多元函数微分学习题详解

第九章 多元函数微分学
习题9-2
1. 说明下列极限不存在：
(1) 00
lim x y x y
x y
→→-+；
(2) 362
00
lim
x y x y
x y →→+.
解：（1）当点P (x ,y )沿直线y =kx 趋于点(0,0)时，有
(,)(0,0)0 (1)1
lim lim (1)1x y x y kx
x y k x k x y k x k →→=---==+++。

显然，此时的极限值随k 的变化而变化。

因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。

（2）当点P (x ,y )沿曲线3y kx =趋于点(0,0)时，有
3
36
62262(,)(0,0)0 lim lim (1)1x y x y kx
x y kx k x y k x k →→===+++。

显然，此时的极限值随k 的变化而变化。

因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。

2. 计算下列极限：
(1) 01
lim x x y e y
→→+； (2)(,)(0,3)sin()lim x y x y x
→;
(3) 33(,)(0,0)sin()lim x y x y x y
→++；
(4)
(,)(0, 0)
lim
x y →.
解：（1）因初等函数(,)x e y
f x y x y
+=+在(0,1)处连续，故有
001
1
lim 2x x y e y e →→++==
（2）
(,)(0,3)(,)(0,3)sin()sin()
lim
lim 3x y x y xy xy y x xy →→==
（3）33332
233(,)(0,0)(,)(0,0)sin()sin()lim lim ()0x y x y x y x y x xy y x y x y
→→++=-+=++ （4
）(,)(0, 0)
(,)(,)1lim lim lim 4
x y x y x y →→→===。

