中考数学模拟试题汇编 专题40 动态问题-人教版初中九年级全册数学试题

动态问题
1.（2016·某某某某·一模）如图，⊙O的半径为１，正方形ABCD的对角线长为6，OA=4．若将⊙O绕点A按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( )
A. 3次
B. 4次
C. 5次
D.6次
答案：B
2.（2016·某某某某·二模）如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，3），动点P从点A 出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线勻速运动，设动点P的运动时间为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（）
A．B．
C．D．
答案：A
3. （2016·河大附中·一模）如图．等边三角形ABC的边长为3，
N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2 =y，则y关于x的函数图象大致为 ( )
答案：A
4. （2016·某某襄阳·一模）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是
y．则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）
答案：B
5. （2016·某某襄阳·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°.若动点P 以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为（）
A.
3
4
B. 3
3- C.
3
4
或3
3- D.
3
4
或3
3-或3
答案：C
6. (2016·某某某某·模拟)如图，正方形ABCD边长为2，点P是线段CD边上的动点（与点C，D不重合），︒
=
∠45
PBQ，过点A作AE∥BP，交BQ于点E，则下列结论正确的是（）A．2
2
=
⋅BE
BP B．2
4
=
⋅BE
BP C．2
=
BP
BE
D．
2
2
3
=
BP
BE
答案：B
E
Q
D
7. （2016·某某北辰区·一摸）如图，在Rt △ABC 中，∠90ACB =︒，2AC BC ==，点P 是AB 的中点，点D ，E 是AC ，BC 边上的动点，且AD CE =，连接DE . 有下列结论： ① 90DPE ∠=︒； ② 四边形PDCE 面积为1；③ 点C 到DE
. 其中，正确的个数是（ ）.
（A ）0 （B ） （C ）2 （D ） 答案：D
8. (2016·某某峨眉 ·二模）如图8，正方形ABCD 的边长为4，动点P 在正方形ABCD 的边上沿B C D →→运动，运动到点D 停止，设BP x =，ABP ∆的面积y ， 则y 关于x 的函数图象大致为 答案：A
9. (2016·某某某某 ·一模）如图（1），E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE-ED-DC 运动到点C 时停止．点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是
第7题 C B
A
E
D P
()A
()B
()C
()D
图8
1cm/s．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y 与t的函数关系的图象如图（2）所示，那么下列结论错误的是_______（填序号）
（1）．AE=6 （2）．当0＜t ≤10时，y=2 5 t2
（3）．sin∠EBQ=4
5
（4）．当t=12s时，△BPQ是等腰三角形
答案：（4）
10. (2016·某某乌鲁木齐九十八中·一模)如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿ABCD的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）
A．B．
C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】根据实际情况来判断函数图象．
【解答】解：当点p由点A运动到点B时，△APD的面积是由小到大；
然后点P由点B运动到点C时，△APD的面积是不变的；
再由点C运动到点D时，△APD的面积又由大到小；
再观察图形的BC＜AB＜CD，故△APD的面积是由小到大的时间应小于△APD的面积又由大到小的时间．
故选B．
【点评】应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量．
11. （2016·某某某某·联考）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）
A．B．C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据已知得出S与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x=﹣=2
时，S取到最小值为： =0，即可得出图象．
【解答】解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，
∴AO=2，OP=x ，则AP=2﹣x ， ∴tan60°==
，
解得：AB=
（2﹣x ）=﹣
x+2
，
∴S △ABP =×PA×AB=（2﹣x ）••（﹣x+2）=x 2
﹣2
x+2，
故此函数为二次函数， ∵a=
＞0，
∴当x=﹣=2
时，S 取到最小值为： =0，
根据图象得出只有D 符合要求． 故选：D ．
【点评】此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出S 与x 之间的函数解析式是解题关键．
1. (2016·某某某某东区·4月诊断检测在平面直角坐标系x O y 中，点A ）
（0,2，以OA 为半径在第一象 限内作圆弧AB ，连结OA ，OB ，圆心角060=∠AOB ，点C 为
弧AB 的中点，D 为半径OA 上一动点，点A 关于直线CD 的对
称点为E ，若点E 落在半径OA 上，则点E 的坐标为 ▲ ； 若点E 落在半径OB 上，则点E 的坐标为 ▲ .
