2020-2021学年安徽省宿州市灵壁县渔沟中学高三数学文月考试题含解析

2020-2021学年安徽省宿州市灵壁县渔沟中学高三数学
文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知||=1，||=2，，点C在∠AOB内，且∠AOC=45°，设=m+n （m，n∈R）则等于( )
A．1 B．2 C．D．
参考答案：
B
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式即可得出．
【解答】解：如图所示，
则A（1，0），B（0，2）．设C（x，y）．
∵=m+n（m，n∈R），∴（x，y）=m（1，0）+n（0，2）=（m，2n）．
∴x=m，y=2n．
∵∠AOC=45°，∴==，解得．
故选B．
【点评】熟练掌握向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式是解题的关键．
若点A（m、n）在第一象限，且在直线2x+3y=5
．B．C
参考答案：
D
略
3. 若等边的边长为，平面内一点，
满足,则（）
A. B. C. D.
参考答案：
，
∴,∴答案A
4. 命题“任意的，都有成立”的否定是（▲）
A．任意的，都有成立B．任意的，都有成立
C．存在，使得成立D．存在，使得成立
参考答案：
D
【知识点】命题及其关系A2
因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“任意的x∈R，
都有x2≥0成立”的否定是：存在x0∈R，使得＜0成立．故选：D．
【思路点拨】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
【题文】3．要得到函数的图像，只需将函数的图象（▲）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】C
【知识点】三角函数的图象与性质C3
【解析】=2sin(2x+)是由的图像向左平移个单位得。

