四川省南充市2020届高三诊断性测试数学(理)试题 Word版含解析

四川省2017级高中毕业班诊断性测试
理科数学
一、选择题
1.设i 是虚数单位，若2i
a i
-+为纯虚数，则实数a 的值为( ) A. 2- B. 12
-
C.
12
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据纯虚数的定义计算即可. 【详解】解：
()()()()()222122=1
i a i a a i
i a i a i a i a -⋅---+⋅-=++⋅-+为纯虚数 2101
,202a a a -=⎧=⎨
+≠⎩
故选：C
【点睛】考查纯虚数的定义及复数的运算，基础题.
2.设全集U =R ，集合{}
2log 1A x x =<，{
}
2
1B x x =≥，则将韦恩图（Venn ）图中的阴影部分表示成区间是( )
A. ()0,1
B. ()1,1-
C. ()1,2
D. ()1,2-
【答案】A 【解析】 【分析】
先求{}
2log 1A x x =<，再求
()1,1U
B =-，最后求U
A
B .
【详解】解：{}{}
2log 102A x x x x =<=<<
{}
(][)()21,11,,1,1U B x x B =≥=-∞-⋃+∞=- (){}{}()02110,1U A B x x x x ⋂=<<⋂-<<=
故选：A
【点睛】考查补集及交集的运算，基础题.
3.在6
3
x x ⎛
- ⎪⎝
⎭的展开式中，2x 项的系数为( ) A. 20 B. 15 C. 15-
D. 20-
【答案】D 【解析】 【分析】
先求通项，再令x 的指数为2，最后求系数
【详解】解：18463
1663
(1 )r
r
r r r r r T C x C x x --+⎛=-=- ⎪⎝
⎭ 令
1842,33
r r -==，2x 项的系数为6
33
()201C -=- 故选：D
【点睛】考查求二项式中指定项的系数，基础题.
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. 21π
B. 24π
C. 27π
D. 30π
【答案】B 【解析】 【分析】
该几何题上面是圆锥，下面是半球，半球的半径为3，圆锥的高为2，分别求其体积，再求和. 【详解】解：该几何题上面是圆锥，下面是半球，半球的半径为3，圆锥的高为2
231 2 114
32+3=24323
V V V πππ=+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
故选：B
【点睛】考查由三视图还原为几何体、再求几何体体积的求法，基础题. 5.设sin 24a =︒，tan38b =︒，cos52c =︒则( ) A. a b c << B. b a c << C. c a b << D. a c b <<
【答案】D 【解析】 【分析】
cos52=sin38c ︒=︒
，利用
sin 38cos52ta =sin 38co n 38s38c b ︒
==︒
=︒︒<
︒
和
11
sin 30,sin 24cos5=sin 3822
2a c ︒<︒=︒︒>==可比较.
【详解】解：cos52=sin38c ︒=︒ sin y x ∴=在()
0,90︒单调递增
11
sin 30,sin 24cos5=sin 3822
2a c ︒<︒=︒︒>==
又(
)
0,90,sin tan x x x x ︒
∈<<
sin 38cos52ta =sin 38co n 38s38c b ︒
==︒
=︒︒<
︒
所以a c b << 故选：D
【点睛】考查利用三角函数的性质比较大小，基础题.
6.已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()1x
f x e =-，则曲线()y f x =在1x =-处的切线
方程为( ) A. 10ex y -+= B. 10ex y +-= C. 10ex y --= D. 10ex y ++=
【答案】A 【解析】 【分析】
先求切点，再求自变量小于零时解析式，再求导数和斜率，最后求方程.【详解】解：()()()1111f f e e-=-=--=-0x<，0,()1x x f x e-->∴-=-，()e1x f x-=-+(),(1)x f x e f e-''=-=切线方程为：()11y e x e=⋅++-，即10ex y-+=，故选：A 【点睛】考查求曲线上一点的切线方程的求法，基础题. 7.设O、F分别是抛物线24y x=的顶点和焦点，点P在抛物线上，若10OP FP⋅=，则FP =( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】【分析】设2,4y P y⎛⎫ ⎪⎝⎭，由10OP FP ⋅=，求出点P 的坐标，最后求FP 【详解】解：()1,0F，设2,4y P y⎛⎫ ⎪⎝⎭()22,1,01,44y y FP P y F y⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为10OP FP⋅=22,1,1044y y y y⎛⎫⎛⎫⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭42121600,y y+-=28,y y==±(21,1,4y FP y⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭，3FP=
故选：B
【点睛】结合抛物线求向量的模，基础题. 8.已知0a b >>，则0c >是“a a c b b c
+>+的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
0c >时，()()
0a b c
a a c
b b
c b b c -⋅+-
=>+⋅+；取特殊值3,2,3a b c ===-，验证即可. 【详解】解：
()()
a b c a a c b b c b b c -⋅+-=+⋅+， 因为0a b >>，所以0c >时，()()0a b c a a c b b c b b c -⋅+-=>+⋅+，即0c >⇒a a c
b b c
+>+，
取3,2,3,a b c ===-302a a c b b c +=>=+，即a a c
b b
c +>⇒/+0c >. 因此，“0c >”是“a a c
b b c
+>+”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，同时也考查了不等式的基本性质，考查推理能力，属于基础题.