答案：）（0,2，），0232(-；）（3,1，），（3313--
2. （2016·某某市浣纱初中等六校·5月联考模拟）如图，等腰直角三角形OAB 的一条直角边在y 轴上，点P 是边AB 上的一个动点，过点P 的反比例函数χ
k
y =
的图像交斜边OB
第1题 图
x
y
O
E
C
B
A
D
于点Q ，
（1）当Q 为OB 中点时，AP:PB=▲
(2)若P 为AB 的三等分点，当△AOQ 的面积为3时，K 的值为▲ .
答案：1
3
， 222或 ；
3. （2016·某某北辰区·一摸）在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，点P ，Q 分别为线段AB ，AC 上的动点．
（Ⅰ） 如图（1），当点P ，Q 分别为AB ，AC 中点时，PC +PQ 的值为_________； （Ⅱ）当PC +PQ 取得最小值时，在如图（2）所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PC ，
PQ ，简要说明点P 和点Q 的位置是如何找到的______．
答案：①
35
； ② 如图所示，取格点E ，F ，连接EF 交AB 于点P ，交AC 于点Q .此时，PC +PQ 最短.
4. (2016·某某铜梁巴川·一模）在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，4），直线y=
x
x
y
B O A
P
Q
（第3题）
图（2）
B
A C
P Q A
B C
B
图（2）
A
C
P
Q F
E
﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案．
【解答】解：过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，
当PM⊥AB时，PM最短，
因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，
可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB==5，
∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，
∴△PBM∽△ABO，
∴=，
即：，
所以可得：PM=．
1．（2016·某某某某·二模）（11分）如图，已知抛物线
1
(2)()
y x x a
a
=-+-
（a＞0）
与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，抛物线过点N（6，-4）．（1）某某数a的值；
（2）在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，求出点H的坐标；
（3）若把题干中“抛物线过点N（6，﹣4）”这一条件去掉，试问在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
答案：解：（1）∵抛物线
1
(2)()
y x x a
a
=-+-
过点N（6，一4），
∴
1
4(62)(6)a
a
-=-+-
解得：4
a=，.........................2分
（2）∵4
a=∴
1
(2)(4)
4
y x x
=-+-
令y=0，得x1=﹣2，x2=4；令x=0，得y=2
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，2）
∵点A和点B关于抛物线的对称轴
24
1
2
x
-+
==
对称，
∴在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，即AH+CH最小，连接AC，则AC与抛物线的对称轴x=1的交点H即为所求
如下图所示：
设过点A（4，0），C（0，2）的直线解析式为：
y kx b
=+
则
04
20k b k b
=+⎧
⎨
=⨯+⎩
解得
1
2
k=-
，b=2
∴
1
2
2
y x
=-+
令x=1代入
1
2
2
y x
=-+
，得
3
2
y=
∴AC与抛物线对称轴的交点H的坐标为（1，3 2）
即点H的坐标为（1，3
2）时，使得BH+CH最小；
（3）①作BF∥AC交抛物线于点F，如图：则∠FBA=∠BAC，
由
2
112
(2)()(1)2 y x x a x x
a a a
=-+-=-+-+
令x=0，则y=2，∴C（0，2），
又∵A（a，0），
∴AC的解析式为
2
2 y x
a
=-+
设BF的解析式为
2
y x c
a
=-+
，
2
y x c
a
=-+
∵BF 过点B （﹣2，0），
∴
4c a =-
∴BF 的解析式为：
24y x a a =-
-
∴22412(1)2
y x a a y x x a a ⎧
=--⎪⎪⎨
⎪=-+-+⎪⎩
解得：
8(2,2)
F a a +--
∴
BF =∵△BFA∽△ABC， ∴AB 2
=BF•AC，
∴2(2)a +=
化简整理得：16=0，不存在这种情形， 即这种情况不存满足要求的F 点； ②∵B（﹣2，0），C （2，0）， ∴BC
的
解
析
式
为
2
y x =+，∠ABC=45°，
在x 轴下方作∠ABF=∠ABC=45°，如图：
∴BF⊥BC，
∴BF 的解析式为2y x =--
∴2212(1)2y x y x x a a =--⎧⎪
⎨=-+-+⎪⎩
解得：F （2a ，﹣2a ﹣2），
∴22(22)(22)BF a a =+++
∵△BFA∽△BAC， ∴AB 2
=BF•BC，
∴
222(2)(22)(22)22a a a +=+++⋅ 整理得：2
440a a --=
解得222a =+或222a =-（舍去），
综上所述，222a =+时，以点B ，A ，F 为顶点的三角形与△BAC 相似． 2.（2016·某某某某·一模）如图，抛物线y=﹣
x 2
+x+1与y 轴交于A 点，过点A 的直线
与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC⊥x 轴，垂足为点C （3，0） （1）求直线AB 的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s 与t的函数关系式，并写出t的取值X围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；
（2）由s=MN=NP﹣MP，即可得s=﹣t2+t+1﹣（t+1），化简即可求得答案；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：﹣ t2+t=，解方程即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．
【解答】解：（1）∵当x=0时，y=1，
∴A（0，1），
当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5，
∴B（3，2.5），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+1；
（2）根据题意得：s=MN=NP﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有﹣t2+t=，
解得t1=1，t2=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．
①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．
【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用．
3. （2016·河大附中·一模）（本题满分10分）在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC.
