八年级同步第7讲：因式分解法及配方法求解一元二次方程

第7讲因式分解法及配方法解一元二次方程
知识框架
利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法
的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用. 通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础.
1. 因式分解法定义
运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法.
2. 因式分解法理论依据
①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零(即：当 A B 0时，必有A 0或
B 0 ;当A 0或B 0时，必有A B 0).
②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题.
3. 因式分解法解一元二次方程一般步骤
①将方程右边化为零；
②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；
③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
例题分析
【例1】解下列方程：
2 2
(1) x 3x 18 0 ；(2) 0.1x 1.2 0.4x .
【例2】解下列方程:
(1) 2x x 2
【例3】解方程:
x 2 ( .10 ..2)x 2... 5 0 .
(1 '一 2)x 2 (3 . 2)x 2 0 .
【例6】 已知一个一元二次方程的两个根分别为 2和-3,用刚学的因式分解法思想， 直接写
出满足条件的一个一元二次方程 _____________ .
【例7】 学生A 在解一元二次方程 x(x 1) x 时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请 说明理由
解：等式两边同时消去相同的数 x ,得到x 1 1
解得x 2
所以原方程的根为：x 2
【例4】解方程: 【例5】解方程:
【例8】 解关于x 的方程：3x 4 x 2 10 0.
2 2 2
(x 2
5x)2 10x 2 50x 24 0.
例 10】 若 (a 2 b 2 2)(3 a 2 b 2)
例 11 】 解关于 x 的方程： 2
mx 2 (2m 1)x m 1
0.
例 12】 解方程： y 2 2by a 2
2
b 2 （ a 、b 为已知数）
例 13】 解关于 x 的方程：
(k 1)x 2 (3k 1)x
2k 2 0 .
例 14 】 解关于 x 的方程： 22 a
2
b 2
2
x 4abx
22
a b ab 0
例 9】 解关于 x 的方程：
30 ，求 a 2 b 2
的值.
7.2配方法解一元二次方程
知识精讲
1. 配方法定义
先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法.
2. 配方法理论依据
配方法的理论依据是完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2.
3. 配方法解一元二次方程一般步骤
先把二次项系数化为1:即方程左右两边同时除以二次项系数；
①移项：把常数项移到方程右边；
②配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x m)2 n的形式;
③当n 0时，用直接开平方的方法解变形后的方程.
例题分析
【例15】用配方法解方程：y2 4 3y 2013 0 .
【例16】用配方法解方程：2x2 5x 20 0 .
【例17】用配方法解方程：0.3x2 0.2x — 0 .
30
【例18】用配方法解方程:
(x 1)22(x 1) 1 0 (要求用整体法的思想求解)
【例19】用配方法解关于x的方程：x2 2ax 4b2 a2 0.
【例20】若把代数式x2 2x 3化为(x m)2 k的形式，其中m、k为常数，则m k _
【例21】已知方程x2 6x q 0可以配方成(x p)2 7的形式，则x2 6x q 2可以配方成下列的( )
(A)(x p) 5 ；( B)(x p)29 ；
2 2
(c) (x p 2) 9 ；( D) (x p 2) 5 .
【例22】用配方法解关于x的方程：ax2 bx c 0 (a 0).
【例23】已知△ ABC的一边长为4,另外两边长是关于x的方程x2 3kx 2k2 0的两根, 当k为何值时，△ ABC是等腰三角形?
【例24】求证：无论x为何值，代数式2x2 4x 5的值总是小于2 .
5x25y28xy 2y 2x 2 0 【例25】结合一元二次方程因式分解法的思想，求方程:
的实数解.
7.3课堂检测
1.用适当的方法解下列方程：
2
(1) 4x x 21 ; (2) (x 2)( x 2)
2(x 2)；
2.
2 2
(3) x22x 3 0 ; (4) x 3x
2 2
(5) 2x2x 7 0 ；(6) 4(x 3)2解方程：2x2 4 5x 4、5 .. 5x2 8 .
3.如果x2 2(m 1)x m2 5是一个完全平方式，求m的值.
4.用配方法说明：不论x为何值，代数式2x2 6x 5的值总大于18 0 ；
2
25(x 2)20 .
0.
5.解关于x 的方程：mx(m x) mn2 n(n2 x2) 0.
6. 若实数x、y满足(x2 y2)2 (x2y2) 6 0 ,求x2 y2的值.
7.4课后作业
1. 用适当的方法解下列方程：
(1)3x(x 1) 3x 3 ；( 2)7x223x 20 0 ；
(3) 2x(x 2) x2 5 ；(4) (x 3)(x 4) 8 ;
(5) (3x 2)(2x 1) x(3x 2) (6) (x21)25(x21) 4 0 ；
(7) 2y2(•7 -5)y 号
2. 若厶ABC的三边a、b、c的长度是x2 7x 6 0的解，求△ ABC的周长.
3. 求证：无论x 为何值，代数式x2 4x 5 的值总是大于零．
4. 若多项式x2 ax 2a 3是一个完全平方式，求a 的值.
5. 解关于x 的方程：(m2 4n2)x2 (m2 12n2)x 2m2 6mn 0 (m2 4n2 0) .
6. 已知x2 y2 z2 2x 4y 6z 14 0 ，请结合一元二次方程因式分解法的思想，求x y z 的值.。