故选:C.
【思路点拨】先将函数化简再根据平移的性质得。

5. 已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪（0，1） C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）
参考答案：
B
考点：分段函数的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用换元法设t=f（x），则方程等价为f（t）=0，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得出此题的关键是a?2x取不到1和0．
解答：解：设t=f（x），则f（t）=0，
若a＜0时，当x≤0，f（x）=a?2x＜0．
由f（t）=0，即，此时t=1，
当t=1得f（x）=1，此时x=有唯一解，此时满足条件．
若a=0，此时当x≤0，f（x）=a?2x=0，此时函数有无穷多个点，不满足条件．
若a＞0，当x≤0，f（x）=a?2x∈（0，a]．
此时f（x）的最大值为a，
要使若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，
则a＜1，此时0＜a＜1，
综上实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）
故选：B
点评：本题主要考查函数方程根的个数的应用，利用换元法，结合数形结合是解决本题的关键．
6. 在等比数列中，，，则等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
7. 已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】把已知的条件代入=tan[（α+β）﹣（β﹣
）]=，运算求得结果．
【解答】解：∵已知，
∴=tan[（α+β）﹣（β﹣）]=
= =，
故选C．
8. 设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的正整数n，
”的（）．
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
C
【分析】
分别判断充分性和必要性：当时，；当时，；当时，，故不充分；当时，，必要性，得到答案.
【详解】若，则
当时，；当时，；
当时，；故不充分；
当时，即
故，必要性；
故选：
【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.
9. 已知变量x，y满足，若目标函数z=ax+y（a＞0）取到最大值6，则a的值为（）
A．2 B．C．或2 D．﹣2
参考答案：
C
【考点】简单线性规划．
【分析】画出满足条件的平面区域，求出A，B的坐标，由z=ax+y得：y=﹣ax+z，结合函数的图象显然直线y=﹣ax+z过A，B时，z最大，求出a的值即可．
【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
由，解得：，
由z=ax+y得：y=﹣ax+z，
当直线y=﹣ax+z过A（1，4）时，B（4，1），z最大，
此时，6=a+4，或6=4a+1，
解得：a=2或a=，
故选：C．
10. 设函数，则
（）
A．B．C．
D．
参考答案：
D
试题分析：,,又，，又
，，即.选D.
考点：分段函数求值、指数与对数运算、比较大小.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且
，，则△ABC的面积为．
参考答案：
12. 直线与圆相交于、两点，且,
则▲．
参考答案：
略
13. 已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．
参考答案：
（0，1）
考点：函数的零点．
专题：数形结合法．
分析：先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解．
解答：解：函数f（x）==，
得到图象为：
又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，
知f（x）=m有三个零点，
则实数m的取值范围是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
点评：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用，
14. 已知圆锥曲线C：，则当时，该曲线的离心率的取值范围是
参考答案：
略
15. 设适合等式，则的值域
是 .
参考答案：
略
16. 求值： = ．
参考答案：
1
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件利用两角和的正切公式求得要求式子的值．
【解答】解： =
==1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
17. 已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为_________.
参考答案：
x=-1
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
．
（1）求角C的大小；
（2）若，且，求△ABC的面积．
参考答案：
（1）；（2）．
（1）由，
∴，
∴，·················································3分
∴，····························································5分
∴C＝
．································································6分
（2）由，
∴，
∴，
∴，·································································8分
根据正弦定理，可得，解得
，··················10分
∴
．····12分
19. 设函数是在上每一点处可导的函数，若(其中
是的导函数)在时恒成立，回答下列问题：
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）当时，证明：；
（3）已知不等式在且时恒成立，求证：
参考答案：
（1）∴在上单调递增 (3)
分
（2），∴，，
由（1）知
同理，∴…………6分
（3）由（2）及数学归纳法易证得（＊）7分
令，取则（＊）等价于
10分令，则………11分∴…………12分
，…………13分
∴14分
略
20. （本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）若函数在处有极值为10，求b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值．
参考答案：
（Ⅰ），………………………………1分于是，根据题设有
解得或
……………………3分
当时，，，所以函数有极值点；………………………………………………………………4分
当时，，所以函数无极值点．…………5分
所以．………………………………………………………… 6分
（Ⅱ）法一：对任意，都成立， (7)
分
所以对任意，都成立．8分
因为,
所以在上为单调递增函数或为常数函数，………9分
所以对任意都成立，
即. (11)
分
又，
所以当时，，……………………………12分
所以，
所以的最小值为
．………………………………13分
法二：对任意，都成立， (7)
分
即对任意，都成立，即．…………………………………………8分
令，…………………………… 9分
当时，，于是；………………………10分
当时，，于是，．……11分
又，所以．………………………………12分
综上，的最小值为．………………………………13分
21. (本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.
(1)求x和y的值；
(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
参考答案：
∵甲班学生的平均分是85，
∴＝85.
∴x＝5.
∵乙班学生成绩的中位数是83，
∴y＝3.
(2)甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E.
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)．
22. 椭圆E：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2．
（Ⅰ）若椭圆E的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）若椭圆E过点A（0，﹣2），直线AF1，AF2与椭圆的另一个交点分别为点B，C，
且△ABC的面积为，求椭圆E的方程．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由2b=a+c，由b2=a2﹣c2，利用离心率公式即可求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）把直线AF2：y=x﹣2，代入椭圆方程，求得C点坐标，利用三角形的面积公式，即可求得c的值，则a2=b2+c2=5，求得椭圆方程．
【解答】解：（Ⅰ）由长轴长、短轴长、焦距成等差数列，
则2b=a+c，则4b2=a2+2ac+c2，
由b2=a2﹣c2，则4（a2﹣c2）=a2+2ac+c2，
∴3a2﹣5c2﹣2ac=0，
两边同除以a2，5e2+2e﹣3=0，
由0＜e＜1，解得e=，
（2）由已知可得b=2，
把直线AF2：y=x﹣2，代入椭圆方程，
整理得：（a2+c2）x2﹣2a2cx=0，
∴x==，
∴C（，y），
由椭圆的对称性及平面几何知识可知，△ABC的面积为S=×2x×（y+2）== []2，
∴ []2=，解得：c2=1，
a2=b2+c2=5，
故所求椭圆的方程为．。