问题发现：
(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，当点D在线段BC上时（不与点B重合），如图1，请你判
断线段CE，BD之间的位置
．．关系（直接写出结论）；
．．关系和数量
拓展探究：
(2)如果AB=AC，∠BAC= 90°，当点D在线段BC的延长线上时，如图2，
请判断①中的结论是否仍然成立，如成立，请证明你的结论。

问题解决：
(3)如图3，AB≠AC，∠BAC≠90。

，若点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于度时，线段CE和BD之间的位置关系仍然成立（点C、E重合除外）。

此时作DF⊥AD交线段CE于点F，AC=32，线段CF长的最大值是．
答案：
第3题
答案：
4. （2016 某某二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O x轴正方向
以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边
分别交于点M、N，直线m运动的时间为t s.
(1)点A的坐标是，点C的坐标是 ;
(2)当t= s或s时，
1
2
MN AC
=;
(3)设OMN
∆的面积为S，求S与t的函数关系式;
(4)探求(3)中得到的函数S有没有最大值? 若有，求出最大值: 若没有，请说明理由.
(第4题)
解: (1)A (4,0) ,C (0,3);图①
(2)t =2或6;
(3)当04t <≤时，21328
S OM ON t ==. 当4t <<8时，如图①,2
338
S t t =-+.
(4)有最大值.
如图②,当04t <≤时，当t =4时，S 可取到最大值=6. 当48t <<时，抛物线2
3
38
S t t =-+的开口向下， 图②
所以6S <，综上，4t =时，S 有最大值为6.
5. （2016某某一模）把Rt△ABC 和Rt△DEF 按如图（1）摆放（点C 与E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm ，BC=6cm ，EF=10cm ．如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动；当点P 移动到点B 时，点P 停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与AC 交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t （s ）．
（1）用含t 的代数式表示线段AP 和AQ 的长，并写出t 的取值X 围； （2）连接PE ，设四边形APEQ 的面积为y （cm 2
），试探究y 的最大值； （3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形．
【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等腰三角形的性质．
【专题】动点型．
【分析】（1）根据题意以及直角三角形性质表达出CQ、AQ，从而得出结论，
（2）作PG⊥x轴，将四边形的面积表示为S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解，
（3）根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论．
【解答】（1）解：AP=2t
∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
∴AQ=8﹣t，
t的取值X围是：0≤t≤5；
（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，
∴PG=PBSinB=（10﹣2t）
∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE=
=
∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值=（cm2）
（3）若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得：（s）
若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC
∴△APH∽△ABC，
∴，
即，
解得：（s）
若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t
∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，
∴△AQI∽△ABC
∴即，
解得：（s）
综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形．
6. （2016某某一模）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO 的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质．
【专题】证明题；压轴题；动点型．
【分析】（1）本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证出OP=OQ．
（2）本题需先根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD 的长，再根据四边形PBQD是菱形时，即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
又∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
在△POD与△QOB中，
∵
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ；
（2）解：PD=8﹣t，
∵四边形PBQD是菱形，
∴PD=BP=8﹣t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，
即62+t2=（8﹣t）2，
解得：t=，
即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．
7. (2016·某某铜梁巴川·一模）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【分析】（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；
（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，﹣ a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出
结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；
（2）∵y=﹣x2+x+2，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3=CD．
作CM⊥x对称轴于M，
∴MP1=MD=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；
（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
∴直线BC 的解析式为：y=﹣
x+2．
如图2，过点C 作CM ⊥EF 于M ，设E （a ，﹣ a+2），F （a ，﹣
a 2
+
a+2），
∴EF=﹣
a 2
+
a+2﹣（﹣a+2）=﹣a 2
+2a （0≤a ≤4）． ∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =BD •OC+
EF •CM+
EF •BN ，
=
+a （﹣a 2
+2a ）+（4﹣a ）（﹣
a 2
+2a ）， =﹣a 2+4a+
（0≤a ≤4）．
=﹣（a ﹣2）2
+
∴a=2时，S 四边形CDBF 的面积最大=，
∴E （2，1）．
8. (2016·某某某某 ·一模）已知抛物线(2)(4)8
k
y x x =
+-（k 为常数，且k>0）与x 轴从左至右依次交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线3
3
y x b =-+与抛物线的另一个交点为D.
