2023年浙江高考数学二轮复习专题分层训练(高频考点解密)07 平面向量(解析版)

解密07 平面向量
）已知向量()1,3m =，(1,1)n =-，则||m n -=（ ）
A B ．C ．4 D ．8
【答案】B 【分析】
由向量的坐标公式表示出m n -，再利用模长公式代入计算. 【详解】
因为()1,3m =，()1,1n =-，则(2,2)m n -=，所以2||2m n -=+=故选：B.
2．（2022·广西柳州·二模（文））设()3,a m =，()4,2b =，则“1m =-”是“()
a a
b ⊥-”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【分析】
根据向量的运算及命题的充分必要性分别判断. 【详解】
1m =-时，()1,3a b -=--，()
()()()31130a a b ⋅-=⨯-+-⨯-=，成立，
“1m =-”是“()
a a
b ⊥-”的充分条件，
()
a a
b ⊥-时，()1,2a b m -=--，()()()3120a a b m m ⋅-=⨯-+⋅-=，解得1m =-或3m =，
所以“1m =-”不是“()
a a
b ⊥-”的必要条件，
所以“1m =-”是“()
a a
b ⊥-”的充分不必要条件，故选：A.
3．（2021·全国全国·模拟预测）已知向量(1,1),(1,3)a b =-=-，则(2)a a b ⋅+=（ ） A ．0 B ．1
C ．1-
D ．2
【答案】A
【分析】
根据向量数量积的坐标运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】
由题意，向量(1,1),(1,3)a b =-=-，可得2
2,1(1)(1)34a a b =⋅=⨯-+-⨯=-， 所以2
(2)22240a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯-=. 故选：A.
4．（2021·四川·成都七中一模（理））已知向量()2,1a =-，5a b ⋅=，8a b +=，则b =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
【答案】C 【分析】
直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可. 【详解】 解：由题意得：
8a b +=∴22()64a b a b +=+=，即22
264a b a b ++=⋅
∴2
51064b ++=，解得7b =
故选：C
5．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））在△ABC 中，点D 满足1
2
BD DC =，则AD =（ ） A ．
21
33
AC AB + B ．4133
AC AB -
C ．1233
AC AB +
D ．1122
AC AB +
【答案】C 【分析】
作出简图，结合平面向量的线性运算即可得到答案. 【详解】如图，
由题意，
11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB →
→
→
→
→→→→→→
⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭.
故选：C.
6．（2021·西藏·林芝一中模拟预测（理））已知a ，b 均为单位向量，
，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．135°
D ．150°
【答案】A 【分析】
设单位向量a ，b 的夹角为θ，利用平面向量的数量积的定义及运算法则进行求解. 【详解】
设单位向量a ，b 的夹角为θ，
，
则1a =，|b |=1，；
因为，
所以，
即
，即3
cos θ=
， 所以30θ=︒，即a 与b 的夹角为30°. 故选：A.
7．（2022·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系xOy 中，设()()1,0,3,4A B ，向量,6OC xOA yOB x y =++=，则AC 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C 5
D ．25
【答案】D
【分析】根据平面向量的坐标运算求得向量,OC AC ，再根据6x y +=，将x 用y 表示，再根据平面向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】
解：()()1,0,3,4OA OB ==， 则()3,4y OC xOA yOB x y ++==，
由6x y +=，得6x y =-，则()()3,426,4x y y y y OC =+=+， 所以25,4AC OC OA y y ，
则
，
当1
2
y =-时，min 25AC =故选：D.
8．（2021·四川·凉山彝族自治州教育科学研究所一模（文））ABC 中，3
A π
∠=，2AC =，
3BC =AB 在AC 方向上的投影为（ ）
A ．1
2 B ．1
2
-
C 3
D ．3 【答案】A 【分析】
利用余弦定理求出AB 的长，再利用平面向量数量积的几何意义可求得结果. 【详解】
由余弦定理可得222
2cos
3
BC AC AB AB AC π
=+-⋅，即2210AB AB -+=，解得1AB =，
因此，则AB 在AC 方向上的投影为1
cos 3
2
AB π
=
. 故选：A. 二、填空题
9．（2021·湖南·高考真题）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b =-，则|2|a b +=___________ 10【分析】
利用向量模的坐标表示，即可求解.