9.北魏大数学家张邱建对等差数列问题的研究精深，在其著述《算经》中有如下问题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者.亦依等次更给.问未到三人复应得金几何?”则该问题的答案约为( )（结果精确到0.1斤） A. 3.0 B. 3.2
C. 3.4
D. 3.6
【答案】B 【解析】 【分析】
设这十等人所得金的重量从大到小依次组成公差为d 的等差数列{}n a ，根据等差数列的性质
求公差，最后代入可得.
【详解】解：设这十等人所得金的重量从大到小依次组成公差为d 的等差数列{}n a ，
则12378910
43a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，
2894332a a a ⎧=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩，即222433672a a d a d ⎧=⎪⎪⎨⎪+++=
⎪⎩
，7
78d =-， 456123783949 3.27826a a a a a a d ⎛⎫++=+++=+⨯-=≈ ⎪⎝⎭
故选：B
【点睛】考查等差数列的性质及其运算，基础题.
10.设向量a ，b 满足2a b -=，且()()
3a b a b -⊥+，则()
2a b b -⋅=( ) A. 1- B. 1
C. 3
D. 3-
【答案】D 【解析】 【分析】
把(
)()
3a b a b -⊥+，(3)()0a b a b -⋅+=和2a b -=结合整理即可
【详解】解：()()3a b a b -⊥+，(3)()0a b a b -⋅+=
()0
321a a a b b b +⋅-⋅=⋅
2,a b -=
()2+=4
2a a a b b b ⋅-⋅⋅
由()()12、得
2=3a b b b ⋅-⋅-，即()
23a b b -⋅=-
故选：D
【点睛】考查向量模、垂直、数量积的有关计算，基础题. 11.已知函数()()()cos 20πf x x ϕϕ=+<<关于直线π
6
x =
对称，函数
()()sin 2g x x ϕ=-，则下列四个命题中，真命题有( )
①()y g x =的图象关于点π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称；②若对x R ∀∈，都有()()()12g x g x g x ≤≤，则12x x -的最小值为π；③将()y g x =的图象向左平移5π
12
个单位，可以得到()y f x =的图象；④0x R ∃∈，使()()0012
f x
g x -=. A. ①③ B. ②③
C. ①④
D. ②④
【答案】C 【解析】 【分析】
根据()()()cos 20πf x x ϕϕ=+<<关于直线π6x =对称，确定23
ϕπ=，再根据选项依次判断，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】解：()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<关于直线π
6x =对称，则()3
k k Z πϕπ+=∈， 可得()3
k k Z π
ϕπ=-
∈，
0ϕπ<<，23
πϕ∴=
. 所以()2cos 2sin 23
6f x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+
=-+ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭，()()2sin 2sin 23g x x x πϕ⎛
⎫=-=- ⎪⎝⎭
. 对于①，22sin 033
3g πππ
⎛⎫⎛⎫
=-=
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，正确； 对于②，若对x R ∀∈，都有()()()12g x g x g x ≤≤，则12x x -的最小值为
()2sin 23g x x π⎛
⎫
=-
⎪
⎝⎭
的半个周期4π，故错误； 对于③，将()y g x =的图象向左平移
5π
12
个单位得到sin 26x ，故错误.
对于④， ()()2sin 2sin 263f x g x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫-=-+
-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
()sin 2cos 2sin 20,42x x x π⎡⎛
⎫=
-=-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦
，
因为2
2
11622324⎛⎫-⎛⎫=<=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，1620,22⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 0x R ∃∈，使()()001
2
f x
g x -=
，故正确. 故选：C.