（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；
（3）在(1)的条件下，设F 为线段BD 上一点(不含端点)，
连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到点D 后停止. 当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
答案：（1）由题意：43
b =
当x=5时，y=3-
×（-5）+43-=3- 把D （-5，
3）代入抛物线得k=83 ∴y=
232383x x -- （2）C （0，-k ） OA=2，OB=4，OC=k ∴AC=2
4k +，BC=2
16k + 由题意两个三角形相似只有两种情况 当△PAB ∽△ABC 时，
PA AB
AB BC
=
∴PA=2AB BC =23616k + 过P 做PH ⊥x 轴于H ， △PAH ∽△CBO
2
36
36
AH PH PA BO CO CB k ===+，214416AH k =+,PH=23616k k + P(214416k +-2，23616k k +)代入y=(2)(-4)8
k x x + k 2
=2， ∵k>0，∴2当△APB ∽△ABC 相似时，同理可求45
（3）过D 作DG ⊥y 轴于G ，作AQ ⊥DG 于Q,过F 作FQ ⊥DG 于Q ’
设直线BD 交y 轴于E ，则E （043
，∠EBO=30° 由DG ∥AB 得∠EDG=30°，DF=2FQ ’ ∴t=AF+
2FD =AF+22
’
FQ ⋅=AF+ FQ ’ ∵AF+ FQ ’≥AQ
即当F 为AQ 与BD 的交点时，点M 的运动时间最少
∵DG⊥y轴，AQ⊥DG
∴x F=x A=-2
当x F =-2时，y F=-23
∴F（-2，-23）
9. (2016·某某巴蜀·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c
（a≠0）的顶点为（﹣3，），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，D为BO的中点，直线DC解析式为y=kx+4（k≠0）
（1）求抛物线的解析式和直线CD的解析式．
（2）点P是抛物线第二象限部分上使得△PDC面积最大的一点，点E为DO的中点，F是线段DC上任意一点（不含端点）．连接EF，一动点M从点E出发沿线段EF以每秒1个单位长度的速度运动到F点，在沿线段FC以每秒个单位长度的速度运动到C点停止．当点M在整个运动中同时最少为t秒时，求线段PF的长及t值．
（3）如图2，直线DN：y=mx+2（m≠0）经过点D，交y轴于点N，点R是已知抛物线上一动点，过点R作直线DN的垂线RH，垂足为H，直线RH交x轴与点Q，当∠DRH=∠ACO时，求点Q的坐标．
【分析】（1）设抛物线解析式y=a（x+3）2+，把点C（0，4）代入即可求出a，再令y=0，求出点B以及点D坐标即可解决问题．
（2）如图1中，过点C作y轴的垂线，过点E作x轴的垂线两线交于点M，EM与CD交于点F，此时点F就是所求的点，时间最短，再利用三角形面积公式求出使得△PCD面积最大的点P坐标，即可求出PF的长．
（3）分两种情形，①如图2中，当∠DR1H1=∠DR2H2=∠ACO时，利用勾股定理求出点M的坐标，求出直线DM，解方程组求出R1，R2坐标，再求出直线R1H1，R2H2即可解决问题，②当∠DR3H3=∠ACO时，求出R3坐标后求出直线R3H3即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意抛物线顶点（﹣3，），点C坐标（0，4），
设抛物线解析式y=a（x+3）2+，把点C（0，4）代入得a=﹣，
所以抛物线为y=﹣（x+3）2+=﹣x2﹣x+4，
令y=0，得x2+6x﹣16=0，x=﹣8或2，所以点B（﹣8，0），点A（2，0），D（﹣4，0）把点D（﹣4，0）代入y=kx+4中得k=1，所以直线CD解析式为y=x+4．