【详解】()21,3a b +=，所以22
21310a b +=+
故答案为：10 三、双空题
10．（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.
【答案】0 3
【分析】
根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】
以,a b 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，
()4,0a b ∴+=，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，
()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3. 1．（2020·山东·高考真题）已知点()4,3A ，()4,2B -，点P 在函数243y x x =--图象的对
称轴上，若，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,6-或()2,1
B ．()2,6--或()2,1-
B 组 提升练
C ．()2,6或()2,1-
D ．()2,6-或()2,1--
【答案】C 【分析】
由二次函数对称轴设出P 点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】
由题意函数243y x x =--图象的对称轴是2x =，设(2,)P y ，
因为PA PB ⊥，所以(2,3)(6,2)12(3)(2)0PA PB y y y y ⋅=-⋅--=-+--=，解得6y =或1y =-，所以(2,6)P 或(2,1)P -，
故选：C ．
2．（2019·全国·高考真题（文））已知向量()()2332a b ==，，
，，则|–|a b =
A B ．2
C ．
D ．50
【答案】A 【分析】
本题先计算a b -，再根据模的概念求出||a b -． 【详解】
由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-，
所以2||(1)a b -=- 故选A 【点睛】
本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．
3．（2015·四川·高考真题（理））设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ） A ．20 B ．15
C ．9
D ．6
【答案】C 【分析】
根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+
=+,22
33
AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅
2
()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.
【详解】
因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满
足3,2BM MC DN NC ==,
∴根据图形可得:33
44
AM AB BC AB AD =+
=+, 22
33
AN AD DC AD AB =+
=+, NM AM AN ∴=-,
2
()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,
2
2
239
216
AM AB AB AD AD =+
⋅+, 22233
342
AM AN AB AD AD AB ⋅=
++⋅, 6,4AB AD ==， 2213
1239316
AM NM AB AD ∴⋅=
-=-=， 故选C.
本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.
考点：向量运算.
4．（2022·全国·模拟预测）已知在平行四边形ABCD 中，
6,4,60,,AB AD BAD DF FC ==∠=︒=点E 满足2,AB BE =则AF FE ⋅=（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【答案】B 【分析】
根据向量加减法的几何意义可得1
,2
FE AB AD AF AB AD =-=+，再应用向量数量积的运算律求AF FE ⋅即可. 【详解】
由2,AB BE =则1
,2
FE DB DA AB AB AD AF AD DF AB AD ==+=-=+=+ ∴
22111111
3646168
222()22
(2)AF FE AB AD AB AD AB AB AD AD ⋅=+⋅-=+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-=. 故选：B.
5．（2021·全国全国·模拟预测）如图，平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AB BC =，
AD AC ⊥，3
ADC π
∠=
，AC xAB y AD =+，则
y
x
=（ ） A 23
B 3
C ．1
2
D ．2
【答案】B 【分析】
法一：构建以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴的直角坐标系，应用坐标表示,,AC AB AD ，结合平面向量基本定理求x 、y 即可求值； 法二：过C 作//CE AD 交AB 的延长线于E ，作//CF AB 交AD 的延长线于F ，利用向量加法的平行四边形法则可得23AC AB AD =+求x 、y ，进而求值；
法三：应用转化法，结合平面向量数量积的运算律()AC AB xAB y AD AB ⋅=+⋅、()AC AD x AB y AD AD ⋅=+⋅及已知条件构建方程求x 、y 即可.
【详解】
法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设||1AB =，则(1,0)AB =，由AB BC ⊥，||||AB BC =，则||2AC =(1,1)AC =， 又AD AC ⊥，3
ADC π
∠=
，即6||AD =
∴626233AD ⎛⎛=-= ⎝⎭⎝⎭
， 由AC xAB y AD =+，有3
131x y y
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得23=⎧⎪⎨=⎪⎩x y 3
y x
法二：如图，过C 作//CE AD 交AB 的延长线于E ，
作//CF AB 交AD 的延长线于F ， ∴AC AE AF =+.