【点睛】本题考查正弦型函数和余弦型函数的有关性质，同时考查学生的运算求解能力和逻辑推理能力，基础题.
12.已知三条射线OA ，OB ，OC 两两所成的角都是60°.点M 在OA 上，点N 在BOC ∠内运动，63MN OM ==，则点N 的轨迹长度为( ) A. 2π B. 3π
C. 4π
D. 5π
【答案】C 【解析】 【分析】
利用三余弦公式求出3
cos MOD ∠=
，再求6OD =，确定点N 在平面BOC 内的轨迹是以D 为圆心，6为半径的圆在BOC ∠内的圆弧FPG ，再求弧长即可 【详解】解：如图，
过M 作MD ⊥平面BOC 于D ，则D 点在BOC ∠的平分线上，30BOD ∠=︒ 在平面BOC 内，作DE ⊥BO 于E ，连结ME ， 根据三垂线定理，则ME ⊥BO
cos cos cos cos 60cos cos30cos MOE MOD BOD MOD MOD ∠=∠⋅∠︒=∠⋅︒∠=
MN OM ==，
cos 6OD OM MOD =⋅∠==， 点N 的轨迹是以D 为圆心，6为半径的圆在BOC ∠内的圆弧FPG ，120FDG ∠=︒ 圆弧FPG 的长度为：1201
22643603
r πππ⨯=⨯⨯= 故选：C
【点睛】考查三垂线定理、三余弦公式以及圆的定义的应用，基础题. 二、填空题
13.双曲线22
1412
x y -=的焦点到渐近线的距离为__________．
【答案】【解析】 【分析】
由双曲线的性质得出右焦点坐标以及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】4c =
=
故双曲线的右焦点为(4,0)F
0y -=
则右焦点到渐近线的距离为：d ==
故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题. 14.已知数列{}n a 的前n 项和()
232N n n S a n n *
=-∈，若{}n a λ+成等比数列，则实数
λ=______.
【答案】1 【解析】 【分析】
根据232n n S a n =-，再写一式，两式相减，即可证明{}1n a +为等比数列 【详解】解：232n n S a n =-
()11232(1),2n n S a n n --=--≥
1122332n n n n S S a a --∴-=--， 132n n a a -=+
上式两边同时加上1得，()1131n n a a -+=+，
()11
3,21
n n a n a -+=≥+，所以1λ=
故答案为：1
【点睛】已知n a 与n S 的关系，再写一个式子，一般是用上()1,2n n n S a S n -=-≥，再构造新数列，基础题.
15.已知函数()32
2,0
21,0
ax x f x x ax x -≤⎧=⎨-+>⎩，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[)0,3 【解析】 【分析】
若()0f x >恒成立，必须函数的最小值大于零，结合取特殊值，分段讨论函数的最小值即可. 【详解】解：()0f x >恒成立，所以()0,2011,3f a a >-+><
（1）0x ≤时，()2f x ax =-必须是有最小值，所以0a ≥，此时()()min 020f x f ==>
（2）()()322
0,21,62x f x x ax f x x ax '>=-+=-
()2126200,3
f x x ax a
x x '=-===
()()0,0,,0,3a a x f x f x ⎛⎫
'>∈< ⎪⎝⎭递减，
()(),,0,3a x f x f x ⎛⎫
'∈+∞> ⎪⎝⎭递增
()3min
10327a a f x f ⎛⎫
∴==-+> ⎪⎝⎭
所以3a <
综合(1)、(2) 有03a ≤<， 故答案为：[)0,3
【点睛】不等式恒成立求参数的取值范围，一般是转化为求函数的最值，基础题. 16.为弘扬新时代的中国女排精神.甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局则获胜，比赛随即结束）.若两队的竞技水平和比赛状态相当，且每局比赛相互独立，则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是______. 【答案】
338
【解析】 【分析】
设比赛结束时已经进行的比赛局数为ξ，=3ξ时，表示甲连赢三局或乙连赢三局，比赛结束.
=4ξ时，有两种情况：前三局中甲赢2局输1局，第四局甲赢；前三局中乙赢2局输1局，
第四局乙赢. =5ξ时，有两种情况：前四局中甲赢2局输2局，第五局甲赢；前四局中乙赢2局输2局，第五局乙赢.