（2）如图1中，过点C作y轴的垂线，过点E作x轴的垂线两线交于点M，EM与CD交于点F，
此时点F就是所求的点，时间最短．
∵OC=OD=4，
∴∠DCO=45°，
∴∠MCF=90°﹣∠DCO=45°，
∵∠MCO=∠MEO=∠EOC=90°，
∴四边形MEOC是矩形，
∴∠EMC=90°，
∴∠MFC=∠MCF=45°，
∴FC=FM，
∵t=EF+=EF+FM，
∴EM⊥CM时，时间最短，
∴t=4秒．
设点P（m，﹣﹣m+4），
∵S△PCD=S△PDO+S△PCO﹣S△DCO=×
﹣8=﹣m2﹣5m，
∴m=﹣5时，△PCD面积最大，此时P（﹣5，），∵点F（﹣2，2），
∴PF==，
（3）如图2中，①当∠DR1H1=∠DR2H2=∠ACO，
∵点N（0，2），D（﹣4，0），C（0，4），A（2，0），
∴直线DN为y=x+2，直线AC为y=﹣2x+4，
∴K1K2=﹣1，
∴AC⊥DN，
∴∠ACO=∠ODN，
∴∠DNO=∠OAC，
∵∠DR1H1=∠DR2H2=∠ACO，
∴∠MDN=∠MND，
∴MN=DM，设OM=x，则（x+2）2=x2+42解得x=3，
∴点M（0，﹣3），直线DM为y=﹣x﹣3，
由
解得，
∴R 1（﹣7，
），R 2（4，﹣6），
∴直线R 1H 1为y=﹣2x ﹣，此时Q 1（﹣
，0），
直线R 2H 2为y=﹣2x+2，此时Q 2（1.0）， ②当∠DR 3H 3=∠ACO 时，∵R 3Q 3⊥DC ，AC ⊥DC ， ∴∠R 3DH 3=∠K ， ∴DR 3∥OC ，
∴R 3（﹣4，6），直线R 3Q 3为y=﹣2x ﹣2， ∴Q 3（﹣1，0）．
综上所述满足条件的点Q 的坐标为Q 1（﹣
，0），Q 2（1.0），Q 3（﹣1，0）．
10. （2016·某某东北师X 大学附属中学·一模）（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，
2AC BC ==，CD AB ⊥于点D ．动点P 从点A 出发，沿A C → 以1cm /s 的速度向终点C 运动，点P 不与A C 、重合．过点P 作PQ
BC 交折线AD DC -于点Q ，以PQ 为边向
PQ 右侧作正方形PQMN ．
设正方形PQMN 与ACD ∆重叠部分图形的面积为2
(cm )S ，点P 运动的时间为(s)t ．
（1）当点M 在CD 边上时，求的值． （2）用含的代数式表示PQ 的长． （3）求S 与之间的函数关系式．
答案：解：（1）如图①，32t =，2
3
t =
．
N M P C
B
A
（2）①当01t <≤时，PQ t =． ②当12t <<时，2PQ t =-．
（3）①如图②，当2
03
t <≤
时，2S t =． ②如图③，当2
13
t <≤时，27622S t t =-+-．
③如图④，当12t <<时，21
(2)2
S t =-．
11. （2016·某某某某·联考）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A （0，4），点B 在x 正半轴上，且∠ABO=30度．动点P 在线段AB 上从点A 向点B 以每秒个单位
的速度运动，设运动时间为t 秒．在x 轴上取两点M ，N 作等边△PMN ． （1）求直线AB 的解析式；
（2）求等边△PMN 的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边△PMN 的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；
（3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt △AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上．设等边△PMN 和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当0≤t≤2秒时S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．