习题9-3
1. 求下列函数偏导数：
(1) z =x 3
+3xy +y 3
； (2) 2
sin y z x
=;
(3) ln(3)z x y =-； (4) ln (00,1)y z x x y x y x =+>>≠，
(5) z y
u x =； (6) 22cos()z u x y e -=-+ 解：(1) 2233,33.z z x y x y x y
∂∂=+=+∂∂
(2) 2
22sin 1,cos 2.y z
z y y x y x x
∂∂=-=∂∂ (3) 13,.33z z x x y y x y
∂∂-==∂-∂- (4) 1111,ln .y y y y z z yx yx x x --∂∂=+=+=+
(5)
12,ln ().z z
u z u z x x x y -∂∂==- 1ln ()z
y u x x z y
∂=∂ (6) 22sin()2,z u x y e x x
-∂=--+∂ 2222sin()(2)2sin().z z z x y e y y x y e y --∂=--+-=-+∂
22sin()()z z u
x y e e z
--∂=--+-∂
22sin()z z e x y e --=-+ 2. 求下列函数在指定点处的偏导数： (1) f (x ,y )=x 2－xy +y 2，求f x (1,2)，f y (1,2);
(2) 22
(
,)arctan x y f x y x y
+=-;求(1,0)x f
(3) 2
2arctan((,)sin(1)x f x y x e =-; 求(1,2)x f ；
(4) (,,)ln()f x y z x yz =-, 求(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)x y z f f f . 解：(1) (,)2,(,)2.x y f x y x y f x y x y =-=-+ (1,2)220,(1,2)14 3.x y f f ∴=-==-+= (2) 2
1(,0)arctan ,(,0)1x f x x f x x ==
+故
因此11(1,0).112
x f =
=+ (3) 222arctan(1(,2)ln(4)sin(1)2
x f x
x x e =++-
因此
2222arctan(4)
2
2arctan(12(,2)cos(1)224
sin(1)x x x x x f x x x e
x x e ++=+-++- 所以arctan(11
(1,2)25
x f e =
+. (4) 1(,,),(,,),(,,).x y z y
z f x y z f x y z f x y z x yz x yz x yz --===---
故11
(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)0.22
x y z f f f ==-=
3. 求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂,22z y ∂∂,2z ∂： (1) 322433z x x y x y x y =+--+； (2) ln()z x x y =+.
解：(1) 2
22
212631,246.z z x xy y x y x
∂∂=+--=+∂
222361,6.z z
x xy x y y
∂∂=-+=-∂∂ (2) 2222
211
ln(),.()()x y x x y z z x y x x x y x y x x y x y +-+∂∂=++=+=∂++∂++ 222
,.()z x z x y x y y x y ∂∂==-∂+∂+ 习题9-4
1. 求下列函数的全微分：
(1) z =4xy 3+5x 2y 6；
(2) z =
(3) u =ln(x －yz )； (4) sin
2
yz y
u x e =++ 解：(1) 36225410,1230,z z y xy xy x y x y ∂∂=+=+∂∂
所以 3323 z 2(2)d 6(2)d .d y xy x xy xy y =++5+5
(2)
z z
x y ∂∂==∂∂ 所以
z .d x y =
(3) 1,,,y
u u z u x x yz y x yz z x yz
-∂∂-∂===∂-∂-∂-
所以 1 u d d .y z d x y dz x yz x yz x yz
--=++---
(4) 11,cos ,,22yz yz y
u u u ze ye x y z
∂∂∂==+=∂∂∂
所以 1
u d (cos )d .22yz yz y d x ze y ye dz =+++
2. 计算函数z =x y
在点(3，1)处的全微分. 解：1,ln ,y y z z yx x x x y
-∂∂==∂∂
所以 1 z d ln d .y y d yx x x x y -=+
(3,1) d 3ln3d .dz x y =+
3. 求函数z =xy 在点(2，3)处，关于Δx =0.1，Δy =0.2的全增量与全微分.
解：,,z z y x x y ∂∂==∂∂所以
(2,3)(2,3)3,2,z z
x y ∂∂==∂∂ (2,3)(2,3)
0.30.40.7z z
z x y x y ∂∂∆≈
∆+∆=+=∂∂ (2,3) 3d 2d .dz x y =+
习题9-5
1. 求下列函数的全导数：
(1) 设z =e 3u +2v ，而u =t 2,v =cos t ,求导数d d z t
；
(2) 设z =arctan(u －v ),而u =3x ,v =4x 3,求导数d d z x
;
(3) 设z =xy +sin t ,而x =e t ,y =cos t ,求导数d .d z t
解： (1) d d d d dz z u z v dt u t v t
∂∂=⋅+⋅∂∂
3232322(sin )u v u v e t e t ++=⋅+⋅- 2
2
32cos 32cos 62sin t t t t te te ++=-
(2) d d d d dz z u z v dx u x v x
∂∂=⋅+⋅∂∂
2
2
113121()1()x u v u v -=⋅+⋅+-+- 32
3(14).1(34)x x x =⋅-+- (3) d d d d y
dz z x z z dt x t y t t
∂∂∂=⋅+⋅+∂∂∂
(s i n )c o
s t
y e x t t =⋅+⋅-+ c o s s i n c o s t t t
e e t t =⋅-+ 2. 求下列函数的偏导数(其中
f 具有一阶连续偏导数)： (1) 设z =u 2v －uv 2，而u =x sin y ,v =x cos y ，求z x ∂∂和z y
∂∂；
(2) 设z =(3x 2+y 2)4x +2y ，求z x ∂∂和z y
∂∂；
(3) 设u =f (x ,y ,z )=e x +2y +3z ,z =x 2cos y ，求u x ∂∂和u y
∂∂；
(4) 设w =f (x ，x 2y ，xy 2z )，求w x ∂∂,w y ∂∂,w z
∂∂.
解：(1)22(2)sin (2)cos z z u z v
uv v y u uv y x u x v x
∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂∂
222222(sin 2cos )sin (sin sin 2)cos x y x y y x y x y y =-+-
22(2)cos (2)sin z z u z v
uv v x y u uv x y y u y v y
∂∂∂∂∂=⋅+⋅=---∂∂∂∂∂ 22
2222(s i n 2c o s )c o s (s i n s i n 2)s i n
x y x
y x y x y x y x y =-+- (2) 令223,42,v u x y v x y z u =+=+=则. 16ln 4v v z z u z v vu x u u x u x v x
-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ ()
()
421
422222226343ln(3)x y x y
x x y x y x y +-+=++++
12ln 2v v z z u z v vu y u u x u y v y -∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ ()
()
421
422222222323ln(3)x y x y
y x y x y x y +-+=++++
(3)
21232w
f f xy f y z ∂=+⋅+⋅ 2232w f x f xyz y ∂=⋅+⋅∂
2
3w f x y ∂=⋅
故2ln 2ln 22211ln ln x x z y y y y x x x ∂=-∂, 2ln 22ln (ln 1),x z
x x y y
-∂=-∂ 22ln 1ln 1ln 1111
ln ln (1ln ln )x x x z z y x y y y x y ---∂∂==+⋅⋅=+. (3) 122,z f y f x x ∂=+∂122.z f x f y ∂=-
故2111222(2)2z y f y f x f x ∂=++∂22212211122222(2)442.x f y f x y f xyf x f f ++=+++ 22211122212211122222(2)22(2)442.z
x f x f y f y f x f y x f xyf y f f y
∂=----=-+-∂ 22221111221221111222(2)2(2)(22)4.z z
f y f x yf x f x yf f xyf x y f xyf x y y x
∂∂==+-+-=++--∂∂∂∂ 3. 求由下列方程所确定的隐函数z =f (x ,y )的偏导数,z z x y
∂∂∂∂：
(1) x 2+y 2+z 2－4z =0； (2) z 3－3xyz =1.
解：(1)两边同时对x 求偏导得2240,z z x z
x x ∂∂+-=∂∂故2.42z x x z
∂=∂- 两边同时对y 求偏导得2240,z z y z y y ∂∂+-=∂∂故2.42y
z y z
∂=∂-
(2) 两边同时对x 求偏导得233()0,z z z y z x x
∂∂-+=∂∂故2
3.33yz z x z y ∂=∂- 两边同时对y 求偏导得故2
3.33z xz y z x ∂=∂-。