2016-2017学年高二数学下学期综合素质检测试题16

第二章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( )
A ．正确
B ．推理形式不正确
C ．两个“自然数”概念不一致
D ．“两个整
数”概念不一致
[答案] A
[解析] 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 2．已知a <b <0，下列不等式中成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．a
b <1 C ．a <4－b D ．1a <1
b
[答案] C
[解析] 令a ＝－2，b ＝－1，满足a <b <0，则a 2>b 2，a b ＝2>1，1a >1
b ，故A 、B 、D 都不成立，排除A 、B 、D ，选C.
3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )
A ．6n －2
B ．8n －2
C ．6n ＋2
D ．8n ＋2
[答案] C
[解析] 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.
4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )
A ．2
(n ＋1)2
B ．2n (n ＋1)
C ．22n －1
D ．
22n －1
[答案] B
[解析] a 2＝S 2－S 1＝22
a 2－1，∴a 2＝1
3，
a 3＝S 3－S 2＝32
·a 3－22
·a 2＝9a 3－4×1
3，
∴a 3＝16.
a 4＝S 4－S 3＝42
·a 4－32
a 3＝16a 4－9×1
6，
∴a 4＝110.
由此猜想a n ＝2
n (n ＋1)
.
5．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，则第100项为( ) A ．10
B ．14
C ．13
D ．100
[答案] B
[解析] 设n ∈N *，则数字n 共有n 个， 所以n (n ＋1)
2≤100即n (n ＋1)≤200，
又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×14
2＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.
6．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a 、b 、c 的值为( )
A ．a ＝12，b ＝c ＝14
B ．a ＝b ＝c ＝1
4
C ．a ＝0，b ＝c ＝1
4 D ．不存在这样的a 、b 、c
[答案] A
[解析] 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪
⎧
3(a －b )＋c ＝19(2a －b )＋c ＝7
27(3a －b )＋c ＝34，
所以a ＝12，b ＝c ＝1
4.
7．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f 3′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，则f 2015(x )等于( )
A ．sin x
B ．－sin x
C ．cos x
D ．－cos x [答案] D
[解析]由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，可以归纳出：
f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝－cos x(n ∈N*)．所以f2015(x)＝f3(x)＝－cos x.
8．已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量c n＝(a n，a n＋1)，b n ＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命题中真命题是()
A．若∀n∈N*总有c n∥b n成立，则数列{a n}是等差数列
B．若∀n∈N*总有c n∥b n成立，则数列{a n}是等比数列
C．若∀n∈N*总有c n⊥b n成立，则数列{a n}是等差数列
D．若∀n∈N*总有c n⊥b n成立，则数列{a n}是等比数列
[答案] A
[解析]∵对∀n∈N*总有c n∥b n，则存在实数λ≠0，使c n＝λb n，∴a n＝λn，∴{a n}是等差数列．
9．定义一种运算“*”，对于自然数n满足以下运算性质：()
A．n B．n+1
C．n－1 D．n2
[答案] A
[解析]令a n＝n*1，则由(ii)得，a n＋1＝a n＋1，由(i)得，a1＝1.
∴{a n}是首项a1＝1，公差为1的等差数列，∴a n＝n，即n*1＝n，故选A.
10．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值()
A．一定大于零B．一定等于零
C．一定小于零D．正负都有可能
[答案] A
[解析]f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，
由a＋b>0得a>－b，
所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，
同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.
11．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是()
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c中至多有一个是偶数
D．假设a、b、c中至多有两个偶数
[答案] B
[解析]对命题的结论“a、b、c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a、b、c都不是偶数”．因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”．
12．(2014·福建文，12)在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L－距离”定义为||P1P2|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L－距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是()
[答案] A
[解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，则|x ＋c |＋|x －c |＋2|y |＝2a .
当y >0时，y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋a ，x <－c a －c ，－c ≤x ≤c
－x ＋a ，x >c
，
当y ≤0时，y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x －a ，x <－c ，c －a ，－c ≤x ≤c ，
x －a ，x >c .
∴图象应为A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．“因为AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC 、BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．
[答案] 菱形对角线互相垂直且平分 14．设函数f (x )＝x
x ＋2
(x >0)，观察：
f 1(x )＝f (x )＝x
x ＋2，
f 2(x )＝f (f 1(x ))＝
x
3x ＋4
， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x
7x ＋8，
f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x
15x ＋16，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. [答案] x
(2n －1)x ＋2n
[解析] 由已知可归纳如下：f 1(x )＝x
(21－1)x ＋21
， f 2(x )＝x (22－1)x ＋22，f 3(x )＝x
(23－1)x ＋23
， f 4(x )＝x (24－1)x ＋24
，…， f n (x )＝x
(2n －1)x ＋2
n
. 15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；
②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“t ≠0，mt ＝nt ⇒m ＝n ”类比得到“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”； ④“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑤“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；
⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a
b ”．
以上类比得到的结论正确的是________． [答案] ①②