A
B
C D
P Q
M
N N
M Q
P
D
C
B
A
F E
N M
Q P
C B
A
(N )M Q
P
D C B
A
图① 图② 图③ 图④
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；动点型；分类讨论．
【分析】（1）先在直角三角形AOB中，根据∠ABO的度数和OA的长，求出OB的长，即可得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线AB的解析式．
（2）求等边三角形的边长就是求出PM的长，可在直角三角形PMB中，用t表示出BP的长，然后根据∠ABO的度数，求出PM的长．
当M、O重合时，可在直角三角形AOP中，根据OA的长求出AP的长，然后根据P点的速度即可求出t的值．
（3）本题要分情况进行讨论：
①当N在D点左侧且E在PM右侧或在PM上时，即当0≤t≤1时，重合部分是直角梯形EGNO．
②当N在D点左侧且E在PM左侧时，即当1＜t＜2时，此时重复部分为五边形，（如图3）其面积可用△PMN的面积﹣△PIG的面积﹣△OMF的面积来求得．（也可用梯形ONGE的面积﹣三角形FEI的面积来求）．
③当N、D重合时，即t=2时，此时M、O也重合，此时重合部分为等腰梯形．
根据上述三种情况，可以得出三种不同的关于重合部分面积与t的函数关系式，进而可根据函数的性质和各自的自变量的取值X围求出对应的S的最大值．
【解答】解：（1）由OA=4，∠ABO=30°，得到OB=12，
∴B（12，0），设直线AB解析式为y=kx+b，
把A和B坐标代入得：，
解得：，
则直线AB的解析式为：y=﹣x+4．（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=8，
∵AP=t，
∴BP=AB﹣AP=8t，
∵△PMN是等边三角形，
∴∠MPB=90°，
∵tan∠PBM=，
∴PM=（8﹣t）×=8﹣t．
如图1，过P分别作PQ⊥y轴于Q，PS⊥x轴于S，可求得AQ=AP=t，PS=QO=4﹣t，
∴PM=（4﹣）÷=8﹣t，
当点M与点O重合时，
∵∠BAO=60°，
∴AO=2AP．
∴4=2t，
∴t=2．
（3）①当0≤t≤1时，见图2．
设PN交EC于点G，重叠部分为直角梯形EONG，作GH⊥OB于H．
∵∠GNH=60°，，
∴HN=2，
∵PM=8﹣t，
∴BM=16﹣2t，
∵OB=12，
∴ON=（8﹣t）﹣（16﹣2t﹣12）=4+t，
∴OH=ON﹣HN=4+t﹣2=2+t=EG，
∴S=（2+t+4+t）×2=2t+6．
∵S随t的增大而增大，
∴当t=1时，Smax=8．
②当1＜t＜2时，见图3．
设PM交EC于点I，交EO于点F，PN交EC于点G，重叠部分为五边形OFIGN．作GH⊥OB于H，
∵FO=4﹣2t，
∴EF=2﹣（4﹣2t）=2t﹣2，
∴EI=2t﹣2．
∴S=S梯形ONGE﹣S△FEI=2t+6﹣（2t﹣2）（2t﹣2）=﹣2t2+6t+4
由题意可得MO=4﹣2t，OF=（4﹣2t）×，PC=4﹣t，PI=4﹣t，
再计算S△FMO=（4﹣2t）2×
S△PMN=（8﹣t）2，S△PIG=（4﹣t）2，
∴S=S△PMN﹣S△PIG﹣S△FMO=（8﹣t）2﹣（4﹣t）2﹣（4﹣2t）2×
=﹣2t2+6t+4
∵﹣2＜0，
∴当时，S有最大值，Smax=．
③当t=2时，MP=MN=6，即N与D重合，
设PM交EC于点I，PD交EC于点G，重叠部
分为等腰梯形IMNG，见图4．S=×62﹣×22=8，
综上所述：当0≤t≤1时，S=2t+6；
当1＜t＜2时，S=﹣2t2+6t+4；
当t=2时，S=8．
∵，
∴S的最大值是．
【点评】本题考查一次函数解析式的确定、图形的面积求法、三角形相似及二次函数的综合应用等知识，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．。