【详解】解：因为两队的竞技水平和比赛状态相当，所以每场比赛甲赢或乙赢的概率都是0.5 设比赛结束时已经进行的比赛局数为ξ，则的可能取值为3，4，5
330
3331
(3)0.5(0.5)4
P C C ξ==⨯+=
2222333
(4)0.50.50.50.50.50.58
P C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
()2
2243(5)(0.5)(0.5)0.50.5=8
P C ξ==⨯⨯⨯+
ξ的分布列为：
13333
()3454888E ξ=⨯+⨯+⨯=
13333
()3454888E ξ=⨯+⨯+⨯=
故答案为：33
8
【点睛】考查求离散型随机变量的数学期望，求随机变量的取值时可能包含多种情况，注意做到不能重复也不能遗漏，基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题
17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知tan b A ，tan c B ，tan b B 成等差数列. （1）求A 的大小：
（2）设2a =，求ABC 面积的最大值.
【答案】（1）3
π
；（2【解析】 【分析】
（1）tan b A ，tan c B ，tan b B 成等差数列，把正切化成弦，结合正弦定理化简整理. （2）利用余弦定理和基本不等式，求bc 的范围.
【详解】解：（1）由tan b A ，tan c B ，tan b B 成等差数列， 得()tan tan 2tan b A B c B +=.
因为sin sin sin cos cossin tan tan cos cos cos cos A B A B B
A B A B A B
++=
+= ()sin sin cos cos cos cos A B C
A B A B
+=
=
. 又sin tan cos B
B B
=
， 所以
sin 2sin cos cos cos b C c B
A B B
=，即
sin 2sin cos b C c B A =. 由正弦定理，得
sin sin 2sin sin cos B C
C B A
=，
又sin sin 0B C ≠，所以1cos 2
A =. 因为0πA <<，所以π3
A =
. （2）由余弦定理，得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-. 又222b c bc +≥，所以2a bc ≥.
又因为2a =，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立， 故13sin 32ABC S bc A bc =
=≤△， 于是ABC 面积的最大值为3.
【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式在三角形中的应用，中档题. 18.如图所示，菱形ABCD 与正方形CDEF 所在平面相交于CD .
（1）求作平面ACE 与平面BCF 的交线l ，并说明理由； （2）若BD 与CF 垂直且相等，求二面角D AE C --的余弦值. 【答案】（1）过点C 作BF 的平行线l ，理由见解析；（215
【解析】 【分析】
（1）过点C 作BF 的平行线l ，然后证明l 与AE 平行，证明四边形ABFE 为平行四边形即可；
（2）取CD 的中点O ，以其为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量坐标法求解即可. 【详解】解：（1）过点C 作BF 的平行线l 即可，下面予以证明. 由已知易得，AB 和EF 都与CD 平行且相等，即AB 与EF 平行且相等. 所以四边形ABFE 是平行四边形，于是//AE BF .
又BF ⊄平面ACE ，且AE ⊂平面ACE ，//BF ∴平面ACE . 又BF ⊂平面BCF ，且ACE
平面BCF l =，//BF l ∴.
（2）由CF BD ⊥，CF CD ⊥且BD CD D ⋂=，得CF ⊥平面ABCD . 由BD CF =可得，BCD
是
正三角形.
取CD 的中点O ，则BO CD ⊥. 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.
设2AB =，则()0,1,0D -，)
3,2,0A
-，()0,1,2E -，()0,1,0C .
()3,1,0AD ∴=-，(
)
3,1,2AE =-，()0,2,2EC =-.
设平面DAE 的一个法向量(),,m x y z =
00m AE m AD ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，即320
30
x y z x y --=-=， 令1x =，则3,0y z =
=，
得平面ADE 的一个法向量()
1,3,0m = 设平面ACE 的一个法向量(),,n i j k =
00n AE n EC ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
，即200j k j k --=-=⎪⎩，
令1j =，则1,k i ==
，
得平面ACE 的一个法向量(
)
3,1,1n =.
所以23cos ,2m n m n m n
⋅=
=
=
⋅⋅
故二面角D AE C --【点睛】考查：过两个平面的一个公共点作与一个平面内的直线平行的直线，然后证明所作的直线与另一个平面内的直线平行，这是找两个平面交线的常用方法；用坐标向量法求二面角的平面角是求二面角的常用方法.