由AB BC ⊥，AB BC =及//CE AD ，易知：B 是线段AE 的中点，于是2AE AB =. 由AD AC ⊥，3
ADC π
∠=
，得3
3
AD AC =
，易知AC CE =，CE AF =， ∴AF AC =，则3AF AD =，故3AF AD =，于是23AC AB AD =+，又
AC xAB y AD =+，
∴23=⎧⎪⎨=⎪⎩
x y ，即32y x =
. 法三：设1AB =，由AB BC ⊥，
AB BC =，得2AC =，2
21AC AB ⋅=⨯
=， 由AD AC ⊥，得0AC AD ⋅=，又3
ADC π
∠=，则6AD =
. 又62()AC AB xAB y AD AB x y ⎛⋅=+⋅= ⎝⎭
3x y =，()AC AD x AB y AD AD ⋅=+⋅=2
626323x y y ⎛+=+ ⎝⎭⎝⎭
， ∴3
1320
3x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，于是23=⎧⎪⎨=⎪⎩x y 3y x 故选：B.
6．（2020·全国·模拟预测（理））定义(),d a b a b =-为两个向量a ，b 间的“距离”，若向
量a ，b 满足下列条件：(ⅰ)1b =；(ⅱ)a b ≠；(ⅲ)对于任意的t R ∈，恒有()(),,d a tb d a b ≥，现给出下面结论的编号，
①.a b ⊥②.()b a b ⊥-③.()a a b ⊥-④.1a ≥⑤.()()
a b a b +⊥- 则以上正确的编号为（ ） A ．①③ B ．②④
C ．③④
D ．①⑤
【答案】B 【分析】
根据题意可得()()2
2
a tb
a b -≥-，转化为()
2
2210t
ta b a b -⋅+⋅-≥对于任意的t R ∈恒成
立，即0∆≤，整理得()
2
10a b ⋅-≤，再利用向量的数量积逐一判断即可. 【详解】
由于(),d a b a b =-，又对于t R ∈，恒有()(),,d a tb d a b ≥， 显然有a tb a b -≥-，即()()2
2
a tb
a b -≥-，
则()
2
2210t ta b a b -⋅+⋅-≥对于任意的t R ∈恒成立，
显然有()
()
2
24210a b a b ∆=-⋅-⋅-≤成立， 即()
2
10a b ⋅-≤，则1a b ⋅=，故序号①错误， 进而cos 1a b a b θ⋅=⋅=， ∵1b =，于是1cos 1a
θ=
≤，得1a ≥，即序号④正确.
再由10a b ⋅-=得2
0a b b ⋅-=，得()
0b a b -=，
∴()
b a b ⊥-，显然序号②正确.从而序号③错误，再由②a b ≠，故序号⑤错误. 综上知本题正确的序号为②④. 故选：B. 【点睛】
本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题. 二、填空题
7．（2016·全国·高考真题（理））设向量()(),11,2a m b ==，，且222a b a b +=+，则m =_________.
【答案】-2
【详解】
试题分析：由题意得222(1)+315 2.m m m +=++⇒=- 考点：向量的模
8．（2019·北京·高考真题（文））已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且a b ⊥，则m =__________.
【答案】8.
【分析】
利用a b ⊥转化得到0a b •=加以计算，得到m .
【详解】 向量4,36,a b m a b =
-=⊥（），（），， 则•046308a b m m =-⨯+==，，.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.
9．（2021·上海静安·一模）已知1e 、2e 是夹角为60︒的两个单位向量，若12e ke +和12ke e +
垂直，则实数k =_______．【答案】2-【分析】
由向量垂直的数量积表示列方程求解．
【详解】
由题意12111cos602e e ⋅=⨯⨯︒=， 因为12e ke +和12ke e +垂直，
则()12e ke +⋅()
12ke e +222211221(1)(1)02ke k e e ke k k k =++⋅+=+++=，解得2k =-±
故答案为：2-
10．（2019·江苏·高考真题）如图，在ABC 中，
D 是BC 的中点，
E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则AB AC
的值是_____.
【答案】3.
【分析】
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】
如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .
()()()
3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC
=【点睛】
本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.。