[解析] ①②都正确；③⑥错误，因为向量不能相除；④可由数量积定义判断，所以错误；⑤向量中结合律不成立，所以错误．
16．(2013·天津和平区高二期中)观察下列等式： 1＝1 13＝1 1＋2＝3 13＋23＝9 1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝36
1＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100 1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225 … …
可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________.(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)
[答案] n 2(n ＋1)2
4 [解析] 由条件可知：
13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出．
13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2 ＝[n (n ＋1)2]2＝n 2(n ＋1)24
. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知a 、b 、c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3.
[解析] 解法一：(分析法)
要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3， 只需证明b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋b
c －1>3， 即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c >6.
而事实上，由a 、b 、c 是全不相等的正实数， 得b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c >2. 从而b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c >6.
故b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c
c >3得证． 解法二：(综合法) ∵a 、b 、c 全不相等，
∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b
c 全不相等． ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c >2. 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b
c >6，
∴(b a ＋c a －1)＋(c b ＋a b －1)＋(a c ＋b
c －1)>3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3.
18．(本题满分12分)设f (x )＝1
3x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－
1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
[解析] f (0)＋f (1)＝130＋3＋13＋3＝11＋3＋1
3＋3＝3－12＋
3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33.
一般性结论：若x 1＋x 2＝1，则f (x 1)＋f (x 2)＝3
3. 证明：设x 1＋x 2＝1，
f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋1
3x 2＋3
＝
(3x 1＋3)＋(3x 2＋3)(3x 1＋3)(3x 2＋3)
＝
3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3(3x 1＋3x 2)＋3
＝
3x 1＋3x 2＋23
3(3x 1＋3x 2)＋2×3
＝
3x 1＋3x 2＋233(3x 1＋3x 2＋23)
＝33.
19．(本题满分12分)在某两个正数x 、y 之间，若插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列，若插入两个数b 、c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．
[解析] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝x ＋y b 2＝cx ，消去
c 2＝by x ，y 得
2a ＝b 2c ＋c 2
b ，且有a >0>b >0，
c >0.
要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，
只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)，
只要证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12
， 也就是证2a ≥b ＋c .
而2a ＝b 2c ＋c 2b ，只需证b 2c ＋c 2b ≥b ＋c ，
即证b 3＋c 3≥(b ＋c )bc ，
即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，
即证(b －c )2≥0.
∵上式显然成立，∴(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．
20．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
42cos π8＝2＋2，
2cos π16＝2＋2＋2，
……
[解析] 2cos π4＝2·22＝2，
2cos π8＝21＋cos π4
2
＝2·1＋22
2＝2＋2，
2cos π16＝2
1＋cos π82 ＝2
1＋122＋2
2＝2＋2＋ 2
… 归纳得出，2cos π
2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号.
21．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1.
(1)求a 2，a 3，a 4；
(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －1是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式． [解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得
n a n －1
代入a 1＝3，n 依次取值2、3、4，得
a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.
(2)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得，
(a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)，
即1a n －1－1a n －1－1＝1， 所以{1a n －1
}是等差数列． 由1a 1－1＝12，所以1a n －1
＝12＋n －1＝2n －12， 变形得a n －1＝22n －1
， 所以a n ＝2n ＋12n －1
为数列{a n }的通项公式． 22．(本题满分14分)(2014·哈六中期中)已知函数f (x )＝(x －2)e x －12x 2＋x ＋2.
(1)求函数f (x )的单调区间和极值；
(2)证明：当x ≥1时，f (x )>16x 3－12x .
[解析] (1)f ′(x )＝(x －1)(e x －1)，
当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，
∴f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝0，当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝52－e.
(2)设g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)，
令u (x )＝e x
－x 2－32，则u ′(x )＝e x －12， 当x ≥1时，u ′(x )＝e x
－12>0，u (x )在[1，＋∞)上单调递增，u (x )≥u (1)＝e －2>0，
所以g ′(x )＝(x －1)(e x
－x 2－32)≥0，g (x )＝f (x )－16x 3＋12x 在[1，＋∞)上单调递增．
g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ≥g (1)＝176－e>0，
所以f (x )>16x 3－12x .
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。

薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。

东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。

莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。