19.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>经过点()0,1A -，且离心率为2
，
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过点()2,1P 的直线与椭圆E 交于不同两点B 、C .求证：直线AB 和AC 的斜率之和为定值.
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用a b c 、、的关系直接求解即可；
（2）设出BC 的方程为()()210y k x k =-+>，联立椭圆方程，再表示出AB 和AC 的斜率，最后说明之和为定值.
【详解】解：（1）由椭圆E 经过点()0,1A -得，1b =.
设半焦距为c c a =又因为2
2
2
a b c =+，所以2
2
314
a a =+，解得2a =
故椭圆E 的方程为2
214
x y +=.
（2）因为直线BC 过点()2,1P 且与轨迹E 有两个不同交点 所以直线BC 的斜率一定存在且大于零.
于是可设直线BC 的方程为()()210y k x k =-+>.
代入22
44x y +=并整理得(
)
()()2
2
418211610k x k k x k k +--+-=.
()()()2
22
=8124141616640k k k k k k ∆--+-=>⎡⎤⎣⎦
设()11,B x y ，()22,C x y ，则()12282141k k x x k -+=
+，()
122
16141
k k x x k -=+. 设直线AB 和AC 的斜率分别为1k 和2k ，则
()()1212121212
2222
11k x k x y y k k x x x x -+-++++=
+=+ ()()()()
()
1212211612122161k x x k k k k k x x k k -+--=-
=--
()2211k k =--=为定值，此题得证.
【点睛】考查椭圆方程的求法以及根据直线和椭圆的位置关系求两条直线的斜率之和为定值.直线和椭圆相交时，采用设交点坐标而不求出的方法，一定注意判别式大于零，同时用上韦达定理，可使解题简单；难题.
20.随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力.相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均GDP 与人均垃圾清运量的统计数据如下表：
（1）已知变量y 与x 之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程；
（2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200千瓦时，如图是光明社区年内家庭人均GDP 的频率分布直方图，请补全[]15,18的缺失部分，并利用（1）的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网电量.
参考公式]回归方程y bx a =+，()()
()
1
1
2
22
1
1
n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nxy x x y y b x
nx x x ====---=
=
--∑∑∑∑
【答案】（1）()0.0321y x =+；（2）见解析，63.58410⨯千瓦. 【解析】 【分析】
（1）利用公式直接求b a 、；（2）频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，求出2a =，再绘图，取各组中点求出人均GDP ，代入回归直线方程求出垃圾清运量，再换算成电量.
【详解】解：（1）由表格数据得，()5315925
x ⨯+==⨯，
0.130.230.310.410.52
0.325y ++++=
=.
(
)
5
2
1
369093690i i x x
=-=++++=∑，
()()()()()()()5
1
60.1930.0900.0130.0960.20i
i
n x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯∑
()60.190.090.2060.48 2.88=⨯++=⨯=.
所以()()
(
)
5
1
5
2
1
2.88
ˆ0.03290
i
i
i i i x x y y b
x x
==--==
=-∑∑ 于是ˆˆ0.320.03290.032a
y b x =-⋅=-⨯=. 故变量y 与x 之间的
回归直线方程为0.0320.032y x =+. （2）由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1.得
()1
124653160
a +++++⨯=. 解得2a =，故最右边小矩形的高度为
21
6030
=，如图，
由频率分布直方图可得，光明社区的人均GDP 为
()3
1 1.5
2 4.547.5610.5513.5216.510.260
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元/人）. 由（1）的结论知，光明社区的人均垃圾清运量约为()0.03210.21⨯+（吨/人）. 于是光明社区年内垃圾清运总量为()50.03210.21 1.792⨯⨯+=（万吨）. 由题意，整个光明耻区布内垃圾可折算成的总上网电量估计为 617920200 3.58410⨯=⨯（千瓦时）
，即为所求.
【点睛】考查求回归直线方程，频率分布直方图的应用，中档题. 21.已知函数()()
21ln x f x x x a
-=
-+.其中0a >.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）设1x ，2x 是()f x 的两个极值点，求证：()()()
121211f x f x a
x x a a --<-+.
