保持不变。
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
定点运动－刚体运动过程中，其上某一点始终保持 不动。
机构的运动学设计
运动学与机构运动分析
输入定轴转动
机构
机构的运动学设计
输出直线平移
运动学与机构运动分析 机构的综合与分析
机构的运动学设计
综合－已知输入和输出运动，要求设计 机构的样式。
分析－已知机构的样式，根据输入运动， 求输出运动，或者相反。
运动学与机构运动分析
机构的动力学设计
机构的运动分析是机构动力学设计 的必需步骤
加速度
a lim v d v v t0 t dt
加速度 － 描述点在 t 瞬时速度大小和方 向变化率力学量。加速度的方向为 v的 极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) 加 速度大小等于矢量a的模。
第4节 速度与加速度的直角坐标表示法
速度
v r x i y j z k vx i vy j vz k vx x , vy y , vz z
a dvτ vτ 2 n dt
第6节 速度与加速度的自然坐标表示法
弧坐标中的加速度表示
a dvτ vτ 2 n dt
加速度表示为自然轴系投影形式
a aτ an n ab b
a
dv dt
s
－切向加速度
an
v 2
－法向加速度
ab 0
加速度
a a an
第6节 速度与加速度的自然坐标表示法 几点讨论
点的运动形式
直线运动
曲线运动－最一般的情形为三维变速 曲线运动
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
平 移－刚体运动过程中，其上之任意直线始终平 行于这一直线的初始位置。
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
平 移－刚体运动过程中，其上之任意直线始终平 行于这一直线的初始位置。
运动学模型及其运动形式
第5节 自然坐标系
自然坐标系 B(副法线)
N(主法线) s +
密切面与自然轴系
bn
s
-
P
T(切线)
自然轴系的基矢量
第5节 自然坐标系 自然轴系
密切面与自然轴系
自然轴系的特点
跟随动点在轨 迹上作空间曲线 运动。
第6节 速度与加速度的自然坐标表示法
速度
弧坐标中的速度表示
v d r d r ds
zP
v
P´
r
r(t)
r(t t) r(t)
速度
v lim r d r r t0 t dt
y
x 速 度－ 描述点在 t 瞬时运动快慢和运 动方向的力学量。速度的方向沿着运动 轨迹的切线；指向与点的运动方向一致； 速度大小等于矢量的模。
第3节 速度与加速度的矢径表示法
加速度
z
v
P
P´v
r r´ v´
?
1
ρ
s vτ
第6节 速度与加速度的自然坐标表示法
加速度
弧坐标中的加速度表示
dτ lim τ d 0
2τ sin
P
lim 0
2
n
当
0时， 和 ´以及
同处于P点的密切面内，这时，
的极限方向垂直于 ，亦即n
sin
lim
2 1
0
方向。
dτ n
2
d
第6节 速度与加速度的自然坐标表示法
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
定点运动－刚体运动过程中，其上某一点始终保持 不动。
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
一般运动－刚体最一般的运动
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
一般运动－刚体最一般的运动。
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
一般运动－刚体最一般的运动。
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
定轴转动－刚体运动过程中，其上有一直线始终保 持不动。
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
定轴转动－刚体运动过程中，有一直线始终保持不 动。
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
定轴转动－刚体运动过程中，有一直线始终保持不 动。
运动学模型及其运动形式
刚 体的运动形式
定轴转动－刚体运动过程中，其上有一直线始终保 持不动。
加速度
切向加速度 a
dv dt
s 表示速度矢量大小的变化率；
法向加速度
an
v 2
表示速度矢量方向的变化率；
ab 0 即 abb=0,表明加速度 a在副法线方向没有分量；
还表明速度矢量v和加速度矢量a都位于密切面内。
• 7-2 7-5 7-8
习题