【答案】（1）()f x
在
(0,1
和()
1+∞内单调递减，
在
(1内单调递增；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）求导，对参数进行讨论（2）1x ，2x 是()f x 的两个极值点，则1x ，2x 是()f x '的两个零点，找到122x x +=，2
12x x a =，化简整理()()1212
f x f x x x --，通过构造新函数，研究函数
单调性达到证明的目的.
【详解】解：（1）求导，得()()
()
()
22
2
22112a x x x a f x x a x x a +-+-'=
-=++（其中0x >）. ①当1a ≥时，()()
()
()
222
2
1210x x x f x x x a x x a ---+-'≤
=
≤++恒成立，所以()f x 在区间()0,∞+内单
调递减，无单调递增区间；
②当01a <<时，由2220x x a -+->
，解得11x << 由2220x x a -+-<
，解得01x <<
1x >故()f x
在区间(
0,1
和(
)
1++∞
内单调递减，在区间
(1内单调递增.
（2）因为()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（1）知，01a <<且122x x +=，2
12x x a =.
()()()()()121212122121ln ln x x f x f x x x x a
x a --⎡⎤
-=---⎢⎥++⎣⎦
()()()()()()
()12211212211ln ln x x a x x a x x x a x a -+--+⎡⎤⎣⎦
=
--++
()
()()12122
12122(1)ln ln a x x x x x x a x x a +-=
--+++
所以()()()121212
2121212
21ln ln ln ln 122f x f x a x x x x x x a a x x a x x -+--=-=--+--.
设函数()()()21ln 011t g t t t t -=-<<+，则()()()()
2
22
114011t g t t t t t -'=-=>++. 故()g t 在区间()0,1内单调递增，于是()()10g t g <=，即()
()21ln 011
t t t t -<
<<+. 不妨设12x x <
，令()0,1t =
，则121ln 2x x <
即
124
ln ln x x
-<
.
于是(
)
12
2
12
ln ln 4
42
221x x x x
a a ->
===
-++.
从而()()()
121212111f x f x a
x x a a a a --<-=-++.
【点睛】考查含参数的函数的单调性和构造函数证明不等式，难题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选－－题作答.如果多做，则按所做的 第一题计分.
选修4－4：极坐标与参数方程
22.在中面直角坐标系xOy 中，已知1C ：6x t
y =-⎧⎪⎨=⎪⎩
（其中t 为参数），2C ：2cos 22sin x y θθ=⎧⎨
=+⎩（其中θ为参数）.以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）.
（1）求1C 和2C 的极坐标方程；
（2）设以O 为端点、倾斜角为α的射线l 与1C 和2C 分别交于A ，B 两点，求OA
OB 的最小值.
【答案】（1
）πsin 3ρθ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭
4sin ρθ=；（2
【解析】
【分析】 （1）两个方程都消去参数化成直角坐标方程，再把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直角坐标中化成极坐标方程；（2）根据极径的几何意义，把OA OB 转化成三角函数求最值.
【详解】解：（1
）在6x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩中，消去参数t
，得)6y x =-
0y +-=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=
，得
)sin ρ
θθ+=， 所以1C
的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
（未化成这种形式可不扣分） 在2cos 22sin x y θθ
=⎧⎨=+⎩中，消去参数θ，得()2224x y +-=，即2240x y y +-=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得24sin 0ρρθ-=，即4sin ρθ=.
（2）射线l 的极坐标方程为θα=
，则OA =，4sin OB α=.
所以
OA
OB ==
12sin 26α=+- ⎪⎝⎭
故OA OB 当且仅当πsin 216α⎛⎫-= ⎪⎝
⎭即π3α=时取得. 【点睛】考查把参数方程化成极坐标方程和利用极径的几何意义求最值，中档题.
选修4-5：不等式选讲
23.设函数()221f x x x =--+的最大值为m .
（1）求m 的值；
（2）若a b m +=
.
【答案】（1）3；（2
）【解析】
【分析】
（1）分段讨论去掉函数的绝对值号即可（2）
把转化
成1=，然后利用柯西不等式即可
详解】解：（1）函数()4,12213,
124,2x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=--<<⎨⎪--≥⎩
， 所以()f x 在区间(],1-∞-内单调递增，在区间[)1,-+∞内单调递减.
故()f x 的最大值()13m f =-=；
（2）由柯西不等式，得 1=. 由己知3a b +=≤故所求最大值为1a =，2b =取得）. 【点睛】考查求含两个绝对值号的不等式的最值求法和用柯西不等式求最值，中档题.。